“勾股定理逆定理”的应用

222222222222222222222222222222222222222222222222222“勾股定逆定理”的用如果一个三角形的三边长、、c，满足

，则以a、c为三边的三角形是直角三角形．我们称之为“勾股定理逆定理用可以判断一个三角形是否直角三角形，打破了要说明一个角是90°，只能靠角与角之间的转化得到90的思维模式，为我们解决问题提供了另一种方法。下面举例说明其具体的应用。一判状例、如果ΔABC的三边分别为ab，且满足a+c+50=6a+8b+10c判断ΔABC的形状．分：判断ΔABC的状，需要找到a、的关系，而题目中只有条件a+50=6a+8b+10c故只有从该条件入手，解决问题．解由+b+50=6a+8b+10c，得-8b+16+c-10c+25=0，所以(+(b-4)=0．为≥0,(b≥0,(c≥0所以a=3b=4，c=5．因为，以a+b．以ΔABC是角三角．二求段长例、知如图1，在△ABC中AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15.AB的长分:在ADC中，知两边长，求第三边长，就目前所学的知识，可先判断这个三角形是否为直角三角形，若是利用由勾股定理即可求线段的长。而ADB中，知三边长，只许计算出各边的平方，即可作出判.解因为为BC边上中,而AD=15,AB=17,所以DC=BD=2BD222AB因为所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=°所以AD⊥BC,故△ADC为直角三.

ABD图1

又由勾股定,得AC=

2

2

2

2

AB.三求的数例如正方形ABCDE为BC中为AB上点BF=的度数。分可猜想DEF=90°题目中给出的是一些线段之间的关系如何利用线段关系来说明∠DEF=90°呢连DF实上就是考察三角形DEF是为直角三角形只看它的三边是否满一边的平方等于另两边的和解连接。设，则，AF=3a，，则EF=BF+BE=5a，DE=CE=20a，DF=9a．

14

AB求∠图所以DF=EF+DE，所以∠四求积例、如图3所的块地，已知AD=4米米，米BC=12米，求这块地的面积.第页共页

2222222222分：接AC构造出eq\o\ac(△,Rt)ADC利用勾股定理求出AC，再看ACB三边长是否满足“一边的平方等于另两边的和ACB为角三角形，即可求出他们的面积，而这块地的面积=

S

ABC

解连结AC因为ADC为直角三角形，

D所以由勾股定理，得

2252.

A

图3

B而

BC2所以△ACB也为直角三角形，且°所以这块地的面=

S

ACD

11242

(平方米。五解实问例、如4所，甲、乙两船同时从出发，甲船沿北偏东35°的方向，每小时9海里的速度向岛驶去，乙船另一个的方向，以每小时12海的速度向C岛驶，小时后两船同时到达了目的地.果两船航行的速度不变，且C、两相距45海，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？分：根据题意，可求出AB=27，BC=45由此可知两船出发的方向是成直角的，即∠BAC=90°，根据此即可求出乙船航行的方向.解题意知（里×（里BC=45（海里），在△中AB

+AC

=27

+36

2

=45

，所以∠BAC=90°，180°35°-90°=55所以乙船航行的方向是南偏东55°.

图练eq\o\ac(△,、)ABC中试说明：△是角三角形。

，，，2、如图5，在△ABC、中，是BC边的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，，DC的长．图53、如图6，已知AB⊥BC，AB＝，BC＝，CD12，DA＝13求四边形ABCD的面．第页共页

2222224322图64、如，李叔叔想要检测雕底座正面四边形是为长方形，他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是为长方形（设计备用DA

D

图图

参答：1、由已知得：c＞，＞，即c是长边，又a2+b（）（2）4+8n2+4n+1，C=(2n+2n+1)=4n+8n+8n，所以a=，