河南省洛阳市高三理数四模试卷含答案解析

高三理数四模试卷一、单项选择题1.设集合，，那么等于〔

〕A.B.C.D.2. ，假设复数〔 〕B.

0(

是虚数单位)是纯虚数，那么C.

1A.0或13.等差数列A.63的前 项和为 ，假设 ， ，那么B.71 C.

99D.

-1等于〔

〕D.

1174.给定以下四个命题：①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是〔

〕A.

①和②B.

②和③C.

③和④D.

②和④等于〔 〕D.

-25.设曲线

在点A.处的切线与直线平行，那么B.

2C.6.抛物线的焦点为 ，过点 的直线

与该抛物线交于 ， 两点，直线

与该抛物线的准线为交于 点，且点的中点，那么等于〔 〕C.

4A.B.D.

27.假设，，，，那么〔

〕A.B.C.D.某市从

8

名优秀教师中选派

4

名同时去

4

个灾区支教〔每地

1

人〕，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，那么不同的选派方案的种数为〔 〕A.1680 B.

960 C.

600 D.480函数 的图像由函数 的图像经如下变换得到：先将 的图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，那么函数

的对称轴方程为〔

〕，，k∈ZC. ,D. ，10.三棱锥P-ABC

的四个顶点均在球面上， 平面

ABC．，且 ， ．那么球的外表积为〔 〕，为直角三角形，A. B. C.D.11.分别为双曲线的左、右焦点，P

为双曲线右支上任一点．假设的最小值为

8a，那么该双曲线的离心率e的取值范围是．A.(1,3] B.

(1,2] C.[2,3]D.

[3,十∞)12.函数在 上单调递增.且关于

的方程恰有两个不相等的实数解.那么实数 的取值范围是〔

〕．A.B.C.D..那么的最小值为

．二、填空题均为正实数.等比数列

的前

n

项和为

，且，那么

.15.在

中，点

在线段

.上，且，假设，那么16.假设存在实常数

和

，使得 和和 恒成立，那么称此直线， ，假设对其公共定义域上的任意实数

都满足：为 和 的“分隔直线〞.函数和 之间存在“分隔直线〞，那么

的取值范围为

.三、解答题17. 的内角〔1〕求A；的对边分别为，且.〔2〕假设，点

D

为边的中点，且，求的面积.18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，与 .〔1〕求证：；〔2〕假设平面平面，且，求二面角的余弦值.19.支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，局部对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取

200

人，把这200

人分为

3

类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A

类用户〞；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B类用户〞；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C

类用户〞，各类用户的人数如下列图：同时把这

200

人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如下列图的列联表：A

类用户非

A

类用户合计青年20中老年40合计200〔1〕完成 列联表并判断是否有

99.9%的把握认为“A

类用户与年龄有关〞；〔2〕从这

200

人中按

A

类用户､B

类用户､C

类用户进行分层抽样，从中抽取

10

人，再从这

10

人中随机抽取

4

人，求在这

4

人中

A

类用户､B

类用户､C

类用户均存在的概率；〔3〕把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取

3

人，用X

表示所选

3

人中A

类用户的人数，求

X

的分布列与期望.附：P〔K2≥k〕k(参考公式：，其中)20.椭圆的离心率为

，直线与椭圆有且只有一个交点

.〔1〕求椭圆 的方程和点 的坐标；〔2〕设

为坐标原点，与

平行的直线

与椭圆交于不同的两点，直线 与直线

交于点，试判断是否为定值，假设是请求出定值，假设不是请说明理由..的单调区间；在 处的切线方程为21.函数〔1〕求函数〔2〕假设函数， ，使得，且当对于任意实数时，存在正实数，求的最小正整数值.22.在平面直角坐标系

xOy

中，曲线

E

经过点P，其参数方程〔 为参数〕，以原点

O为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕求曲线E

的极坐标方程；〔2〕假设直线

交

E

于点

A，B，且

OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.23.函数

.〔1〕假设不等式对的最小值为恒成立，求实数

的取值范围；,求实数 的值.〔2〕当

时，函数答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为或，，，，所以故答案为：A．【分析】根据题意由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合A

再由不等式的性质求出集合B，结合交集的定义即可得出答案。2.【解析】【解答】由复数 (

是虚数单位)是纯虚数，得： ，即 .故答案为：C.【分析】由复数的定义即可得出，

求解出

a

的值即可。3.【解析】【解答】由等差数列

的前

项和性质，得： ， ， 也成等差数列，即，又因因此，，那么解得，.故答案为：C.【分析】利用等差数列的前

n

项公式，再结合等差数列的性质即可得出

，

从而由等差数列的前n

项和的定义即可得出答案。【解析】【解答】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；假设两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.故答案为：D【分析】

由条件结合直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对命题逐一判断即可得出真命题是②④，从而得出答案。【解析】【解答】对函数

求导得 ，由条件可得，所以，.故答案为：B.【分析】根据题意首先对函数求导，再由导数的几何意义即可求出，

从而计算出

a

的值即可。6.【解析】【解答】解：抛物线的焦点，准线为垂直准线交于点

，过

作么 ，过 作点，所以

，那么垂直准线交于点

，因为点

为，设准线与

轴交于点

，那的中，设过抛物线的焦点 的直线

的方程为，，与抛物线联立得消去 得，，设点 ， ，点，，所以 ，那么故答案为：B【分析】

根据题意设出准线与

x

轴交于点

E，那么

EF=2，过

A

作

AM

垂直准线交于点

M，过

B

作BN

垂直准线交于点N，依题意可得

AM=4，即可求出 ，

设过抛物线 的焦点

F

的直线

的方程为，

联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，设点 ， ， ， ，

即可求出 ， ，

再根据焦半径公式代入数值计算出结果即可。7.【解析】【解答】由于函数在上是增函数，，那么，由根本不等式可得，，因此，故答案为：B。【分析】由根本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数

、

、

的大小关系。8.【解析】【解答】假设甲去，那么乙不去，丙去，此时不同的选派方法数为种，假设甲不去，那么乙可能去也可能不去，丙不去，此时不同的选派方法数为综上所述，不同的选派方法数为

种.故答案为：C.种.的图像，【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理，结合条件计算出答案即可。9.【解析】【解答】函数 的图像向右平移 个单位，得到再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到即 ，那么其对称轴满足： ，即 ，故答案为：A的图像，【分析】根据题意由函数平移的性质整理得出，

结合余弦函数的图象即可得出答案。10.【解析】【解答】根据题意：，那么三棱锥

P-ABC

可补成长方体，如图，平面ABC．，三棱锥

P-ABC的外接球即是对应长方体的外接球，所以长方体的对角线 为其外接球的直径,由 ， ， ,，所以球的半径为 .所以球的外表积为：.故答案为：C.【分析】

由条件即可得出棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和

三棱锥的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的外表积.11.【解析】【解答】 .当且仅当，即时，上式等号成立，这时.又 ，即 ，.因此，故答案为：A.【分析】首先根据题意由双曲线的定义结合根本不等式即可求出，

由此得出即，

再由题意得出 即 ，

结合离心率公式代入数值计算出结果即可。12.【解析】【解答】由函数的解析式可知函数在区间 上单调递增，当 时，函数 单调递减，由复合函数的单调性法那么可知： ，且函数在 处满足： ，解得： ，故 ，恰有两个不相等的实数解，那么函数

与函数

的图像有且仅有两个不同方程的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，，那么直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，与二次函数原问题转化为函数很明显当

，即在区间上存在唯一的交点，时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为由函数的解析式可得：当 时， ，，亦即，故： ，那么 ，切点坐标为 ，从而： ，即.据此可得： 的取值范围是 .故答案为：

A.【分析】由题意首先求得a

的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定

a

的取值范围.二、填空题，13.【解析】【解答】因为

，所以

，所以令 ，那么令，即，解得，此时单调递增，令，即，解得，此时单调递减，所以时，，所以时的最小值为

3，故答案为：3【分析】均为正实数，，，可得 ，所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.14.【解析】【解答】设等比数列

的首项为

，公比为

.当时显然不成立.

所以，那么由，解得：所以故答案为：【分析】根据题意由等比数列的通项公式以及等比数列前

n

项和公式，整理计算出

q

的值，再把结果代入结合等比数列的通项公式计算出结果即可。15.【解析】【解答】由 ，得 ，那么在 中， ，因，故，因此.故答案为：.【分析】根据题意由向量的加、减运算法那么，结合向量的线性运算即可得出，

由此得出答案。16.【解析】【解答】如以下列图所示：由图可知，，可得对任意的恒成立，那么，即，不等式①假设，当对任意的 恒成立，时， ，不符合题意；②假设，那么对任意的 恒成立，那么 ，可得 ，又对任意的恒成立，那么 ， ；③假设，那么，所以， ，，解得即综上所述，实数故答案为：.的取值范围是..及【分析】

根据题意设

f(x)和

g(x)的“分割直线〞为

y=kx+b，那么必有恒成立，由此可到

及

恒成立，由此可得解.三、解答题17.【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2)

为为的中线,所以,再代入面再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入

可解得积公式求解即可.18.【解析】【分析】

〔1〕根据题意连接

PE，证明，

由，可得平面 ，从而得到AD⊥PC；，

得 ，

由线面垂直的判定可得(2)由 平面 ，平面 平面，，可得EP，EA，EC

两两垂直，以

E

为原点，EA，EC，EP

分别为

x

轴，y

轴，z

轴建立空间直角坐标系，分别求出平面

与平面

的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.19.【解析】【分析】

(1)根据题意，填写

2×2

列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论；根据题意按分层抽样方法抽取

10

人，那么.A

类用户

6

人、B

类用户

3

人、C

类用户

1

人，利用组合数计算根本领件数，求出对应的概率值即可；由条件即可得出把频率作为概率，从支付宝所有用户(人数很多)中抽取3

人，可近似看作3

次独立重复试验，所以

X

的取值依次为

0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X

的分布列和数学期望.20.【解析】【分析】

(1)根据椭圆的离心率公式

e= = = ，整理

b2= a2

，将直线方程代入椭圆方程由△=0，即可求得

a

和b

的值，由此得