热学第二章物理

热学第二章物理第1页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.1理想气体的压强与温度本节是典型的微观研究方法。

一般气体分子热运动的概念：分子的密度31019个分子/cm3=3千亿个亿；分子之间有一定的间隙,有一定的作用力；分子热运动的平均速度约v=500m/s；分子的平均碰撞次数约z=1010次/秒。一.微观模型二．理想气体压强公式的推导三．理想气体的温度和分子平均平动动能第2页，共45页，2023年，2月20日，星期六一.微观模型

1.对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积；（因为分子的线度<<分子间的平均距离）分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。碰撞为完全弹性（动能不变）分子服从经典力学规律分子数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。(理想气体的微观假设)第3页，共45页，2023年，2月20日，星期六定义:某一事件i发生的概率为Pi

Ni----事件i发生的次数

N----各种事件发生的总次数(b)统计规律有以下几个特点:（1）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.NNPiNilim¥®=例.扔硬币,掷筛子2.对分子集体的统计假设（a）什么是统计规律大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。第4页，共45页，2023年，2月20日，星期六(c)对大量分子组成的气体系统的统计假设：VNdVdNn==dV----体积元（宏观小，微观大）（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；（2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分子数密度到处一样，不受重力影响；（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的.

第5页，共45页，2023年，2月20日，星期六把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差不多。二．理想气体压强公式的推导设第i组分子的速度在区间内。iiivdvvrrr+~以ni表示第i组分子的分子数密度总的分子数密度为å=iinn一次碰撞单分子动量变化2mvix在dt时间内与dA碰撞的分子数nivixdtdA斜柱体体积设dA法向为x轴vidtdAx第6页，共45页，2023年，2月20日，星期六dt时间内传给dA的冲量为dI=

mnivix2dtdAi(vix>0)vx2=nivxi2inP=dIdtdA

=nmvx2=

13nmv22123

n(mv2)=2=

3nt

公式描述的是统计规律,而不是力学规律.

思考：推导过程中是否应考虑小柱体内，会有速度为的分子被碰撞出来而未打到dA面上？

ivr

公式成立的条件：公式有待于实验的验证

(因为宏观量P与微观量的统计平均值相联系)(作了几条统计假设)第7页，共45页，2023年，2月20日，星期六三．理想气体的温度和分子平均平动动能P=nkTt=32kT平均平动动能只与温度有关理想气体温标或热力学温标温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。方均根速率V2=

m3kT3RT=例.在0oC时，H2分子

smv/18361002.227331.8332==-O2分子

smv/461103227331.8332==-第8页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.2能量均分定理自由度：N个原子组成的分子总自由度=

3N，其中分子整体平动自由度=3，整体转动自由度=3

N个原子振动自由度=3N-6能量均分定理：由经典统计力学描述的气体在绝对温度T时处于平衡，其能量的每个独立平方项的平均值等于kT/2。确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数。第9页，共45页，2023年，2月20日，星期六由理想气体模型单原子分子

121212E=mvx2+mvy2+mvz212平均动能=3kT

每个平动自由度分配平均能12

kT

刚性双原子分子除平动能,还有转动能:1212E转动=IXx2+IYy2z非刚性双原子分子除平动能、转动,还有振动能:每个振动自由度分配平均能2倍于12

kT

振动自由度=1每个平动自由度分配平均能12

kT

第10页，共45页，2023年，2月20日，星期六设平动自由度t，转动自由度r，振动自由度sK=(t+r+s)12

kT

刚性双原子分子K=52

kT

单原子分子K=32

kT

理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。弹性双原子分子=72

kT

弹性双原子分子K=

3kT分子平均总动能:分子平均总能量:单原子分子

=32

kT

刚性双原子分子=52

kT

E=N=(t+r+2s)N2

kT

=(t+r+2s)

2

RT

=(t+r+2s)12

kT

理想气体内能第11页，共45页，2023年，2月20日，星期六4.5/2(RT)1.3kT2.1/2(t+r+s)kT3.i/2(RT)(i为分子的总自由度)5.3/2(RT)请说明下列公式的物理意义第12页，共45页，2023年，2月20日，星期六复习1．平衡态1．理想气体的压强公式一．重点概念2．温度3．理想气体的微观模型二．主要物理规律2．温度公式3．能量按自由度均分定理t=32kTP=

13nmv223nt=三．应用例：1mol氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)贮一氧气瓶中，温度为27℃,这瓶氧气的内能为______J;分子的平均平动动能为______J;分子的平均总动能为______J.(R=8.31mol-1.K-1,k=1.38×10-23J.K-1)第13页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.3麦克斯韦速率布律单个分子速率不可预知,大量分子的速率分布是遵循统计规律,是确定的,这个规律就叫麦克斯韦速率分布律。速率分布函数：设总分子数N，速率区间v~v+dv，该速率区间内分子数dNv则dNvN=f(v)dv速率分布函数速率v附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。显然f(v)dv=1

0归一化条件一.麦克斯韦速率分布律第14页，共45页，2023年，2月20日，星期六

气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，某特定分子究竟具有多大的速率是完全偶然，不能予知的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明它们的速率分布遵从一定的统计规律。本部分将首先介绍统计分布规律的概念，介绍测定气体分子速率分布的实验，和在平衡态下理想气体分子速率分布的统计规律-----麦克斯韦速率分布(Maxwellspeeddistribution)规律第15页，共45页，2023年，2月20日，星期六二.麦克斯韦速率分布函数f(v)=4m2kT3/2v2e

-mv/2kT21.最概然速率vpf′(v)=0vp=2kTm=2RT三.麦克斯韦速率分布曲线四.麦克斯韦速率分布的应用f(v)f(vp)vvpvv+dv面积=dNVN0第16页，共45页，2023年，2月20日，星期六f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多vp=2kTm=2RT速率vp的意义？第17页，共45页，2023年，2月20日，星期六2.平均速率viNiN=vdNv/N=vf(v)dv0v=v=8kTm=8RT3.方均根速率v2iNiN=v2dNv/N=v2f(v)dv0v2=v2=3kT/mv2=3kTm=3RT第18页，共45页，2023年，2月20日，星期六即，区间v~v+dv，分子数dNv速度在区间

vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz=g(v)dvdNvNg(v

)=m2kT3/2

e-mv/2kT2五.麦克斯韦速度分布函数第19页，共45页，2023年，2月20日，星期六六.应用例1:有N个粒子,其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a;(2)分别求速率大于v0和小于v0的粒子数;(3)求粒子的平均速率.例2:试说明下列各式的物理意义)2(0)()2()()0()(00000vvvfvvvavfvvvavvf>=££=££=第20页，共45页，2023年，2月20日，星期六例3.已知f(v)为麦克斯韦速率分布函数，vp为分子的最可几速率。则表示__________；速率v>vp的分子的平均速率表达式为__________。第21页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.4麦克斯韦速率分布律的实验验证OD蒸汽源检测器R抽气抽气Lv=rRLlv=L给定v=v=rlv小孔充分小，改变，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布第22页，共45页，2023年，2月20日，星期六第23页，共45页，2023年，2月20日，星期六模拟分子束速率分布实验图

O---分子源

C---圆筒

G---玻璃板

S1,S2,S3----狭缝铋分子从分子源开口逸出，通过狭缝S1，S2后，进入圆筒C，撞击并粘附在弯曲玻璃板G上。第24页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.5玻耳兹曼分布律假如气体分子有势能Ep

=Ep(x，y，z)，E=Ep+Ek一、玻耳兹曼推广在麦克斯韦速度分布率中，有一因子e-mv/2kT

2e-E/kT

k即dNe-E/kTdvx

dvydvzdxdydz

为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念---微观状态气体分子速度在区间

vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz

，位置在区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz分子数目为第25页，共45页，2023年，2月20日，星期六微观状态：一气体分子处于速度区间

vx~vx+dvx

，vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

位置区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz,称该分子处于一种微观状态，

dvxdvydvz

dxdydz所限定的区域称为状态区间。

玻耳兹曼统计：玻耳兹曼因子其它情形，如原子处于不同能级的原子数目E0E3E2E1

ni

e-E/kTi温度T的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量E有关，而且与e-E/kT

成正比。第26页，共45页，2023年，2月20日，星期六Ek=21m（vx2+vy2+vz2）代入上式，归一化分子数dN'处于位置区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dzdN'dxdydz=C

e-E/kT

p令Ep=0处气体密度n0n=n0e-E/kT=n0e-mgh/kT=n0e-gh/RTp气体密度随高度变化二、重力场中的气体分子按位置分布dNe-（E+E）/kTdvx

dvydvzdxdydz

kp第27页，共45页，2023年，2月20日，星期六恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化P=P0e-gh/RT根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化,测大气温度有一定的范围，是近似测量。第28页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.6实际气体等温线在非常温或非常压的情况下,气体就不能看成理想气体了。v（10-3l/mol）CO2等温线液汽液共存汽气P（atm）95.50455072.3KABC48.1OC31.1OC21OC13OCVP理想气体实际气体的等温线可以分成四个区域:汽态区(能液化)，汽液共存区，液态区，气态区(不能液化)。第29页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.7范德瓦尔斯方程实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用两个分子之间的相互作用势r0称作分子半径~10-10m平衡位置s有效作用距离~10-9m分子“互不穿透性”ru(r)2r0s第30页，共45页，2023年，2月20日，星期六分子为刚性球，气体分子本身占有体积，容器容积应有修正一摩尔气体P=v-bRT理论上b约为分子本身体积的4倍估算b值~10-6m3通常b可忽略，但压强增大，容积与b可比拟时，b的修正就必须了。实际b值要随压强变化而变化。第31页，共45页，2023年，2月20日，星期六内压强与器壁附近吸引气体分子的气体密度成正比，同时与在器壁附近被吸引气体分子的气体密度成正比。Pi

n2av2Pi=P=v-bRTav2-(P+av2)(v-b)=RT质量为M的气体(P+aV2)(V-b)=RT2M2MM上两式就是范德瓦耳斯方程对氮气，常温和压强低于5107Pa范围a=0.84105Pal2/molb=0.0305l/mol1v2第32页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.8气体分子的平均自由程气体分子自由程线度~10-8m一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率Z

单位时间内分子经历的平均距离v,平均碰撞Z次

=Zv一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程叫平均自由程第33页，共45页，2023年，2月20日，星期六平均碰撞频率Z设分子A以相对平均速率u运动，其它分子可设为静止运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞该圆柱体的面积

就叫碰撞截面

=d2Addduu第34页，共45页，2023年，2月20日，星期六单位时间内分子A走u,相应的圆柱体体积为u,则Z=nu统计理论可计算u=2vZ=2d2vn平均自由程

=Zv=2d2n1=2d2PkT对空气分子d~3.510-10m标准状态下Z~6.5109s，~6.910-8m

气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。第35页，共45页，2023年，2月20日，星期六u=v-v'平方u=v+v'-2v·v'222取平均u=v+v'-2v·v'222各个方向随机运动，故为零u=v+v'222相等u=2v22设均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式u=2

v第36页，共45页，2023年，2月20日，星期六例：容积恒定的容器内盛有一定量的某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为

λ0，平均碰撞频率为Z0，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程λ和平均碰撞频率Z分别为第37页，共45页，2023年，2月20日，星期六第二章作业P86思考题2.10

P87习题2.2,2.5,2.6,2.11第38页，共45页，2023年，2月20日，星期六§2.9输运过程最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程---输运过程。系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。介绍三种输运过程的基本规律：内摩擦热传导扩散第39页，共45页，2023年，2月20日，星期六1.内摩擦AB现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来。解释：B盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。xzu=u(z)dSdf'df流速不均匀，沿z

变化（或有梯度）不同流层之间有粘滞力第40页，共45页，2023年，2月20日，星期六设，dS的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为df，反作用为df'，这一对力满足牛顿第三定律。实验测得称为粘滞系数20oC时，水为1.00510-3Pas空气为1.7110-7Pas流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流层后拖流速大的流层。用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。根据动量定律df=

dzduz=z0dSdK=

df.dt

dzduz=z0dSdtdK=