2022年中考数学真题分类汇编：23锐角三角函数解析版

2022年中考数学真题分类汇编：23锐角三角函数一、单选题1．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．12sin【答案】A【知识点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=BCAB∴BC=sinα⋅AB=12sinα（米）.故答案为：A.【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.2．如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′的长是（）A．233π B．433π【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质【解析】【解答】解：∵CA=CB，B'D⊥AB，∴AD=DB=1∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转2α得到，∴AB=AB'，AD=1在RtΔAB'D中，cos∠B'AD=∴∠B'AD=60°，∵∠CAB=α，∠B'AB=2α，∴∠CAB=1∵AC=BC=4，∴AD=AC·cos∴AB=2AD=43∴BB′的长=60πAB故答案为：B.【分析】根据等腰三角形的性质可得AD=DB=12AB，根据旋转的性质可得AB=AB′，AD=13．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12A．52 B．3 C．22 D．【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，∴AF=1∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=A∴AD=4，AF=2，cos∠A=∴AE=AF故答案为：A.【分析】由题意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，AF=124．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A．35 B．255 C．2【答案】B【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC.在△DCE中，有EC=22+12∴EC∴ΔDCE是直角三角形，且∠DCE=90°∴cos∠APC＝cos∠EDC＝DCDE故答案为：B.【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.5．tan45°A．2 B．1 C．22 D．【答案】B【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义，tan∠A=∵∠A=45°，∴tan45°=1故答案为：B．

【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。6．如图，等腰△ABC的面积为23，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=12A．3 B．3 C．23 【答案】B【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=12∵AE=12∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四边形AECD是矩形，∴S△ABC=12BC×AD=12×2×AD=2∴AD=23，则CE=AD=23，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN.∵BC=2，CE=23，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=BCBE=BE∴BF=8，∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=12∴点M的运动路径长为4.故答案为：B.【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，根据等腰三角形的性质可得BD=DC=12BC=1，由已知条件知AE=17．如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边A．32 B．35 C．37【答案】D【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵BD=2CD=6，∴CD=3，∵直角△ADC中，tan∠C=2∴AD=CD⋅tan∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=A故答案为：D.【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（）A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m 【答案】B【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的应用【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，

∵配电房是轴对称图形，BC=6m，

∴BH=HC=3m，

在Rt△AHB中，∠ABH=α，

∴AH=3tanαm，

∵HQ=4m，

∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，

即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.

故答案为：B.

【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanαm，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.9．家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．12π米2 B．14π米2 C．18π米【答案】C【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图，连接BC，

∵∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直径，

∴BC=1，

∵AB=AC，

∴△BAC是等腰直角三角形，

∴AB=BCsin∠ACB=1×sin45°，

∴AB=AC=22，

∴扇形部件的面积=90π×222360=18π米2.

10．如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝14A．3 B．83 C．2153【答案】B【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，

由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，

∴BE=2，

∵cosB=14，

∴BH=1=12BE，

∴H是BE的中点，

∴AB=AE=4，

又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，

∴∠FAG=∠AFG，

∴AG=FG，

又∵PF∥AD，AP∥DF，

∴PF=AD=4，

设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，

∵PF∥BC，

∴∠AGP=∠AEB=∠B，

∴cos∠B=cos∠AGP=12PGAG=2-x2x=14，

解得x=83.

11．P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP=10，∠OPT=30∘，则A．53 B．5 C．8 【答案】A【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【解答】解：如图，连接OT，

∵PT是圆O的切线，

∴∠PTO=90°，

在Rt△PTO中

PT=POcos∠OPT=10×cos30°=10×3212．如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD=a，则建筑物AB的高度为（）A．atanα−C．atanαtan【答案】D【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，∴BD=xtanβ∵CD=BC-BD，∴xtan∴x=atanα故答案为：D.【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD.若tanA．25 B．3 C．5 【答案】C【知识点】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan∴AC=2BC=2由勾股定理得，AB=过点D作DE⊥AB于点E，如图，∵tan∠A=12∴DE∴DE=∴1∴BE=∵AE+BE=5∴AE+∴AE=2∴DE=1，在RtΔADE中，A∴AD=∵AD+CD=AC=2∴CD=AC−AD=2故答案为：C.【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=12AE，DE=13BE，则BE=14．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为()A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)【答案】D【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形【解析】【解答】解：当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，

∵A′D⊥BC，

∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，

在Rt△BOD中，

BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，

∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ

∴S△ABC=12BC·AD=115．下列计算结果，正确的是（）A．(a2)3=a5 B．【答案】C【知识点】立方根及开立方；特殊角的三角函数值；幂的乘方【解析】【解答】解：A、(aB、8=C、38D、cos30°=故答案为：C．

【分析】利用幂的乘方、二次根式的性质、立方根的性质和特殊角的三角函数值逐项判断即可。二、填空题16．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为米（结果保留整数，参考数据：3≈1【答案】87【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，在Rt△APC中，∴AC=PC⋅tan30°=3在Rt△CBP中，∴BC=CP⋅tan60°=3∵AB=200米，∴AC+BC=200，∴33∴x=503∴PC=87米，∴点P到赛道AB的距离约为87米.故答案为：87.【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，根据三角函数的概念可得AC=33x米，BC=317．如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是.（填写序号，参考数值：【答案】①③④【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，∴四边形EACD为矩形，∴ED=AC=12米，①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+43≈12+4×1.7=18②∵CD=AE=DEtan30°=43≈6.8③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；故③正确；④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.故④正确∴其中正确的是①③④.故答案为①③④.

【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.18．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的大小是.【答案】85°【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，∴∠DAC=50°，∵C岛在B岛的北偏西35°方向，∴∠CBE=35°，过C作CF∥DA交AB于F，如图所示：∴DA∥CF∥EB，∴∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，∴∠ACB=∠FCA+∠FCB=85°.故答案为：85°.【分析】易得∠DAC=50°，∠CBE=35°，过C作CF∥DA交AB于F，根据平行线的性质得∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，然后根据∠ACB=∠FCA+∠FCB进行计算.19．菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为.【答案】2【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，∴Rt△BEC∴PQ+QC的最小值为2.故答案为：2.【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.20．如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m.（sin58°≈0.85，cos【答案】16【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，设AE=x，根据题意可得：AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°，∴四边形BCDE是矩形，∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD为6，∴BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中，∴∠EAD=90°−∠ADE=45°，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE=x，∴BC=DE=x，∴AB=AE+BE=x+6，在Rt△ABC即tan58°=∴tan解得x≈10，经检验x≈10是原分式方程的解且符合题意，∴AB=x+6≈16(故答案为：16.【分析】过D点作DE⊥AB于E，设AE=x，易得四边形BCDE是矩形，由题意可得BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，则DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根据三角函数的概念可得x，进而可得AB.三、解答题21．如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC=30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC=48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：3≈1.732，sin48°≈0.【答案】解：根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，则BC=AC-AB=30-10=20，在Rt△ADC中，DC=AC×tan在Rt△BEC中，EC=BC×tan∴DE=EC−DC=20×tan即DE=20×故广告牌DE的高度为4.9m．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出DC=AC×tan∠A=30×tan3022．小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈【答案】解：过点M作MN⊥AB，根据题意可得：tan∠∴AN≈5tan∠∴BN≈5∵AN+BN=AB=50，∴52解得：MN=127∴河流的宽度约为1.7米．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】利用锐角三角函数可得AN≈52MN，BN≈512MN23．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地.某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE.（结果精确到1米.参考数据：3≈1.7【答案】解：由已知可得，tan∠BAF=BFAF=724，AB=25米，设BF=7a米，AF=24a米，∴(解得a=1，∴AF=24米，BF=7米，∵∠DAC=45°，∠C=90°∴∠DAC=∠ADC=45°，∴AC=DC，设DE=x米，则DC=(x+7)∵tan∠DBE=∴tan60°=x解得x≈40，答：东楼的高度DE约为40米.【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】由已知可得：AB=15米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，根据∠BAF的正切三角函数的概念可设BF=7a，AF=24a，结合勾股定理可得a的值，进而可得AF、BF的值，易得AD=DC，设DE=x米，则DC=(x+7)米，BE=CF=(x-17)米，根据∠DBE的正切三角函数的概念求出x，据此解答.24．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点