上海市杨浦区2023届初三中考一模数学试卷+答案

2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，二次函数是(

)A.y=x+1 B.y=x(x+1)

C.y=(x+1)2-2.已知点A(1,2)在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为(

)A.12 B.2 C.55 3.已知一个单位向量e，设m、n是非零向量，下列等式中，正确的是(

)A.1|m|m=e B.|4.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为(

)

A.310米 B.210米 C.10米 D.5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是(

)A.ADAC=ACAB

B.ADAC=6.如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD=∠B，下列结论中，错误的是(

)A.△ACD∽△ABC

B.△ADE∽△ACG

C.△ACE∽△ABG

D.△ADE∽△CGE二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.求值：cot30°=

．8.计算：13(a-2b)+9.如果函数f(x)=2x2-3x+1，那么f(2)=

10.如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．11.已知点P是线段MN的黄金分割点(MP>NP)，如果MN=10，那么线段MP=

．12.已知在△ABC中，AB=13，BC=17，tanB=512，那么AC=

․13.已知抛物线y=ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是

．14.将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=

15.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(米)关于水珠与喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=-32x2+6x(0≤x≤4).水珠可以达到的最大高度是

(16.如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为

厘米.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)17.如图，已知在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=CB，点E、F分别在线段AB、AD上.如果CE⊥BF，那么CEBF的值为

．

18.如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B'处，点A、D分别落在点A'、D'处，边A'B'、A'C分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为

．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，点A(1,m)、B(3,n)在抛物线y=ax2+bx+2上．

(1)如果m=n，那么抛物线的对称轴为直线

；

(2)如果点A、B在直线y=x-120.(本小题10.0分)

如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE/​/BC，且DE经过△ABC的重心G．

(1)设BC=a，DE=

(用向量a表示)；

(2)如果∠ACD=∠B，AB=9，求边AC21.(本小题10.0分)

如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区.在△ABP中，已知∠A=45°，∠B=30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？(精确到0.1秒)(参考数据：3=1.732)

22.(本小题10.0分)

新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完成下列问题：

(1)S△ABC=

；sin∠ABC=

；

(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S23.(本小题12.0分)

已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上，AB2=AD⋅AC，∠BAE=∠CAF．

(1)求证：△ABE∽△ACF；

(2)联结EF，如果BF=CF24.(本小题12.0分)

已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-34x2+bx+c与x轴交于点A(-4,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H.如果PH=AH，求点P的坐标；

(3)在第(2)小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E25.(本小题14.0分)

已知在正方形ABCD中，对角线BD=4，点E、F分别在边AD、CD上，DE=DF．

(1)如图，如果∠EBF=60°，求线段DE的长；

(2)过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．

①求证：EHBE=DHBD；

②设BD的中点为点O，如果OH=1，求BGGF的值．答案1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】3

8.【答案】139.【答案】3

10.【答案】2：3

11.【答案】5512.【答案】5213.【答案】a>0

14.【答案】2

15.【答案】6

16.【答案】10

17.【答案】3218.【答案】15419.解：(1)∵A(1,m)、B(3,n)，m=n，

∴点A和点B为抛物线上的对称点，

∴抛物线的对称轴为直线x=2；

故答案为：x=2；

(2)把A(1,m)、B(3,n)分别代入y=x-1得m=0，n=2，

∴A(1,0)、B(3,2)，

把A(1,0)、B(3,2)分别代入y=ax2+bx+2得a+b+2=09a+3b+2=2，

解得a=1b=-3，

∴抛物线解析式为y=x2-3x+2，

∵y=x2-3x+2=(x-32)2-14，

∴抛物线的顶点坐标为(-32,-14).

(1)当m=n时，则点A20.解：(1)连接AG并延长交BC于M，如图：

∵G是△ABC的重心，

∴AG=2MG，

∴AGAM=23，

∵DE/​/BC，

∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，

∴AGAM=ADAB=DEBC=23，

∴DE=23BC，

∵BC-=a，DE/​/BC，

∴DE-=23a；

故答案为：23a；

(2)∵AB=9，由(1)知ADAB=23，

∴AD=6，

∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，

∴ACAB=ADAC，即AC2=AB⋅AD，

∴AC2=9×6，

解得AC=36(负值已舍去)，

∴边AC的长为36．

21.解：过P作PH⊥AB于H，如图：

由已知可得，22.解：(1)由图可得：

S△ABC=3×3-12×1×3-12×3×1-12×2×2=4，

过A作AD⊥BC于D，如图：

∵12×10⋅AD=4，

∴AD=4105，

∴sin∠ABC=ADAB=410510=45，

故答案为：4，45；

(2)如图：

点P即为所求点．

(1)由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S△ABC，过A作AD⊥BC于23.证明：(1)如图：

∵AB2=AD⋅AC，

∴ABAD=ACAB，

∵∠BAC=∠DAB，

∴△ABC∽△ADB，

∴∠ACB=∠ABD，

∵∠BAE=∠CAF，

∴△ABE∽△ACF；

(2)如图：

由(1)知△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，

∴ABAC=BDBC，ABAC=BECF，

∴BDBC=BECF，

24.解：(1)把A(-4,0)，C(0,3)代入y=-34x2+bx+c得：

-12-4b+c=0c=3，

解得b=-94c=3，

∴y=-34x2-94x+3；

(2)如图：

由A(-4,0)，C(0,3)可得直线AC解析式为y=34x+3，AC=OA2+OC2=5，

设P(m,-34m2-94m+3)，则H(m,34m+3)，

∴PH=(-34m2-94m+3)-(34m+3)=-34m2-3m，HG=34m+3，

∵∠HAG=∠CAO，∠AGH=90°=∠AOC，

∴△AHG∽△ACO，

∴AHAC=GHOC，即AH5=34m+33，

∴AH=54m+5，

∵PH=AH，

∴-34m2-3m=54m+5，

解得m=-53或m=-4(与A重合，舍去)，

∴P(-53,143)；

(3)点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：

作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：

由y=-34x2-94x+3得抛物线对称轴为直线x=-32，B(1,0)，

∴D(-32,0)，25.(1)解：如图1，

连接EF，

∵四边形ABCD是正方形，BD=4，

∴AB=AD=CD=BC=22，∠A=∠C=∠ADC=90°，

∵BE=BF，

∴△ABE≌△CBF(HL)，

∴BE=BF，AE=CF，

∴DE=DF，

∵∠EBF=60°，

∴BE=EF=BF，

设DE=DF=x，则AE=22-x，EF=2x，

∴BE2=(22)2+(22-x)2=x2+16-42x，

∴(2x)2=x2+16-42x，

∴x1=26-22，x2=-26-22(舍去)，

∴DE=26-22；

(2)①证明：如图2，

延长EG，交BC于T，作CR//ET，

∵ET⊥BF，

∴CR⊥BF，

∴∠RCD+∠BFC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD/​/BC，∠A