数值分析 (第2章)

第2章插值法内容提要2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差与牛顿插值公式2.4埃尔米特插值2.5分段低次插值2.6三次样条插值2.1引言许多实际问题都用函数y=f(x)

来表示某种内在规律的数量关系。若已知f(x)在某个区间[a,b]

上存在、连续，但只能给出[a,b]

上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)

的特性，又便于计算的简单函数P(x)，用P(x)

近似f(x)。这就引出了插值问题。1、提出问题（插值法的定义）2、几何意义、外插、内插P(x)

f(x)x*(外插)x0x1x(内插)x2x3P(x*)

f(x*)3、插值的种类选取不同的函数族构造

P(x)

得到不同类型的插值若P(x)

是次数不超过n的代数多项式，就称为多项式插值；若P(x)

为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)

为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛性及估计误差等。4、多项式插值问题插值多项式的存在唯一性

定理1

(存在唯一性)

满足插值条件的不超过n

次的插值多项式是存在唯一的。2.2拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值y=f(x)L1(x)yxxk+1xk02、抛物插值求解基函数二、拉格朗日插值多项式

上面针对n=1和n=2的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造n+1个节点的n次插值多项式。定理表明：(1)插值误差与节点和点x之间的距离有关,节点距离x越近,插值误差一般情况下越小。

(2)若被插值函数f(x)本身就是不超过n次的多项式,则有f(x)≡g(x)。

3、应用举例用二次插值计算ln(11.25)的近似值,并估计误差。例2-2

给定函数值表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949在区间[10,12]上lnx

的三阶导数(2/x3)的上限M3=0.002,可得误差估计式注：实际上,ln(11.25)=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2yi-2.0-0.80.41.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00

?分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。2.3均差与牛顿插值公式一、均差及其性质问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。1、均差定义2、均差的基本性质2、均差的基本性质2、均差的基本性质xiƒ(xi)一阶均差二阶均差三阶均差…n阶均差x0x1x2x3xnƒ(x0)ƒ(x1)ƒ(x2)ƒ(x3)ƒ(xn)ƒ[x0,x1]ƒ[x1,x2]ƒ[x2,x3]ƒ[xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2]ƒ[x1,x2,x3]ƒ[xn-2,xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2,x3]ƒ[xn-3,xn-2,x2,x3]………………ƒ[x0,x1,…,xn]均差计算表例如由函数y=(x)的函数表写出均差表.解均差表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixiƒ(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1二、牛顿插值公式解由差商表知[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,[x0,x1,x2,x3]=-1,于是有N1(x)=5-2(x+2)=1-2xN2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9例2-6

对例如中的(x),求节点为x0,x1

的一次插值，x0,x1,x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插多项式.

ixiƒ(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1例2-7

给出f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计算f(0.596)的近似值。xiƒ(xi)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.000122.4埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。

y=L10(x)y=L10(x)x012(x)129’(x)3xiƒ(xi)一阶均差二阶均差三阶均差01121229137241解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）2.5分段低次插值一、高次插值的病态性质一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n->∞时，Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。

y=L10(x)

x1y=L10(x)o-10.5y1.51龙格现象二、分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).分段线性插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值2.6三次样条插值

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。一、三次样条函数y=L10(x)每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。y=L10(x)二、三次样条插值函数的建立y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见5.3节追赶法。y=L10(x)y=L10(x)知识结构图二插值法工具分段多项式插值存在唯一性多项式插值Hermite插值插值公式误差估计差商、差分Lagrange插值基及函数定义性质定义性质导数型差商型Lagrange插值多项式Newton插值多项式等距节