第十章 量纲分析

第十章量纲分析第一页，共十九页，2022年，8月28日国际单位制(SI)中，常用的基本量纲为：LTM在工程单位制中，常用的基本量纲为：LTF导出量纲：式中：纯数的特点：1）既无量纲又无单位2）数值大小与所选的单位无关【例2】量纲公式10.1P2有压管流：Recr=2000第二页，共十九页，2022年，8月28日4、量纲和谐原理一个完整的、正确反映客观规律的物理方程式中，各项物理量的量纲是一致的。用途：1）检验方程的正确性和完整性（经验公式除外）。2）确定公式中物理量的指数，建立物理方程。二、量纲分析法1、瑞利（Rayleigh）法某一物理现象y同x1、x2、‥xn因素有关。式中：k为纯数，α1、α2、αn为待定指数。写出量纲式：式中：a、b、c、ai、bi、ci均为已知。10.1P3第三页，共十九页，2022年，8月28日从而求出待定指数瑞利法的局限：影响因素n＞3时，(n-3)个指数非唯一解。【例3】实验表明：有压管流的下临界流速vcr与管径d、密度ρ、动力粘滞系数数μ有关，试用量纲分析法确定其函数关系。【解】10.1P4第四页，共十九页，2022年，8月28日10.1P5第五页，共十九页，2022年，8月28日2、π定理（Buckingham定理）若某一物理现象包含n个物理量，即涉及到m个基本量纲，则该物理过程可表达成由n个物理量构成的（n-m）个量纲一的量（无量纲量）所组成的关系式。π定理解题步骤：1）确定和物理现象有关的n个物理量x1、x2、xn。写出方程2）确定n个物理量中包含的基本量纲的数目m；并选择m个基本物理量一般情况下，m≤3。基本物理量的量纲应是独立的，即不能组成一个无量纲量。10.1P6第六页，共十九页，2022年，8月28日

通常分别选择几何学、运动学和动力学的量各一即可。3）组成量纲一的量π1、π2、…

πn-m。

式中：

10.1P7量纲独立第七页，共十九页，2022年，8月28日4）由量纲和谐原理确定各变量指数αi、βi、γi，从而确定πi。5）组成无量纲表达式。【例4】分析表明：总流边界单位面积上的切应力τ0，与流体的密度ρ、动力粘度μ、平均流速v、断面特性几何尺寸（例如管径d、水力半径R）及壁面粗糙高度Δ有关，令沿程阻力系数λ＝8f(Re，Δ/d)，试证明：【解】1）确定物理量：τ0、ρ、μ、v、d、Δ；2）确定基本物理量：ρ、v、d；m=33）组成量纲一的量π1、π2、π3。10.1P8第八页，共十九页，2022年，8月28日4）确定各变量指数αi、βi、γi，从而确定πi。对π1：对π2：

10.1P9第九页，共十九页，2022年，8月28日对π3：5）组成无量纲表达式。10.1P10第十页，共十九页，2022年，8月28日§10.2流动相似流动相似的概念是几何相似的扩展一、流动相似的概念若两个流动（原型和模型）对应点上各同名物理量之间存在一定的比例，则两流动相似。标量：对应点物理量大小成固定比例；矢量：对应点物理量大小成比例，方向相同。1、几何相似两流动（原型和模型）的流场几何形状相似，对应长度都成一定的比例关系。10.2P1流动相似包括几何相似运动相似动力相似初始条件相似边界条件相似流动相似的充分必要条件第十一页，共十九页，2022年，8月28日下标“p”：原型中的物理量下标“m”：模型中的物理量原型和模型各相应物理量的比例称为比尺，用“λ”表示。正态模型:长、宽、高均采用同一个长度比尺的模型。2、运动相似：两流动的流速场及加速度场相似。

10.2P2速度比尺：第十二页，共十九页，2022年，8月28日3、动力相似两个流动的力场几何相似。即对应点上相同性质的力方向相同，大小成一固定的比例关系。时间比尺：加速度比尺：牛顿一般相似原理10.2P3第十三页，共十九页，2022年，8月28日二、相似准则在某种流动状态中，只考虑其中起主要作用的力的流动相似条件称为相似准则。1、重力相似准则（弗劳德相似准则）：重力起主导作用10.2P4Fr物理意义：惯性力与重力之比第十四页，共十九页，2022年，8月28日2、粘滞力相似准则（雷诺相似准则）：粘滞力起主导作用三、模型试验需解决的问题：1）模型设计，即长度比尺λl的确定。2）模型律的选择。10.2P5Re物理意义：惯性力与粘滞力之比第十五页，共十九页，2022年，8月28日1、雷诺模型：按粘滞力相似准则设计模型适用：粘滞力起主导作用的流动。如：有压管流。若原型和模型采用同种温度的相同液体，即则：10.2P6即：第十六页，共十九页，2022年，8月28日特别要注意的问题：对有压管流，在紊流的阻力平方区，说明：在紊流的阻力平方区，相对粗糙高度是引起损失的主要因素，而粘滞力则次之。因次，两流动只要满足即可自动满足流动相似。自动模型区，简称“自模区”。【例5】有一直径dp=20㎝的输油管，油的v＝40×10－6㎡/s，其流量Q＝0.01m3/s。若模型试验采用dm=5㎝的圆管，试求：用20℃的水（v＝1.003×10－6㎡/s）作实验时的流量。【解】油的流速10.2P7第十七页，共十九页，2022年，8月28日选用雷诺模型10.2P8层流第十八页，共十九页，2022年，8