2023年河南省九师联盟高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]2．已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A． B． C． D．3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A． B． C． D．4．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A． B． C． D．5．下列两个量之间的关系是相关关系的为（）A．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B．学生的成绩和体重C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D．水的体积和重量6．已知命题，则为A． B．C． D．7．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y6m32A．变量x,y之间呈现负相关关系B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7C．m=4D．该回归直线必过点(9,4)8．设A、B是非空集合，定义：且.已知，，则等于（）A． B． C． D．9．一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下10．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为________.14．已知是方程的一个根，则________15．已知矩阵，，则矩阵________.16．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.18．（12分）某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：（1）记甲的日工资额为（单位：元），求的分布列和数学期望；（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．19．（12分）设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线的斜率是，求的值；（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．20．（12分）已知数列，的前n项和分别为，，，且.(1)求数列的前n项和；(2)求的通项公式.21．（12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.22．（10分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。【点睛】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法。2、D【解析】

计算出样本中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【详解】由题意可得，，将点的坐标代入回归直线方程得，解得，故选D.【点睛】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.3、C【解析】

运行程序，当时退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.4、D【解析】

根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中，，，，，，又又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.5、C【解析】

根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；B选项，成绩与体重之间不具有相关性；C选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；D选项，水的体积与重量是函数关系.故选C【点睛】本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型.6、C【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。详解：，故选C点睛：带全称、特称量词的否定，命题“，则成立”的否定：，则成立命题“，则成立”的否定：，则成立7、C【解析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=﹣0.7<0，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=﹣3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.8、A【解析】求出集合中的函数的定义域得到：，即可化为或解得，即，则故选9、A【解析】

由线性回归方程的意义得解.【详解】将代入线性回归方程求得由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．【点睛】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.10、A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.11、C【解析】

设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.12、B【解析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由二项式定理及展开式通项得：，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，得解．【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为，又展开式的常数项的值不大于15，则，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．14、14【解析】

利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出。【详解】是关于方程的一个根，也是关于方程的一个根，，，解得，，故答案为：14【点睛】本题考查一元二次方程的虚根成对原理、韦达定理，属于基础题。15、【解析】

先求出，再与矩阵B相乘即可.【详解】由已知，，所以.故答案为：【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，涉及到可逆矩阵的求法，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16、【解析】试题分析：若集合中分别有一个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有一个元素，集合中有四个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有两个元素，集合中有三个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；若集合中有三个元素，集合中有两个元素，则选法种数有种；若集合中有四个元素，集合中有一个元素，则选法种数有种；总计有种．故答案应填：．考点：组合及组合数公式．【方法点睛】解法二：集合中没有相同的元素，且都不是空集，从个元素中选出个元素，有种选法，小的给集合，大的给集合；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；从个元素中选出个元素，有种选法，再分成两组，较小元素的一组给集合，较大元素的一组给集合，共有种方法；总计为种方法．根据题意，中最小的数大于中最大的数，则集合中没有相同的元素，且都不是空集，按中元素数目这和的情况，分种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所作角是二面角的平面角；点到面的距离还原到体积问题，则利用等体积法解题.18、（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.【解析】

（1）首先根据茎叶图得到的所有可能取值为：，，，，，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可.【详解】（1）设甲日送件量为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，所以的所有可能取值为：，，，，．，，，，.的分布列为（元）.（2）乙的日均送件量为：乙的日均工资额为：（元），而甲的日均工资额为：元，元元，因此，推荐该公司选择乙的方案．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题.19、（1）（2）（3）或【解析】

（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;（3）因为,故.、两点抛物线上,可得,,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程,因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.【详解】（1）在,设,则由两点间距离公式可求得:令,(当即取等号)的最小值.（2）,,故则的直线方程:将与联立方程组,消掉则:,得:化简为:.由韦达定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直线的斜率是故:即的值为.（3）,,故,在、两点抛物线上,,,故整理可得:、、三点互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作关于的一元二次方程,且,,故此方程有两个不相等的实根:即故:解得:或点的纵坐标的取值范围:或.【点睛】在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.20、（1）（2）【解析】

（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法可求出数列的通项公式．【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以.当时.；当时，.故【点睛】本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间