辽宁省大连市高新园区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省大连市高新园区九年级（上）期中数学试卷I卷（选择题）一、选择题（10小题，共30.0一项）下列图形是中心对称图形的( )B.C. D.2. 方(𝑥−2)2=3(𝑥−的解是( )A.𝑥=5C.𝑥1=1，𝑥2=2

B.𝑥1=5，𝑥2=2D.𝑥=2在平面直角坐标系中，(2,1)关于原点对称的点的坐标( )A.(−2,1) B.(2,−1) C.(1,2) D.(−2,−1)4. 抛物𝑦=2(𝑥−1)2−3的顶点( )A.(−1,−3) B.(−1,3) C.(1.−3) D.(1.3)5. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷，𝐸分别在𝐴𝐵，𝐴𝐶上，若𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐷=2，𝐷𝐸=4𝑐𝑚，𝐵𝐶的长( )𝐴𝐵 5A.10𝑐𝑚B.12𝑐𝑚C.14𝑐𝑚D.16𝑐𝑚6. 抛物𝑦=𝑎𝑥2+(𝑎−2)𝑥−𝑎−1经过原点，那𝑎的值等于( )A.0 B.1 C.−1 D.37. 为△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶=∠=4，𝐴𝐶=6，则线𝐷𝐶长为( )32

83

2 D.438. 已知关𝑥的方𝑥2−6𝑥+𝑘−1=没有实数根，𝑘的取值范围( )A.𝑘<10 B.𝑘≤10 C.𝑘≥10 D.𝑘>9. △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=△𝐴𝐵𝐶𝐶逆时针旋△𝐴𝐵𝐷𝐴𝐷.𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线上时，下列结论：①∠𝐴𝐷𝐶=60°；②∠𝐵𝐶𝐸=60°；③𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．其中正确的结论( )A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10. 𝑦(𝑚)𝑥(𝑚)𝑦=−1𝑥2+1𝑥+4，则此运动员把铅球推出多( )12 2 3A.6𝑚 B.8𝑚 C.10𝑚II卷（非选择题）

D.12𝑚二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 二次函𝑦=𝑥2−2𝑥+图象𝑦轴的交点坐标．12. 若𝑚是一元二次方𝑥2+𝑥−1=0的一个根，𝑚2+𝑚+的值．13. 如图，在𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸=𝑆

=4𝑐𝑚2，则𝐸𝐵 3𝑐𝑚2．

△𝐴𝐸𝐹14. 在二次函𝑦=𝑥2−2𝑥+5中，𝑥>时，𝑦随𝑥的增大填“增大”“减小15. 《)是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？“其意思为：今一门高比宽尺门对角线距离恰好丈问门高宽各是多少？(1丈=10)如图，设门𝐴𝐵为𝑥尺，根据题意，可列方程(将方程化简并写成一般形)．16. 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶绕点𝐵旋转，使得点𝐶落在射线𝐶𝑀上的点𝐷处，点𝐴落在点𝐸处，边𝐸𝐷的延长线交边𝐴𝐶于点𝐹.如果𝐵𝐶=3.𝐴𝐶=4.那𝐶𝐹的长等．三、解答题（10小题，共102.0步骤）17. (9.0)已知抛物线的顶点坐标(1,且经过(4,求该抛物线的解析式．18. (本小10.0)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为𝐴(2,4)，𝐵(1,1)，𝐶(4,3)．(1)请画出△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂对称的△𝐴1𝐵1𝐶1，点𝐴、𝐵、𝐶的对应点分别为𝐴1、𝐵1，𝐶1；△𝐶𝐵后的△𝐴222𝐴𝐵𝐶𝐴2、𝐵2、𝐶2，并写出点𝐴2的坐标．19. (10.0)△𝐸与△𝐶𝐴𝐷=𝐸=.△△𝐶．20. (10.0)20192021484万亩．求这两年绿化面积的年平均增长率．21. (9.0)如图，小明同学用自制的直角三角形𝐷𝐸𝐹测量树的高度𝐴𝐵，∠𝐷𝐸𝐹=90°，𝐷𝐹=0.5𝑚，𝐸𝐹=0.3𝑚.他调整自己的位置，使斜边𝐷𝐹保持水平，并且边𝐷𝐸与点𝐵在同一直线，测得边𝐷𝐹离地面高度𝐴𝐶=1.5𝑚，𝐶𝐷=10𝑚，求树高𝐴𝐵．22. (10.0)如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷是中线，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为𝐹．(1)求证△𝐶𝐴𝐸∽△𝐶𝐵𝐴；(2)若𝐶𝐷=2，𝐴𝐸=3，求𝐴𝐶的长度．23. (10.0)某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量𝑦(件)与当天的销售单价𝑥(元/件)满足一次函数关系，并且当𝑥=20时，𝑦=1000；当𝑥=25时，𝑦=950.其中40≤𝑥≤100．(1)求出𝑦与𝑥的函数关系式；(2)求出每件售价多少元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是多少元．24. (11.0)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐷=5𝑐𝑚，𝐵𝐷=12𝐶𝐷，点𝑃是𝐴𝐵边上一动点(点𝑃不与点𝐴、𝐵重合)，过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝐵𝐶于点𝑄.点𝑀在射线𝑄𝐶上，且𝑄𝑀=𝐵𝑄，设𝐵𝑄=𝑥𝑐𝑚，△𝑃𝑄𝑀与△𝐴𝐵𝐷重叠部分的面积为𝑠𝑐𝑚2．(1)求𝐴𝐵的长；(2)求𝑠关于𝑥的函数解析式，并直接写出自变量𝑥的取值范围．25. (11.0)综合与实践：△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，𝐷𝐵𝐶𝐴𝐷𝐴𝐷𝐴1𝛼.𝐴𝐸，2连接𝐶𝐸．探究∠𝐴𝐷𝐵与∠𝐶𝐴𝐸之间的数量关系，并证明．独立思考：(1)请解答张老师提出的问题．实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，张老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，若𝛼=120°，求证：𝐴𝐷=𝐶𝐸”．问题解析：(3)数学活动小组对上述问题特殊化研究之后发现，当𝐸𝐶⊥𝐵𝐶时，若给出△𝐴𝐵𝐶的腰和底的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的线段，任意两条线段之间的比值均可求．该小组提出下面问题，请你解答．“如图3，在(1)条件下，若𝐸𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=5，求𝐶𝐸的值”．𝐵𝐶 8 𝐶𝐷26. (12.0)𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐𝑥𝐴𝐵两点𝐴𝐵𝑦𝐶，𝑦=−𝑥+3𝐵、𝐶两点．求抛物线的解析式；(2)点𝐷在抛物线上，连接𝐵𝐷、𝐶𝐷，若△𝐵𝐶𝐷的面积为15，求点𝐷的坐标；(3)𝐸∠𝐵𝐴𝐸=𝐸的坐标．答案和解析𝐴【解析】解：选项B、𝐶、𝐷都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：𝐴．与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．𝐵【解析】解：(𝑥−2)2=3(𝑥−2)，(𝑥−2)2−3(𝑥−2)=0，(𝑥−2)(𝑥−2−3)=0，𝑥−2=0或𝑥−2−3=0，所以𝑥1=2，𝑥2=5．故选：𝐵．先移项得到(𝑥−2)2=3(𝑥−2)，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．𝐷【解析】解：在平面直角坐标系中，点(2,1)关于原点对称的点的坐标是(−2,−1)．故选：𝐷．根据“平面直角坐标系中任意一点𝑃(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．𝐶【解析】解：由𝑦=−2(𝑥−1)2−3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(1,−3)，故选：𝐶．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．本题考查二次函数的性质，记住顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘，顶点坐标是(ℎ,𝑘)，对称轴是直线𝑥=ℎ．𝐴【解析】解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，∴𝐷𝐸=𝐴𝐷=2，𝐵𝐶 𝐴𝐵 5∵𝐷𝐸=4𝑐𝑚，∴𝐵𝐶=5𝐷𝐸=5×4=10(𝑐𝑚)，2 2∴𝐵𝐶的长为10𝑐𝑚，故选：𝐴．由𝐷𝐸//𝐵𝐶证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据“相似三角形的对应边成比例”得𝐷𝐸=𝐴𝐷=2，而𝐷𝐸=4𝑐𝑚，则𝐵𝐶=5𝐷𝐸=10𝑐𝑚，于是得到问题的答案．2

𝐵𝐶

𝐴𝐵 5△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶是解题的关键．𝐶【解析】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+(𝑎−2)𝑥−𝑎−1经过原点，∴0=−𝑎−1，解得𝑎=−1，故选：𝐶．根据抛物线𝑦=𝑎𝑥2+(𝑎−2)𝑥−𝑎−1经过原点，可以得到0=−𝑎−1，然后求出𝑎的值即可．利用二次函数的性质解答．𝐵【解析】解：∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴，∠𝐶=∠𝐶，∴△𝐶𝐵𝐷∽△𝐶𝐴𝐵，∴𝐶𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐶 𝐶𝐵∴𝐵𝐶2=𝐴𝐶⋅𝐶𝐷，∴𝐶𝐷=𝐵𝐶2=16=8．𝐴𝐶 6 3故选：𝐵．设𝐶𝐷=𝑥，根据两角对应相等推出△𝐶𝐵𝐷∽△𝐶𝐴𝐵，得出比例式，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：有两角对应相等的两三角形相似，相似三角形的对应边成比例．𝐷【解析】解：∵关于𝑥的方程𝑥2−6𝑥+𝑘−1=0没有实数根，∴𝛥=(−6)2−4(𝑘−1)<0，解得：𝑘>10．故选：𝐷．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出𝛥=36−4𝑘+4<0，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当𝛥<0时，方程无实数根”是解题的关键．𝐷【解析】解：①由旋转的性质可知，∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=120°，∴当点𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线上时，∠𝐴𝐷𝐶=180°−∠𝐸𝐷𝐶=60°，故①符合题意；𝐵②由旋转的性质可知，△𝐵𝐴𝐶≌△𝐸𝐷𝐶，∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷，𝐶𝐴=𝐶𝐷，由∵∠𝐴𝐷𝐶=60°，∴△𝐴𝐶𝐷为等边三角形，∴∠𝐴𝐶𝐷=60°，∵∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷，∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐶𝐷=60°，故②符合题意；③∵△𝐴𝐶𝐷为等边三角形，∴∠𝐷𝐴𝐶=60°，∵∠𝐵𝐴𝐶=120°，∴∠𝐵𝐴E=∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐷𝐴𝐶=120°−60°=60°，∴∠𝐵𝐴E=∠𝐷𝐴𝐶，∴𝐴E平分∠𝐵𝐴𝐶，故③符合题意；故选：𝐷．∠E𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=120°∠𝐴𝐷𝐶=180°−∠E𝐷𝐶=△𝐵𝐴𝐶≌△∠𝐵𝐶𝐴=∠E𝐶𝐷、𝐴=𝐷𝐶=△𝐷𝐷=E=∠𝐴𝐶𝐷=60°△𝐴𝐶𝐷∠𝐷𝐴𝐶=60°，由题E=E=𝐶E平分𝐶符合题意．题关键是熟练运用旋转的性质．𝐵【解析】解：由题意得：当𝑦=0时，则−1

𝑥2+1𝑥+4=0，12 2 3∴𝑥2−6𝑥−16=0，∴(𝑥+2)(𝑥−8)=0，∴𝑥1=−2(不合题意，舍去)，𝑥2=8，∴此运动员把铅球推出8𝑚．故选：𝐵．由题意可知，推出铅球的距离即为𝑦=0时，自变量𝑥的取值，从而可得关于𝑥的一元二次方程，解得𝑥的值并根据问题的实际意义作出取舍即可．的关键．11.【答案】(0,3)【解析】解：当𝑥=0时，𝑦=𝑥2−2𝑥+3=3，则抛物线与𝑦轴的交点坐标为(0,3)．故答案为(0,3)．计算自变量对应的函数值即可得到抛物线与𝑦轴的交点坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．2023𝑥=𝑚+𝑚−1=0𝑚2+𝑚=则𝑚2+𝑚+2022=1+20222023，故答案为：2023．把𝑥=𝑚代入方程计算即可求出所求．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．25【解析】解：∵𝐴𝐸：𝐸𝐵=2：3，∴设𝐴𝐸=2𝑥，𝐵𝐸=3𝑥，∴𝐴𝐵=5𝑥，∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=5𝑥，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴△𝐷𝐶𝐹∽△𝐸𝐴𝐹，∴𝑆△𝐶𝐷𝐹𝑆△𝐴𝐸𝐹∴

=(𝐷𝐶)2，𝐴𝐸=25×4=25𝑐𝑚2，4故答案为：25．由平行四边形的性质可得𝐴𝐵=𝐶𝐷=5𝑥，𝐴𝐵//𝐶𝐷，可证△𝐷𝐶𝐹∽△𝐸𝐴𝐹，由相似三角形的性质可求解．是本题的关键．增大【解析】解：∵𝑦=𝑥2−2𝑥+5=(𝑥−1)2+4，∴顶点坐标(1,4)，对称轴是直线𝑥=1，又𝑎=1>0，抛物线开口向上，所以，当𝑥>2时，𝑦随𝑥的增大而增大．故答案为：增大．先把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点式可求顶点坐标及对称轴，再结合开口方向判断增减性．方向和对称轴是关键．15.(𝑥6)2𝑥2=102𝐴𝐵𝑥(𝑥−6)尺，𝐴𝐶=丈=10尺，依题意得：𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=𝐴𝐶2，即(𝑥−6)2+𝑥2=102．故答案为：(𝑥−6)2+𝑥2=102．设门高𝐴𝐵为𝑥尺，则门的宽为(𝑥−6)尺，利用勾股定理，即可得出关于𝑥的一元二次方程，此题得解．列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】92【解析】解：如图，连接𝐵𝐹．在𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐶和𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐷中，{𝐵𝐹=𝐵𝐹，𝐵𝐶=𝐵𝐷∴𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐶≌𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐷(HL)，∴𝐶𝐹=𝐷𝐹，∵𝐵𝐶=𝐵𝐷，∴𝐵𝐹垂直平分线段𝐶𝐷，∴∠M𝐶𝐵+∠𝐶𝐵𝐹=90°，∠𝐴𝐶M+∠𝐵𝐶M=90°，∴∠𝐴𝐶M=∠𝐶𝐵M，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴M=𝐵M，∴𝐶M=M𝐴=M𝐵，∴∠𝐴𝐶M=∠𝐴，∴∠𝐶𝐵𝐹=∠𝐴，∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝐹=90°，∴△𝐴𝐶𝐵∽△𝐵𝐶𝐹，∴𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝐶𝐹 𝐶𝐵∴𝐶𝐹=𝐶𝐵2=36=9，𝐴𝐶 8 2故答案为：9．2𝐵𝐹.𝑅𝑡△𝐵𝐹𝐶≌𝑅𝑡△𝐶𝐹=𝐵𝐹𝐶𝐷，再证明△𝐴𝐶𝐵∽△𝐵𝐶𝐹，可得𝐵𝐶=𝐴𝐶，即可解决问题．𝐶𝐹 𝐶𝐵性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．

,𝑦=𝑥−2−，将(4,−5)代入𝑦=𝑎(𝑥−1)2−2得−5=9𝑎−2，解得𝑎=−1．3∴𝑦=−1(𝑥−1)2−2．3【解析】设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2−2，将(4,−5)代入解析式求解．本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．18.如图，△𝐴1𝐵1𝐶1为所作；(2)如图，△𝐴2𝐵2𝐶2𝐴2(−2,2)．(1)𝐴1𝐴𝐵、𝐶𝐴2𝐵2、𝐶2即可；本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19.【答案】证明：∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐸，即∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐵，∵∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐴𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐸，∵∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，【解析】利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．20.【答案】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为𝑥，根据题意得：400(1+𝑥)2=484，解得：𝑥1=0.1=10%，𝑥2=−2.1(不符合题意，舍去)．答：这两年绿化面积的年平均增长率为10%．【解析】设这两年绿化面积的年平均增长率为𝑥，利用该市2021年底绿化面积=该市2019年底绿化面积×(1+这两年绿化面积的年平均增长率)2，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：由题意得：𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，∵∠𝐷𝐸𝐹=90°，𝐷𝐹=0.5𝑚，𝐸𝐹=0.3𝑚，∴𝐷𝐸=√𝐷𝐹2−𝐸𝐹2=0.4𝑚，𝐹=∠𝐷𝐶𝐵=90°，∵∠𝐷=∠𝐷，∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐶𝐵，∴𝐸𝐹=𝐷𝐸，𝐵𝐶 𝐷𝐶∴0.3=0.4，𝐵𝐶 10∴𝐵𝐶=7.5𝑚．∴𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=1.5+7.5=9𝑚．答：树高𝐴𝐵为9𝑚．【解析】利用相似三角形的判定得到△𝐷𝐸𝐹∽△𝐷𝐶𝐵，由相似三角形的性质求得𝐵𝐶的长，则𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶．𝐵𝐶的长是解题的关键．22.【答案】(1)证明：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∵𝐶𝐷是中线，∴𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐷𝐵=1𝐴𝐵，2∴∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐵，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴∠𝐹𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐹=90°，∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐹+∠𝐹𝐴𝐶=90°，∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐹𝐶𝐸，∴∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐵，∵∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐴=90°，∴△𝐶𝐴𝐸∽△𝐶𝐵𝐴；(2)解：∵△𝐶𝐴𝐸∽△𝐶𝐵𝐴，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，𝐴𝐵 𝐶𝐴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵𝐶𝐷是中线，𝐶𝐷=2，𝐴𝐸=3，∴2𝐶𝐷=𝐴𝐵=4，∴𝐶𝐸=𝐴𝐸=3，𝐶𝐴 𝐴𝐵 4设𝐴𝐶=4𝑘，则𝐶𝐸=3𝑘，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸中，∠𝐴𝐶𝐸=90°，∴𝐴𝐶2+𝐶𝐸2=𝐴𝐸2，∴(4𝑘)2+(3𝑘)2=32，解得𝑘=3，5∴𝐴𝐶=4𝑘=12．5【解析】(1)根据相似三角形的判定方法即可得证；(2)𝐶𝐸=𝐴𝐸=3𝐴𝐶=4𝑘𝐶𝐸=3𝑘，再根据勾𝐶𝐴 𝐴𝐵 4股定理求出𝑘的值，进而可得𝐴𝐶的长．𝐶𝐴𝐸∽△𝐶𝐵𝐴．23.【答案】解：(1)设𝑦与𝑥的函数关系式为：𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将当𝑥=20时，𝑦=1000，当𝑥=25时，𝑦=950代入得：{20𝑘+𝑏=100025𝑘+𝑏=950，𝑘=−10解得{𝑏=1200，∴𝑦=−10𝑥+1200，∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−10𝑥+1200；(2)设销售利润为𝑊元，𝑊=(𝑥−40)(−10𝑥+1200)=−10𝑥2+1600𝑥−48000=−10(𝑥−80)2+16000，∵𝑎=−10<0，抛物线开口向下，∴当𝑥=80时，𝑊𝑚𝑎𝑥=16000，答：每件售价80元时，商店销售该商品每天能获得最大利润，最大利润是16000元．【解析】(1)根据当𝑥=20时，𝑦=1000，当𝑥=25时，𝑦=950，用待定系数法求函数解析式即可；(2)根据“利润=(售价−成本)×销售量”列出函数解析，利用二次函数图象的性质进行解答．题．24.【答案】解：(1)设𝐶𝐷=𝑥𝑐𝑚，则𝐵𝐷=12𝑥𝑐𝑚，𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=13𝑥𝑐𝑚，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，∴𝐴𝐵=13𝑥𝑐𝑚，∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=𝐴𝐵2，∴52+(12𝑥)2=(13𝑥)2，∵𝑥>0，∴𝑥=1，∴𝐴𝐵=13𝑐𝑚；(2)由(1)知：𝐵𝐷=12𝑐𝑚，∵𝑃𝑄⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝑃𝑄//𝐴𝐷，∴△𝑃𝐵𝑄∽△𝐴𝐵𝐷，∴𝑃𝑄=𝐵𝑄，𝐴𝐷∴𝑃𝑄

𝐵𝐷5

𝑥，∵𝑄M=𝐵𝑄，∴当0<𝑥≤6时，△𝑃𝑄M与△𝐴𝐵𝐷重叠部分的面积为△𝑃𝑄M的面积，∴𝑠=1×𝑄M⋅𝑃𝑄，2∵𝑄M=𝐵𝑄，𝐵𝑄=𝑥𝑐𝑚，∴𝑠

5𝑥2(0<𝑥≤6)；24当6<𝑥<12时，设𝑃M与𝐴𝐷交与点𝑁，如图，∵𝑄M=𝐵𝑄，𝐵𝑄=𝑥𝑐𝑚，∴𝐵M=2𝐵𝑄=2𝑥𝑐𝑚，𝐷M=M𝐵−𝐵𝐷=(2𝑥−∵𝑃𝑄⊥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∴𝑃𝑄//𝐴𝐷，∴△M𝑁𝐷∽△M𝑃𝑄，∴𝑁𝐷=𝐷M，𝑃𝑄 M𝑄∴𝑁𝐷=2𝑥−12512

𝑥 ，∴𝑁𝐷=5𝑥−5，6∴𝑠=𝑆

−𝑆

=1×𝑥⋅

5𝑥−1×(2𝑥−12)⋅(5𝑥−5)=−5𝑥2+10𝑥−30(6<△𝑃𝑀𝑄𝑥<12)，

△𝑀𝑁𝐷 2

12 25

6 8𝑥2(0<𝑥≤6)综上，𝑠关𝑥的函数解析式为={245 ．− 𝑥2+10𝑥−30(6<𝑥<12)8【解析】(1)设𝐶𝐷=𝑥𝑐𝑚，则𝐵𝐷=2𝑥𝑐𝑚，𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐶𝐷=13𝑥𝑐𝑚，利用勾股定理解答即可得出结论；(2)利用分类讨论的方法解答：当0<𝑥≤6时，△𝑃𝑄𝑀与△𝐴𝐵𝐷重叠部分的面积为△6<𝑥<12𝐴𝐷𝑁，𝑁𝐷𝑠=−解答即可．本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．25.【答案】(1)解：∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐴𝐸=90°，理由如下：由旋转的性质得：∠𝐷𝐴𝐸=1𝛼，2∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=1(180°−∠𝐵𝐴𝐶)=90°−1𝛼，2 2∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐶𝐴𝐷=90°−1𝛼+∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸2=90°−1𝛼+1𝛼−∠𝐶𝐴𝐸2 2=90°−∠𝐶𝐴𝐸，∴∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐴𝐸=90°；(2)证明：过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶交于点𝐺，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶交于点𝐻，∵∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐴𝐸=90°，∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐺𝐴𝐷=90°，∴𝐺𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，∵𝐴𝐷=𝐴𝐸，∴△𝐴𝐺𝐷≌△𝐴𝐻𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐻=𝐴𝐺，∵∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐵=30°，∴𝐴𝐺=1𝐴𝐵，2∴𝐴H=1𝐴𝐶，2∴H点是𝐴𝐶的中点，∴△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，∴𝐴𝐸=𝐶𝐸；(3)解：过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶交于点𝑀，过点𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐶交于点𝑁，由(2)知，△𝐴𝑀𝐷≌△𝐴𝑁𝐸(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐸𝑁=𝑀𝐷，𝐴𝑁=𝐴𝑀，∵𝐴𝐵=5，𝐵𝐶 8设𝐴𝐵=5𝑘，𝐵𝐶=8𝑘，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐵𝑀=𝐶𝑀=4𝑘，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑀中，𝐴𝑀=3𝑘，∴𝐴𝑁=3𝑘，∴𝑁𝐶=5𝑘−3𝑘=2𝑘，∵𝐸𝐶⊥𝐵𝐶，∴∠𝐸𝐶𝑀=90°，∵∠𝐴𝐶𝑀+∠𝐸𝐶𝑁=∠𝐸𝐶𝑁+∠𝐸𝑁𝐶=90°，∴∠𝐴𝐶𝑀=∠𝐶𝐸𝑁，∵tan∠𝐴𝐶𝑀=3=𝑁𝐶，4∴𝐸𝑁=8𝑘，3

𝑁𝐸∴𝐸𝐶=√64𝑘2+4𝑘2=10𝑘，9 3∵𝐶𝐷=𝐶𝑀−𝑁𝐸=4𝑘−8𝑘=4𝑘，3 3∴𝐶𝐸=5．𝐶𝐷 2【解析】(1)先求出∠𝐵=90°−1𝛼，再由∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐶𝐴𝐷=90°−1𝛼+∠𝐷𝐴𝐸−2 2∠𝐶𝐴𝐸=90°−1𝛼+1𝛼−∠𝐶𝐴𝐸=90°−∠𝐶𝐴𝐸，即可求解；2 2𝐴作𝐺⊥𝐶𝐺𝐸H⊥𝐶H△△)，再由直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半得到𝐴𝐺=1𝐴𝐵，则可得𝐴𝐻=1𝐴𝐶，2 2从而知道△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形，再求解即可；(3)过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶交于点𝑀，过点𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐶交于点𝑁，由(2)知，△𝐴𝑀𝐷≌△𝐴𝑁𝐸(𝐴𝐴𝑆)𝐴𝐵=5𝑘，𝐵𝐶=8𝑘𝑁𝐶=2𝑘∠𝐴𝐶𝑀=∠𝐶𝐸𝑁，由tan∠𝐴𝐶𝑀=3=𝐸𝑁=8𝐸𝐶=10𝐶𝐷=4𝑘，4 𝑁𝐸 3 3 3最后求出𝐶𝐸=5即可．𝐶𝐷 2勾股定理是解题的关键．26.【答案】解：(1)令𝑥=0，则𝑦=3，∴𝐶(0,3)，令𝑦=0，则𝑥=3，∴𝐵(3,0)，将𝐵(3,0)，𝐶(0,3)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，∴{𝑐=3 ，9+3𝑏+𝑐=0{𝑐=解得 ，{𝑏=−4∴𝑦=𝑥2−4𝑥+3；(2)𝐷作𝐷𝐺//𝑦𝐵𝐶𝐺，设𝐷(𝑡,𝑡2−4𝑡+3)𝐺(𝑡,−𝑡+3)，∴𝐷𝐺=|𝑡2−4𝑡+3+𝑡−3