2020年福建高考文数真题及解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

1.已知集合4={*，-3犬一4<0},8={-4,1,3,5},则408=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答-案】D

【解一析】

【分--析】

首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得得到结果.

【详-解】由》2—3万一4<0解得一l<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因为3={Y,1,3,5},所以AD8={1,3},

故选：D.

【点-睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集

合，集合的交运算，属于基础题目.

2.若z=l+2i+i3,则0=()

A.0B.1

C0D.2

【答-案】C

【解一析】

【分一析】

先根据『=一1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出.

【详-解】因为z=l+2i+/=l+2i—i=1+3所以忖nJlW=J5.

故选：

C.

【点-睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的

高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与

底面正方形的边长的比值为()

()

A6-1RV5—1

42

C布+1D石+1

'4'2

【答-案】C

【解-析】

【分一析】

设CD=a,PE=b,利用尸。2=_[。。.。后得到关于。力的方程，解方程即可得到答-案.

2

【详-解】如图，设CD=a,PE=b,则PO々PE?一OE[=「一£，

由题意产。2=—。0,即/—三化简得4(二)2-2・3一1=0,

242aa

解得(负值舍去).

a4

故选:

c.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容

易题.

4.设。为正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，则取到的3点共线的概率

为（）

12

A.-B.-

55

14

C.-D.一

25

【答-案】A

【解一析】

【分一析】

列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算

即可.

【详-解】如图，从。ABC,05个点中任取3个有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{AC,。},共10种不同取法,

3点共线只有{A,0,C}与{B,0,。}共2种情况,

由古典概型的概率计算公式知,

取到3点共线的概率为得=:

故选：A

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是

一道容易题.

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率)，和温度x(单位：℃)的关系，在20

个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(4K)(，=l,2,…,20)得到下面的散点图：

100%----------------------------------------------------------------

80%----------------------------------------------------------------

然60%

40%

40温度/工

由此散点图，在10久至40。(2之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度尤

的回归方程类型的是。

A.y=a+bxB.y=a+bx'

C.y=a+bexD.y=a-^-b\nx

【答-案】D

【解--析】

【分--析】

根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详-解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率>和温度》的回归方程类型的是y^a+b\nx.

故选：D.

【点-睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

6.已知圆V+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()

A.1B.2

C.3D.4

【答-案】B

【解-淅】

【分-淅】

根据直线和圆心与点(1,2)连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详-解】圆x、y2-6x=0化为(X-3)2+>2=9,所以圆心C坐标为C(3,0),半径为3,

设P(l,2),当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦

长最短，

根据弦长公式最小值为219一|=279^8=2.

故选：B.

【点-睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

7T

7.设函数/(幻=85(的+—)在［—兀,兀］的图像大致如下图，则f(X)的最小正周期为()

10K7兀

A.——B.

9~6

4兀3兀

C.—D.

3T

【答-案】C

【解--析】

【分--析】

I47r\（44711\44\

由图可得：函数图象过点--酸,0,即可得到cos卜-葭⑻+至=0,结合一歹,0是

4TTTTTT4

函数“X）图象与龙轴负半轴的第一个交点即可得到一73+7=-万，即可求得出=/

再利用三角函数周期公式即可得解.

【详-解】由图可得：函数图象过点

/4万冗\

将它代入函数/（X）可得：cosl---ty+-1=0

又（一篝'°）是函数/（X）图象与X轴负半轴的第一个交点'

47r7t7i3

所以------（0-\—=，解得：co=一

9622

_2%_2%_4乃

所以函数/（X）的最小正周期为/=工=3=7

2

故选：C

【点-睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中

档题.

8.设alog34=2,则4-"=()

11

A.—B.—

169

11

C.-D.—

86

【答-案】B

【解一析】

【分一析】

首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到log34"=2,即染=9,进而求得

4-"=^,得到结果.

【详-解】由alog34=2可得=2,所以4"=9，

所以有4一"=§,

故选：B.

【点-睛］该题考查的是有关指对式的运算的问题,涉及到的知识点有对数的运算法则，指数

的运算法则，属于基础题目.

9.执行下面的程序框图，则输出的〃=（）

（开手）

/输入/>V，s=o/

1,4,

/输出〃/

（结束）

A.17B.19

C.21D.23

【答-案】C

【解一析】

【分-析】

根据程序框图的算法功能可知，要计算满足1+3+5+.-+”>100的最小正奇数〃，根据等

差数列求和公式即可求出.

【详-解】依据程序框图的算法功能可知，输出的w是满足1+3+5+--+〃>1()0的最小正奇

数，

因为(""M三+l)*I』，解得">19,

1+3+5+…+〃=------------+>100

24V'

所以输出的〃=21.

故选：C

【点-晴】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前”项和公式的应用，属

于基础题.

10.设｛。“｝是等比数列，且q+4+4=1，a2+a3+a4=2,则％+。7+“8=()

A.12B.24

C.30D.32

【答-案】D

【解--析】

【分一析】

根据已知条件求得<7的值，再由%+%+/=/(4+生+%)可求得结果.

【详-解】设等比数列｛q｝的公比为4,则4+生+。3=4(1+9+/)=1，

%+%+%=44+4/+4夕3=aq(l+”g2)=q=2,

因止匕4+/+4=44,+4或+4/=4/(1+,+/)=/=32.

故选：D.

【点-睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.

2

11.设月，工是双曲线C:/—]_=1的两个焦点，。为坐标原点，点p在。上且|OP|=2,

则的面积为()

7

A.—B.3

2

5

C.-D.2

2

【答-案】B

【解一析】

【分一析】

由△斗是以尸为直角直角三角形得到|PFj+|pK『=16,再利用双曲线的定义得到

||PF}\-\PF21|=2,联立即可得到\PFt\\PF2\,代入Svgp=；|PbJIPF21中计算即可.

【详-解】由已知，不妨设耳(一2,0),玛(2,0),

则a=l,c=2,因为|OP|=l=g|6乙

所以点P在以耳心为直径的圆上，

即4耳用P是以尸为直角顶点的直角三角形，

故|「耳『+|「玛阳耳玛

即|PF|『+|P居『=]6,又疗耳6||=2a=2,

所以4=||「耳|—|尸鸟『=|以"2+|丹"2-2口片|上巴|=16—2口耳|口巴|,

解得IP6||P八=6,所以4怔户=；IPG||P巴=3

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题.

12.已知AB,C为球o的球面上的三个点，©0,为的外接圆，若。01的面积为4兀，

A8=8C=AC=。。，则球。的表面积为（）

A.64兀B.48K

C.36兀D.32兀

【答-案】A

【解一析】

【分一析】

由已知可得等边△MC的外接圆半径，进而求出其边长，得出。巨的值，根据球截面性质,

求出球的半径，即可得出结论.

【详-解】设圆。।半径为「，球的半径为R,依题意，

得71rl-4乃,：.r-2<

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2j5，

0Q=A3=2百，根据圆截面性质。。1平面ABC,

OO[±OtA,R=OA=Joo)+002=1oo：+产=4,

球。的表面积S=4TT/?2=64%.

故选：A

【点-睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于

基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2.x+y—240,

13.若x,y满足约束条件,x-y—120,则z=x+7y的最大值为.

J+1N0,

【答-案】1

【解一析】

【分一析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在），轴上的截距最大,

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：\,八，可得点A的坐标为：A（l,0）,

x-^-1=0

据此可知目标函数的最大值为：Zm"=1+7XO=1.

故答-案：1.

【点-睛】求线性目标函数Z=ox+6y（4屏0）的最值，当6>0时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，Z值最大，在y轴截距最小时，Z值最小；当人V0时，直线过可行域且在），轴上

截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

14.设向量。=(1,-1),)=(m+1,2加-4),若a_|_0，则机=.

【答-案】5

【解-淅】

【分一析】

根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详-解】由二J.力可得£4=0，

又因为Z=(1,-1),B=(m+1,2/72-4),

所以=1•(m+1)+(-1>(2加-4)=0,

即加=5,

故答-案为：5.

【点-睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础

题目.

15.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

【答-案】y=2x

【解一析】

【分-析】

设切线的切点坐标为(为,为)，对函数求导，利用>'1=2,求出代入曲线方程求出先，

得到切线的点斜式方程，化筒即可.

【详-解】设切线的切点坐标为(后,%)，y=lnx+x+l，V='+l,

X

VLf=」■+1=2,%=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

所求的切线方程为y—2=2(X—1),即y=2x.

故答-案为：y=2x.

【点-睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

16.数列｛&”｝满足a“+2=3〃-1,前16项和为540,则4=.

【答-案】7

【解一析】

【分一析】

对”为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用

可表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立《方程，求解即可得出结论.

【详-解】*+(-1)"%=3〃—1，

当n为奇数时，an+2=%+3〃-1；当〃为偶数时，an+2+/=3〃-1.

设数列｛%｝的前〃项和为S.，

S|6=。|+02+"3+44+，，■+"16

=。1+%+%■,,+《5+(“2+%)+■"(^|4+《6)

=4+(ii|+2)+(q+10)+(q+24)+(卬+44)+(q+70)

+(q+102)+(^+140)+(5+17+29+41)

=8q+392+92=8q+484=540,

q=7.

故答-案为：7.

【点-睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学

计算能力，属于较难题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某厂接受了一项加工业务，加工出来产品(单位：件)按标准分为A,B,C,。四个

等级.加工业务约定：对于A级品、8级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元,

20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业

务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加

工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来一件产品为A级品的概率；

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选

哪个分厂承接加工业务？

【答-案】(1)甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4,乙分厂加工出来的A级品的概率为

0.28；(2)选甲分厂，理由见解一析.

【解--析】

【分-析】

(1)根据两个频数分布表即可求出；

(2)根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选

择.

40

【详-解】(1)由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为商=04,乙厂加工

28

出来的一件产品为A级品的概率为——=0.28；

100

(2)甲分厂加工100件产品的总利润为

40x(90-25)+20x(50—25)+20x(20—25)-20x(50+25)=1500元,

所以甲分厂加工1()()件产品的平均利润为15元每件；

乙分厂加工100件产品的总利润为

28x(90-20)+17x(50-20)+34x(20-20)-21x(50+20)=1000元，

所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件.

故厂家选择甲分厂承接加工任务.

【点-睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出

决策，属于基础题.

18.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3=150。.

(1)若a=&c,b=2币,求△ABC的面积；

(2)若sinA+esinC=----，求

2

C.

【答-案】(1)5(2)15°.

【解--析】

【分-析】

(1)己知角8和。边，结合a，c关系，由余弦定理建立。的方程，求解得出。，c,利用面积

公式，即可得出结论；

(2)将A=30。—。代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三

角函数值，结合C的范围，即可求解.

【详-解】⑴由余弦定理可得由=28=a2+c2-2ac-cosl50°=7c2,

:.c=2,a=2区：.^ABC的面积S=gacsin8=6；

(2)•.•A+C=30°,

sinA+V3sinC=sin(30°-C)+V3sinC

=—cosC+—sinC=sin(C+30°)=，

222

00<C<30°,30°<C+30°<60°,

.•.C+30°=45°,;.C=15°.

【点-睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求

解能力，属于基础题.

19.如图，。为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，△A3C是底面的内接正三角形，P为DO

上一点，NAPC=90。.

(1)证明：平面%8_L平面以C；

(2)设。0=0，圆锥的侧面积为出兀，求三棱锥P-A8C的体积.

【答-案】(1)证明见解一析；(2)国

8

【解一析】

【分--析】

(1)根据已知可得==进而有可得

NAPC=NBPC=9(r，即PB工PC,从而证得PC_L平面E43,即可证得结论；

(2)将已知条件转化为母线/和底面半径「的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出

正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在中，求出P。，即可

求出结论.

【详-解】Q)QD为圆锥顶点，。为底面圆心，平面ABC,

•.•P在£>0上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

•.•△ABC是圆内接正三角形，.•.ACuBC,AZV1C三△P3C,

;.ZAPC=NBPC=90°,即PB上PC,PA上PC,

PAp\PB^P,:.PC±平面PAB,PCu平面PAC,••平面_L平面PAC

(2)设圆锥的母线为/,底面半径为小圆锥的侧面积为开〃=伍,〃=6,

0D?=?一产=2,解得r=l,/=6，AC=2rsin60=G，

在等腰直角三角形APC中，AP=—AC=—，

22

在RSP4O中，PO=飞AP?-0A2=聆-1=等，

三棱锥P-ABC的体积为Vp_“Bc=-P0-S.、,ABC=-x—x—^―x3―――•

r-riZJC3324g

【点-睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂

直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.

20.已知函数/(x)=e*-a(x+2).

(1)当。=1时，讨论了(X)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答-案】(1)减区间为(一8,0),增区间为(0,+8)；(2)d,y).

e

【解-淅】

【分一析】

(1)将。=1代入函数解--析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调

增区间和减区间;

(2)若/(x)有两个零点，即产-。@+2)=0有两个解，将其转化为。二二一有两个解,

x+2

令〃(8)=—e_(x=-2),求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

x+2

【详-解】(1)当。=1时，f(x)=ex-(x+2),f\x)=ex-\,

令/(x)<0,解得x<0,令f(x)>0,解得x〉0,

所以/(x)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8)；

(2)若/(x)有两个零点，即，-a(x+2)=0有两个解，

从方程可知，％=2不成立，即a=，一有两个解，

x+2

.ex口1士7'/、e"(x+2)—e"ex(x+1)

令h(x)=----(x丰-2),贝!l有h(x)=---­；—=----j-，

x+2(x+2)-*+2)2

令"(x)〉0,解得x>-l,令〃'(x)<0,解得x<—2或一2cx<-1,

所以函数〃(x)在(f,-2)和(-2,-1)上单调递减，在(-1,田)上单调递增，

且当了<-2时，A(x)<0,

而％->-2+时，//(x)—+oo,当x—>+8时，〃(x)f+8,

所以当a=N—有两个解时，有a>%(—1)=2,

x+2e

所以满足条件的。的取值范围是：(L+oo).

e

【点-睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数

的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问

题转化为曲线y=短和直线y=a(x+2)有两个交点，利用过点(-2,0)的曲线y="的切线

斜率，结合图形求得结果.

2

21.已知A、B分别为椭圆E：5+y2=i(a>i)的左、右顶点，G为£的上顶点，AG.GB=S，

CT

户为直线x=6上的动点，布与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

V-2

【答-案】（1）—+/=1;（2）证明详见解一析.

9-

【解一析】

【分-析】

（1）由已知可得：A（—a,O）,B（a,Q）,G（O,1）,即可求得而.至=/_],结合己知即

可求得：4=9，问题得解.

⑵设尸（6,加），可得直线AP的方程为：丁=其（％+3）,联立直线AP的方程与椭圆方

"-3>02+27

程即可求得点。的坐标为同理可得点。的坐标为

、年+9

,即可表示出直线C。的方程，整理直线CO的方程可得:

【详-解】（1）依据题意作出如下图象:

AG=(a,l),Gfi=(cz,-1)

AGGB=a2-\=8^a2=9

椭圆方程为：—+/=]

9.

(2)证明：设尸(6,%),

>=言尚(*+3)，即：户等"+3)

则直线AP的方程为:

联立直线AP的方程与椭圆方程可得：\9，整理得:

2

/2\222—3v+27

(y0+9)x+6j0x+9y0-81=0,解得：1=-3或%=—1

将X二一彳；：：7代入直线y=等(％+3)可得:y=

8%国+3)(3%2-3、

整理可得:

尹悬6(9-媪)％2+1,

整理得:

<3、

故直线CO过定点:,0

(2)

【点-睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理

论证能力，属于难题.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

［选修I:坐标系与参数方程］

„x=cost,

22.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为〈,。为参数）.以坐标原点为极

y=sint

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4pcose-160sine+3=O.

（1）当％=1时，G是什么曲线？

（2）当左=4时，求G与G的公共点的直角坐标.

【答-案】⑴曲线G表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）