湖南衡阳常宁市第五中学2023年数学高一第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则下列命题正确的是A．若，，则B．若，且，则C．若，，则D．若，且，则2．已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．63．在中，角，，的对边分别为，，，且.则（）A． B．或 C． D．4．设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等差数列．其中正确命题的个数是()A． B． C． D．5．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A． B． C． D．6．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}A．q=2 B．数列SnC．S8=510 D．数列7．已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（）A． B． C． D．8．在平行四边形中，,,则点的坐标为（）A． B． C． D．9．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（）A． B． C． D．10．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q的取值范围是__________.12．若函数的反函数的图象过点，则________．13．给出下列四个命题：①正切函数在定义域内是增函数；②若函数，则对任意的实数都有；③函数的最小正周期是；④与的图象相同.以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号）14．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数在上的最小值为_______________．15．已知向量，.若向量与垂直，则________.16．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风，台风中心位于城市的南偏东30°方向，距离城市的海面处，并以的速度向北偏西60°方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_______小时.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求函数的单调递减区间；（2）在锐角中，若角，求的值域.18．已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，求证：19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.（1）设总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.20．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元，满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21．已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用面面、线面位置关系的判定和性质，直接判定．【详解】解：对于A，若n∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错；对于B，若α∩β＝l，且m⊥l，则m与β不一定垂直，故错；对于C，若m∥n，m∥β，则α与β位置关系不定，故错；对于D，∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵m∥l，则m∥β，故正确．故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用．2、A【解析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；3、A【解析】

利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，求得的值，即而求得的大小.【详解】由于，所以，由余弦定理和正弦定理得，即，由于是三角形的内角，所以为正数，所以，为三角形的内角，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式，属于基础题.4、C【解析】

设，得到，，，再利用举反例的方式排除③【详解】设，则：，故是首项为，公比为的等比数列，①正确，故是首项为，公比为的等比数列，②正确取，则，不是等比数列，③错误.，故是首项为，公差为的等差数列，④正确故选：C【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.5、C【解析】

数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n1+n．∴a＜1．故选C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、D【解析】

由等比数列的公比q为整数，得到a2<a3，再由等比数列的性质得出a1a4=a【详解】由等比数列的公比q为整数，得到a2由等比数列的性质得出a1a4=a2aSn=a11-qnS8=2所以，数列lgan是以故选：D.【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用，考查等比数列求和以及等比数列的定义，充分利用等比数列下标相关的性质，将项的积进行转化，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题。7、D【解析】

由已知的所给的直线，可以判断出直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），两直线互相垂直，从而可以得到的轨迹方程，设圆心为M，半径为，作直线,可以求出的值，设圆的半径为，求得的最小值，进而可求出的最小值.【详解】圆的半径为,直线与直线互相垂直，直线过定点（3，1），直线过定点（1，3），所以P点的轨迹为：设圆心为M，半径为作直线,根据垂径定理和勾股定理可得：，如下图所示：的最小值就是在同一条直线上时，即则的最小值为，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，考查了圆与圆的位置关系，考查了平面向量模的最小值求法，运用平面向量的加法的几何意义是解题的关键.8、A【解析】

先求,再求,即可求D坐标【详解】，∴，则D(6,1)故选A【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题9、B【解析】

记三名男生为，两名女生为，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解.【详解】记三名男生为，两名女生为，任选2名所有可能情况为，共10种，恰有一名女生的情况为，共6种，所以恰有1名女生当选的概率为.故选：B【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.10、D【解析】

根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能在平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能平行，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查空间线、面位置关系的判断，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设三边按递增顺序排列为，其中.则，即.解得.由q≥1知q的取值范围是1≤q<.设三边按递减顺序排列为，其中.则，即.解得.综上所述，.12、【解析】

由反函数的性质可得的图象过，将代入，即可得结果.【详解】的反函数的图象过点，的图象过，故答案为．【点睛】本题主要考查反函数的基本性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.13、②③④【解析】

①利用反例证明命题错误；②先判断为其中一条对称轴；③通过恒等变换化成；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.【详解】对①，当，显然，但，所以，不符合增函数的定义，故①错；对②，当时，，所以为的一条对称轴，当取，取时，显然两个数关于直线对称，所以，即成立，故②对；对③，，，故③对；对④，因为，，两个函数的定义域都是，解析式均为，所以函数图象相同，故④对.综上所述，故填：②③④.【点睛】本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用.14、【解析】

根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出值，再利用的取值范围求出函数的最小值.【详解】解：，令，则，则.因为函数的图象关于直线对称，所以，即，则，平方得.整理可得，则，所以函数.因为，所以，当时，即，函数有最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.15、7【解析】

由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.【详解】，，，又与垂直，故，解得，解得.故答案为：7.【点睛】本题考查通过向量数量积求参数的值.16、1【解析】

设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而该城市受台风侵袭等价于AM≤60，解此不等式可得．【详解】如图：设台风移动M处的时间为th，则|PM|＝20t，依题意可得，在三角形APM中，由余弦定理可得：依题意该城市受台风侵袭等价于AM≤60，即AM2≤602，化简得：，所以该城市受台风侵袭的时间为6﹣1＝1小时．故答案为：1．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】

（1）利用二倍角、辅助角公式化简，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出的范围，然后再求解的值域.【详解】（1），令，解得：，所以单调减区间为：，；（2）由锐角三角形可知：，所以，则，又，所以，，则.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.18、（1）．（2）证明见解析【解析】

（1）由，可得当时，，两式相减可求数列的通项公式；（2）将带入，再计算，通过裂项相消计算，即可证明出。【详解】（1）解：∵，∴（，），两式相减得：，∴．当时，，满足上式，∴．（2）证明：由（1）知，∴，∴，∴．【点睛】本题考查利用公式求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n项和，属于基础题。19、（1），（2）当时，总造价最低为元【解析】

（1）根据题意得矩形的长为，则矩形的宽为，中间区域的长为，宽为列出函数即可．（2）根据（1）的结果利用基本不等式即可．【详解】（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，则中间区域的长为，宽为，则定义域为则整理得，（2）当且仅当时取等号，即所以当时，总造价最低为元【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用．在利用基本不等式时保证一正二定三相等，属于中等题．20、（1）；（2）厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.【解析】

（1）由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求k的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数可求.（2）由（1）得，再根据均值不等式可解.注意取等号.【详解】（1）由题意知,当时,所以,每件产品的销售价格为元.所以2020年的利润；(2)由(1)知,,当