高中数学 数列 4.4数学归纳法第1课时

4.4数学归纳法（第1课时）人教A版铜陵市第三中学

曹君引例11、创设情境，提出问题等差数列通项公式设一个等差数列

的首项为，公差为.根据等差数列的定义，可得

，所以

，

，

，``````.于是

，，，

``````归纳可得：当

时，上式为.这就是说，上式当

时也成立.故通项公式为

.

引例21、创设情境，提出问题明朝刘元卿的《应谐录》

汝有田舍翁，家资殷盛，而累世不识“之”、“乎”。一岁，聘楚士训其子。楚士始训之搦管临朱，书一画，训曰：“一字。”书二画，训曰：“二字。”书三画，训曰：“三字。”其子辄欣欣然掷笔,归告其父曰:"儿得矣，儿得矣！可无烦先生，重费馆谷也，请谢去。"其父喜而从之。具币谢遣楚士。

逾时，其父拟征召姻友万氏姓者饮，令子晨起治状。久之不成。父趣之。其子恚曰：“天下姓字夥矣，奈何姓万?自晨起至今，才完五百画也。”初机士偶一解，而即訑訑自矜有得。殆类是已。引例11、创设情境，提出问题等差数列通项公式引例2明朝刘元卿的《应谐录》

，

，

归纳出

一

，

二

，三

归纳出“-----------······”为“万”考察某类对象的一部分，得到一般结论的推理方法.结论不一定正确对象的一部分一般结论不完全归纳法引例31、创设情境，提出问题有一袋球共十个，要如何证明这十个球都是白球？考察某类对象的全体，得到一般结论的推理方法.结论一定正确对象的全体一般结论

完全归纳法考察某类对象的一部分，得到一般结论的推理方法.结论不一定正确不完全归纳法引例41、创设情境，提出问题费马数法国数学家费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他观察到：

，

，，

，.于是，他利用不完全归纳法，归纳猜想：任何形如

的数都是质数.如果这个结论是正确的，如何才能证明呢？直到半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数

不是质数，从而推翻了费马的猜想.1、创设情境，提出问题无限步的验证有限步的验证有限的步骤无限的对象转化证明2、探究游戏，发现规律多米诺骨牌游戏视频2、探究游戏，发现规律实验1：摆放骨牌使得推到第一块骨牌,然后第二块、第三块……紧跟着全部骨牌都倒下.实验2：骨牌的间距和实验1相同.第一块骨牌没有被推倒,第二块、第三块……自然也就没有倒下.实验3：骨牌的间距出现分化，其中有两块骨牌的间距足够大，其他骨牌间距不变，这时推倒了第一块骨牌，间距被拉大的后面的骨牌没有倒下，自然其后的所有骨牌就都没有倒下.问题1：对比实验1和2，思考并讨论实验2游戏失败的原因.问题2：对比实验1和3，思考并讨论实验3游戏失败的原因.问题3：游戏中，能使所有骨牌全部倒下的条件是什么？探究一......2、探究游戏，发现规律使所有骨牌都能倒下的条件有两个：①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.追问1：条件②的作用是什么？如何用数学语言描述它？追问2：条件①的作用是什么？第

块骨牌倒下第

块骨牌倒下探究一3、迁移规律，解决问题探究二你能类比“多米诺骨牌”游戏的原理，来验证等差数列的通项公式吗？“多米诺骨牌”原理验证猜想①第一块骨牌倒下；

①

时验证猜想成立②若第块倒下，则使得第

块倒下

②如果

时，猜想成立，则

由此证明当

时，猜想也成立.······骨牌全部倒下猜想对全部正整数都成立3、迁移规律，解决问题探究三概括：证明一个与正整数有关的命题关键步骤.证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1)证明当

取第一个值

时结论正确；（归纳奠基）(2)假设当时结论正确,证明当时结论也正确．完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确.（归纳递推）使用前提基础性传递性结论4、讲解例题，初步应用用数学归纳法证明：

是一个公差为

的等差数列，那么

，对任何都成立.例1

归纳假设

4、讲解例题，初步应用例2下列各题在应用数学归纳法的证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？

求证：当时，.证明：假设当时，等式成立，即.则当时，左边==右边.所以当时，等式也成立.由此得出，对任何，等式都成立.

4、讲解例题，初步应用例2下列各题在应用数学归纳法的证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？

(2)用数学归纳法证明等差数列的前项和公式是.证明：①当

时，左边=，右边=，等式成立.

②假设当时，等式成立，即.

则当时，，.上面两式相加并除以2，可得.即当时，等式也成立.由①②可知，等差数列的前项和公式是.

课堂小结5、小结归纳，回顾反思（1）本节课学习了哪些知识？5、小结归纳，回顾反思证明一个与正整数

有关的命题（1）证明当

时命题成立对所有正整数

命题都成立(2)假设当时命题成立,证明当时命题也成立

两个步骤缺一不可课堂小结5、小结归纳，回顾反思（1）本节课学习了哪些知识？（2）通过本节课的学习，你有哪些收获？（3）本节课学习