2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时跟踪训练23正弦定理和余弦定理文

课时追踪训练(二十三)正弦定理和余弦定理[基础稳固]一、选择题1．在△中，已知＝6，＝63，＝30°，则A等于()ABCbcBA．60°B．90°C．30°或90°D．60°或120°bc[分析]由csinB＝33<b<c可知，该三角形有两解，由正弦定理sinB＝sinC，得sinC63×sin30°3＝6＝2，故C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，应选C.[答案]C2．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，2cosA＝3，则b＝()A.2B.3C．2D．3[分析]由余弦定理a2＝2＋c2－2bccos，得5＝2＋4－8，即32－8－3＝0，解得bAb3bbb1b＝3或b＝－3(舍去)．应选D.[答案]D3．(2017·合肥模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－2πb)＋6，C＝3，则△ABC的面积是( )A．393B.233C.2D．33[分析]c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①C＝π，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②311333由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝2absinC＝2×6×2＝2，应选C.[答案]C4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )10310A.10B.10525C.5D.5[分析]如下图，设＝，则易知＝5，＝2a，在△中，2＝2＋2CDaACaADACDCDADAC－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a×5a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝31010.[答案]B5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且知足sin(1＋2cos)＝2sincos＋cossin，则以下等式建立的是()BCACACA．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A[分析]由题意可知sin＋2sincos＝sincos＋sin(＋)，即2sincos＝BBCACACBCsinAcosC，又cosC≠0，故2sinB＝sinA，由正弦定理可知a＝2b.[答案]A6．(2017·甘肃省张掖市高三一诊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，sin－sin＝1sin，则sinB为()bBaA2aC73A.4B.471C.3D.31a2＋c2－b2[分析]由bsinB－asinA＝2asinC，且c＝2a，得b＝2a，∵cosB＝2ac＝a2＋4a2－2a23＝32＝72＝，∴sin1－.应选A.4a4B44[答案]A二、填空题27．在△ABC中，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，则△ABC的形状为________．[分析]由已知得sincos＋cossin＋sincosA－cossinA＝2sincosA，即BABABBAsincos＝sincos，所以cos(sin－sin)＝0，若cos＝0，则＝π，△为直角三BAAAABAAA2ABC角形．若sin－sin＝0，则＝B或＋＝π(舍去)．BAAAB△ABC为等腰三角形，故△ABC为直角三角形或等腰三角形．[答案]直角三角形或等腰三角形8．(2016·全国卷Ⅱ)△的内角，，C的对边分别为，，，若cos＝4，cosCABCABabcA5513，a＝1，则b＝________.45312[分析]在△ABC中，∵cosA＝5，cosC＝13，∴sinA＝5，sinC＝13，∴sinB＝sin(A3512463abasinB＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝×＋×＝.由正弦定理＝，可得b＝＝51313565sinAsinBsinA635211×65×3＝13.21[答案]139．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccos，则＝________.AB222222222[分析]解法一：依题意得2×a＋c－b＝×a＋b－c＋×b＋c－a，即2＋2b2aca2abc2bcac21π－b＝ac，所以2accosB＝ac>0，cosB＝2.又0<B<π，所以B＝3.解法二：依题意得，2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，所以cosB＝1，又0<B<π，所以B＝π.23[答案]π3三、解答题10．(2017·北京人大附中期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B＋cosB＝0.求角B的值；若b＝7，a＋c＝5，求△ABC的面积．[解](1)在△ABC中，由已知cos2B＋cosB＝0得32cos2B＋cosB－1＝0，1解得cosB＝2，或cosB＝－1(舍去)．由于∈(0，π)，所以＝π.BB3(2)由余弦定理得b2＝2＋c2－2·cos.aacB将B＝π，b＝7代入上式，整理得(a＋c)2－3ac＝7.3由于a＋c＝5，所以ac＝6.所以△的面积＝1·sin＝33.ABCS2acB2[能力提高]11．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA·(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()ππA.12B.6C.ππ4D.3[分析]由于sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sin·cos＝0，所以sincos＋cossin＋sinsin－sincos＝0，整理得sin(sinACACACACACCA＋cosA)＝0，由于sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，所以A∈(0，π)，所23πc·sinA2×21ππ以A＝4，由正弦定理得sinC＝a＝2＝2，又0<C<4，所以C＝6.应选B.[答案]B12．(2017·安徽省合肥市高三一检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝22)，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为(3A．4πB．8πC．9πD．36π[分析]由于sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以c＝bcosA＋acosB＝2，由221ccosC＝3得sinC＝3，再由正弦定理可得2R＝sinC＝6，即R＝3.所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，应选C.[答案]C13．(2017·广东省惠州市三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4b＝2，c＝22，且C＝π，则△ABC的面积为________．4bcsinC1[分析]由正弦定理sinB＝sinC得sinB＝c＝2，又c>b，且B∈(0，π)，所以Bπ7π117π16＋2＝6，所以A＝12，所以S＝2bcsinA＝2×2×22sin12＝2×2×22×4＝3＋1.[答案]3＋114．(2017·河北石家庄模拟)已知在△ABC中，角C为直角，D是边BC上一点，M是AD上一点，且＝1，∠＝∠＝∠，则＝________.CDDBMDMBCABMA[分析]设∠＝θ，则∠＝2θ，∠＝π－2θ，∠＝π－θ，∠＝π－DMBADCDAC2AMBABM22θ.在△中，利用正弦定理得CD＝AC；CDAπ－2θsin2θsin2在△AMB中，利用正弦定理得MA＝AB，ππ－θsin2－2θ又在Rt△ABC中，cosθ＝AC，ABCD·sinθ·sinθ1＝＝，又CD＝1，进而MA＝2.∴＝θ2AB·sinθcosθMAAB·sin22[答案]215．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积a2为3sinA.求sinBsinC；若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得1sin＝a2，即1sin＝a.2acB3sinA2cB3sinA1sinA由正弦定理得2sinCsinB＝3sinA.52故sinBsinC＝3.11(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－2，即cos(B＋C)＝－2.所以B＋C＝2π，故A＝π.331a2由题设得2bcsinA＝3sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.16．(2017·四川省成都市高三二检)如图，在平面四边形中，已知＝π，＝2π，232πAB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连结EC，ED.若∠CED＝3，CE＝7.求sin∠BCE的值；求CD的长．[解](1)BECE在△BEC中，由正弦定理，知＝.sin∠BCEsinB2π∵B＝3，BE＝1，CE＝7，3∴sin∠＝BE·sinB221＝＝.BCECE714(2)∵∠CED＝B＝2π，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE31－3＝57.2814A＝π，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，2∴＝AE＝5＝27.DEcos∠DEA57142221在△CED中，CD＝CE＋DE－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×27×－2＝49.6CD＝7.[延长拓展](2017·广东汕头一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且知足1－cosBb＝c，a＝cosA，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2，OB＝1，则四边形面积的最大值是( )OACB4＋538＋53C．34＋5A.B.D.4421－cosB[分析]由a＝cosA及正弦定理可得sinB·cosA＝sinA－sinAc