概率论与数理统计(第四版)第六章

第六章

样本及抽样分布本章转入课程的第二部分

———数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多。社会的发展不断向统计提出新的问题。需要强调说明一点：统计方法具有“部分推断整体”的特征。

因为我们是从一小部分样本观察值去推断该全体对象（总体）情况，即由部分推断全体。这里使用的推理方法是“归纳推理”。§6.1随机样本1.总体与个体

一个统计问题总有它明确的研究对象。研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体。在数理统计中，总体这个概念的要旨是：———总体就是一个概率分布。-50005001000150020000510152025容量为n的样本（也称为子样）可以看作

n维随机变量：(X1,X2,…,Xn)

但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn

)，称为样本的一次观察值，简称样本观察值。最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1.

代表性：

X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布。2.

独立性：X1,X2,…,Xn

是相互独立的随机变量。由简单随机抽样得到的样本(子样）称为简单随机样本（子样）。用（X1,X2,…,Xn）表示。

简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到（X1,X2,…,Xn）是取自某总体的样本时，就指简单随机样本。3.总体、样本、样本值的关系总体（理论分布）样本样本值§6.2抽样分布1.统计量及其抽样分布这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。它是完全由样本决定的量。统计量的分布称为抽样分布。

2.样本均值及其抽样分布样本均值反映了总体均值的信息定理:设是来自某总体X的样本,为样本均值。若总体分布为N(μ,σ2),

则的精确分布为N(μ,σ2/n)

；若总体分布未知或不是正态分布，则的渐近分布为N(μ,σ2/n)

；样本方差与样本标准差它反映了总体方差的信息样本方差样本标准差定理

设总体X有EX=μ,DX=σ2，X1,X2,…,Xn

是来自总体

X

的样本，则：样本k阶原点矩它反映了总体k阶矩的信息样本k阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息

统计量也是随机变量，统计量的分布称为统计量的“抽样分布”.

抽样分布精确抽样分布（小样本问题中使用）渐近分布（大样本问题中使用)三大抽样分布分布1、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),

则称随机变量：

所服从的分布为自由度为

n

的分布.记为：分布的密度函数为：.其中伽玛函数定义为1.

设相互独立,都服从分布则2.设且X1,X2相互独立，则分布的性质：若则EX=n,DX=2n由中心极限定理可得，若，则当n充分大时，的分布近似正态分布N(0,1).2、t分布设X～N(0,1),Y～

,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布。记为：T～t(n).T的密度函数为：具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为:

E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n>2

t分布的密度函数关于x=0对称，且当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。不难看到，当n充分大时，t分布近似N

(0,1)分布。但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大。3、F分布设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作：F~F(n1,n2).由定义可见，~F(n2,n1)若X~F(n1,n2)，X的概率密度为X的数学期望为:若n2>2即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.9.20xy一般地，令：则xy=0.1605四、几个重要的抽样分布定理

定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有：

n取不同值时样本均值的分布

定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有：比较：n取不同值时的分布

定理3

设X1,X2,…,Xn

是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有：证明：独立

定理4(两总体样本均值差的分布)

分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,则有：Y1,Y