河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，那么cosα的值为()A．±eq\f(1,2) \f(1,2)\f(\r(3),2) D．±eq\f(\r(3),2)解析：sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则sinα＝eq\f(1,2).∴cosα＝±eq\r(1－sin2α)＝±eq\f(\r(3),2).故选D.答案：D2．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋\f(3π,2)),cos(－π－α))，则f(－eq\f(31π,3))的值为()\f(1,2) B．－eq\f(1,2)\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：f(α)＝eq\f(sinαcosα\f(cosα,sinα),－cosα)＝－cosα，∵－eq\f(31π,3)＝－10π－eq\f(π,3)，∴f(－eq\f(31π,3))＝－cos(－eq\f(31π,3))＝－cos(－eq\f(π,3))＝－eq\f(1,2).故选B.答案：B3．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin150°)的值为()\f(1,2) B．－eq\f(1,2)\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).答案：B4．若sinα＝eq\f(k＋1,k－3)，cosα＝eq\f(k－1,k－3)，则eq\f(1,tanα)的值为()\f(3,4) \f(4,3)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：∵sinα＝eq\f(k＋1,k－3)，cosα＝eq\f(k－1,k－3)，sin2α＋cos2α＝1，∴(eq\f(k＋1,k－3))2＋(eq\f(k－1,k－3))2＝1⇒k＝－7或k＝1.k＝1时，sinα＝－1，cosα＝0⇒tanα无意义，k＝－7时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)⇒eq\f(1,tanα)＝eq\f(4,3).故选B.答案：B5．(2022·天津和平高三质检)sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(2\r(2),5)，则sin2x的值为()\f(7,25) \f(14,25)\f(16,25) \f(9,25)解析：sin2x＝cos(eq\f(π,2)－2x)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(\f(π,4)－x)))＝1－2sin2(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(9,25).答案：D6．(2022·山东潍坊模拟)已知eq\f(sin(\f(π,2)－x)＋sin(π－x),cos(－x)＋sin(2π－x))＝2022，则tan(x＋eq\f(5π,4))的值为()A．－2022 B．－eq\f(1,2022)\f(1,2022) D．2022解析：∵原式＝eq\f(cosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝tan(x＋eq\f(π,4))＝2022，∴tan(x＋eq\f(5π,4))＝tan(x＋eq\f(π,4))＝2022.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinθ＝eq\f(3,5)，则tanθ＝__________.解析：由题意cosθ＝－eq\f(4,5)⇒tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(3,4).答案：－eq\f(3,4)8．若f(n)＝sineq\f(nπ,6)，则f(1)·f(3)·f(5)·f(7)·f(9)·f(11)＝________.解析：据题意，原式＝sineq\f(π,6)·sineq\f(π,2)·sineq\f(5π,6)·sineq\f(7π,6)·sineq\f(3π,2)·sineq\f(11π,6)＝－sineq\f(π,6)·sineq\f(π,6)·(－sineq\f(π,6))·(－sineq\f(π,6))＝－(sineq\f(π,6))4＝－eq\f(1,16).答案：－eq\f(1,16)9．已知tanα＝2，则eq\f(1,sinαcosα)＝__________.解析：eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝tanα＋eq\f(1,tanα)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)10．(2022·山东烟台二模)已知tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(9,4)，则tan2α＋eq\f(1,sinαcosα)＋eq\f(1,tan2α)＝__________.解析：tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(9,4)，∴eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(9,4).∴tan2α＋eq\f(1,sinαcosα)＋eq\f(1,tan2α)＝(tanα＋eq\f(1,tanα))2－2＋eq\f(1,sinαcosα)＝(eq\f(9,4))2－2＋eq\f(9,4)＝eq\f(85,16).答案：eq\f(85,16)三、解答题(共50分)11．(15分)(1)若角α是第二象限角，化简tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)；(2)化简：eq\f(\r(1－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(1－sin2130°)).解：(1)原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))，∵α是第二角限角，∴sinα>0，cosα<0，∴原式＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.(2)原式＝eq\f(\r(sin2130°＋cos2130°－2sin130°cos130°),sin130°＋\r(cos2130°))＝eq\f(|sin130°－cos130°|,sin130°＋|cos130°|)＝eq\f(sin130°－cos130°,sin130°－cos130°)＝1.12．(15分)(2022·山东聊城二模)已知tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(1,7).(1)求tanα的值；(2)求eq\f(cos2α＋1,2cos(α－\f(π,4))·cos(α＋\f(π,4))－sin2α)的值．解：(1)由tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝－eq\f(1,7)，得tanα＝－eq\f(4,3).(2)原式＝eq\f(2cos2α,(cosα＋sinα)(cosα－sinα)－2sinαcosα)＝eq\f(2cos2α,cos2α－sin2α－2sinαcosα)＝eq\f(2,1－tan2α－2tanα)＝eq\f(2,1－(－\f(4,3))2－2(－\f(4,3)))＝eq\f(18,17).13．(20分)(2022·广东中学模拟)已知△ABC的面积S满足3≤S≤3eq\r(3)且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝6，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为α.(1)求α的取值范围；(2)求f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α的最小值．解：(1)由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosα＝6.∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(6,cosα)，S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|sin(π－α)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|sinα＝eq\f(1,2)×eq\f(6,cosα)×sinα＝3tanα.∵3≤S≤3eq\r(3)，∴3≤3tanα≤3eq\r(3)即1≤tanα≤eq\r(3).∵α是eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角，∴α∈，∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).(2)f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α＝1＋sin2α＋2cos2α＝2＋sin2α＋cos2α＝2＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a