第二章矩阵理论小结

第二章矩阵理论小结第1页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一节矩阵及其运算第二节矩阵的初等变换第二章矩阵理论第三节逆矩阵第四节矩阵理论的应用第2页，共81页，2023年，2月20日，星期三1．理解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、对称阵等的性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。3．了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。4．熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的标准形。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第3页，共81页，2023年，2月20日，星期三5．理解矩阵的秩的概念，知道满秩矩阵的性质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。6．理解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。7．了解矩阵的分块及其运算。本章学习要求：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第4页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论由mn

个数

aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)有序地排列成

m

行(横排)

n列(竖排

)

的数表称为一个m

行n列的矩阵，简记为(

aij)mn

,通常用大写字母

A、B、C、…表示.

m行n列的矩阵

A

也写成Amn

,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而aij表示矩阵

第

i

行第

j列的元素.§1.矩阵及其运算

一、矩阵的概念第5页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论有几种特殊的矩阵:1)只有一行的矩阵(a1,a2,…,an)

称为行矩阵

；2)只有一列的矩阵称为列矩阵

;3)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为

O,若强调零矩阵是m

行n

列的，则记为Omn

.注意：不同型的零矩阵是不相等的.

同型矩阵

矩阵相等第6页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论

二、矩阵的运算1、矩阵的加法和减法设有两个

mn矩阵

A=(aij)mn,B=(bij)mn,则矩阵称为矩阵

A与

B的和，记为

C=A+B.矩阵的加法满足下列运算规律：(i)交换律：A+B=B+A;(ii)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

;(iii)A+O=A.AB=A+(B)=(aijbij)mn.第7页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论2、数与矩阵的乘法设

为常数,矩阵

A=(aij)mn,则称矩阵(aij)mn为数与矩阵A的乘积，记为

A,即数与矩阵的乘法满足下列运算规律：(i)结合律：()A=(A)=

(A)

;(ii)分配律：(A+B)=

A+

B,(iii)1A=A,(1)

A=

A.(+)A=

A+

A;第8页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论3.矩阵与矩阵的乘法设矩阵

A=(aik)ms,B=(bkj)sn,则定义

A与

B的乘积

C为C=AB注意：只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第9页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论矩阵乘法满足下列运算规律:(1)结合律：(AB)C=A(BC);(2)分配律：A(B+C)

=AB+AC，(B+C)A=BA+CA;

(AB)=(A)B=A(B),为常数.第10页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论4、矩阵的转置将mn

矩阵A的行和列互换而顺序不变，得到的nm

矩阵称为A的转置矩阵，记作

AT

或

A’.矩阵的转置满足下列规律：1)(AT)T=A;2)(A+B)T=AT+BT;3)(A)T=AT,为常数；4)(AB)T=BTAT.第11页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论1)单位矩阵三、方阵2)对角矩阵第12页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论3)三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种上三角矩阵：下三角矩阵：4)对称阵：AT=A5)反对称阵：AT=A第13页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论方阵的运算AA=A2,AAA=A3,AA…A=Ak.k个显然有

AkAl=Ak+l,(Ak)

l=Akl(其中

k,l均为正整数

).设

A、B均为

n阶方阵，一般地(AB)kAkBk.注意：第14页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论对于一切的正整数k

第15页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论方阵A构成的行列式记为

|A|

或detA.

若

|A|0,则称A为非奇异(非退化)的；若

|A|=0,

则称A为奇异的.由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：1)|A|=n|A|;2)|AB|=|A||B|;3)|Am|=|A|m.方阵的行列式非奇异方阵的积仍是非奇异方阵.非奇异方阵的转置矩阵也是非奇异方阵.第16页，共81页，2023年，2月20日，星期三1)计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保证对应子块同型；2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；3)求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置.第二章矩阵理论四、矩阵的分块第17页，共81页，2023年，2月20日，星期三注：设矩阵A=(aij)mn分块为则第18页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论若矩阵A经过某种分块后，能划分成如下形式：其中

A,A2,…,Am均为方阵，则称

A为准对角矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质.如

第19页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论注意：第20页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论定义1对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的初等行变换:1)互换矩阵的两行(记作rirj

);2)以数

0

乘以矩阵的某一行(记作ri);3)将矩阵的某一行各元素乘以数

后加到另一行的对应元素上去(记作ri+rj

).将行换成列，则称为矩阵的初等列变换

(

所用记号将

r

换成

c).§2.矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第21页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论二、初等矩阵单位矩阵E经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵共三种：1)rirj,得第

j行第i

行第22页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论2)ri×

(0)，得第i

行第23页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论3)ri+rj，得

第i

行第j

行第24页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论设

A

是一个mn

矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于A

左乘以一个相应的初等矩阵；对A

施行一次列变换，相当于A

右乘以一个相应的初等矩阵.第25页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论三、矩阵的秩A的不为零的子式的最高阶数称为矩阵

A

的秩，记为

R(A).R(A)=k的充要条件是矩阵A

中至少有一个k

阶子式不为零，而所有k+1

阶子式全为零。初等变换不改变矩阵的秩.第26页，共81页，2023年，2月20日，星期三若矩阵B是由矩阵

A经过有限次的初等变换后所得，则称

A与B等价.第27页，共81页，2023年，2月20日，星期三方阵A非奇异的充要条件是A可以表示为一系列初等矩阵的乘积.若A为n阶非奇异矩阵，则只要对A施行初等行变换或列变换，可将矩阵A化为单位阵.第28页，共81页，2023年，2月20日，星期三秩的重要公式与结论证证证证第29页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论用初等行变换求矩阵的秩的步骤:行变换右端矩阵称为阶梯形矩阵，有r行不全为零，则

A的秩为

r.第30页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：右端矩阵称为A的标准形，其左上角为一个r

阶单位阵

(r=R(A)),其余元素全为零.第31页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论§3.逆矩阵一、逆矩阵的概念设A

是一个n阶方阵，如果存在

n阶方阵

B,使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵，此时也称

A

可逆.若矩阵A

是可逆的，则A

的逆矩阵是唯一的.第32页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论设a11a22…ann0,则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵若方阵A1,A2,…,Am均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵第33页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论二、矩阵可逆的条件及求逆公式设n阶方阵Aij为元素aij的代数余子式

(

i,j=1,2,…,n),称为矩阵A的伴随矩阵.则矩阵第34页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论且其中

A*为

A的伴随矩阵.方阵A可逆|A|0,设A、B均为n阶方阵，若

AB=E(或

BA=E),则

B=A1.第35页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论第36页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论三、逆矩阵的性质1)(A1)1=A;2)3)(AT)1=(A1)T;4)(AB)1=B1A1;5)6)若AB=AC且A可逆

B

=

C.性质4还可推广到m个方阵的情形，即特别：(Am)1=(A1)m.第37页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论矩阵性质的比较：(A1)1=A;(AB)1=B1A1;(AT)T=A;(AB)T=BTAT;(AT)1=(A1)T;第38页，共81页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵理论四、用初等变换求逆矩阵(A|E)初等行变换(E|A1).第39页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一章行列式求逆矩阵常用方法1.定义2.伴随矩阵法3.初等变换法(A|E)初等行变换(E|A1).第40页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一章行列式4.利用分块矩阵求逆第41页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一章行列式第42页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一章行列式证明矩阵可逆的常用方法1.定义2.可逆的充要条件3.反证法第43页，共81页，2023年，2月20日，星期三第一章行列式求方阵A的高次幂的方法1.数学归纳法2.利用矩阵乘法的结合律3.利用二项展开式4.利用准对角矩阵求幂第44页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第45页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第46页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第47页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第48页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第49页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第50页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第51页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第52页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第53页，共81页，2023年，2月20日，星期三例第54页，共81页，2023年，2月20日