安徽省高二优质数学《空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理》北师大选修

第二章§33.1&3.2理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三3．1&3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示

空间向量基本定理学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10米，后向南15米，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3米，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的

i，j，k叫做标准正交基．

(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝

，叫做a的标准正交分解．单位向量xi＋yj＋zk(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数

叫做空间向量a的坐标，a＝

叫作向量a的坐标表示．

(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i＝

，a·j＝

，a·k＝

.把x，y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在

上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝为向量a在向量b上的投影.(x，y，z)坐标轴正方向xyz(x，y，z)|a|cos〈a，b〉空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．如果向量e1、e2、e3是空间三个

的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝

.其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个

．

表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．不共面基底λ1e1＋λ2e2＋λ3e3a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底．[一点通]

(1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系．(2)若表示向量的坐标，只要写出向量关于i，j，k的标准正交分解式，即可得坐标．答案烫：A[一点殊通](1尽)空间犬向量惰基本宪定理骡是指拥用空柱间三霞个不末共面成的已枯知向气量a、b、c构成洞的向半量组{a，b，c}可以驳线性蒸表示排出空积间任貌意一均个向吐量，抗而且模表示赠的结喝果是乐唯一侦的．(2投)利用说空间聋的一户个基竿底a，b，c可以淡表示恢出所蚕有向蔬量，珠注意滚结合屯图形秩，灵怕活应掩用三焰角形宪法则太，平抬行四渔边形尤法则路，及产向量渴的数浪乘运芳算，抢表示轿要彻室底，储结果尖只含切有a、b、c，不猜能再露有其谊他向顽量．6．设p：a、b、c是三姜个非漠零向闷量；q：a，b，c为空挺间的运一个基悲底，绳则p是q的()A．充供分不量必要博条件B．必察要不洗充分哲条件C．充抛要条晕件D．既未不充管分也台不必坦要条励件解析前：若a，b，c为非专零向茫量，趋当a，b，c共面有时，a，b，c不能嫩作为段空间袭的一缠个基甚底；歼若a，b，c为空曾间的唤一个乒基底忘，则a，b，c不共蚂面，a，b，c三个吐向量犬均不笨能为银零向茂量，骗故选B.答案典：B8．若a，b，c是空乐间的异一个症基底纽奉．试程判断a＋b，b＋c，c＋a能否说作为门该空断间的糊一个河基底秧．1．空输间任煌一点P的坐证标的裁确定廊：过P作面xO舍y的垂播线，挺垂足叉为P′.在平惩面xO隆y中，贩过P′分别债作x轴、y轴的不垂线车，垂汗足分田别为A、C，则|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|武.2．空钞间任塑意三团个不膛共面岩的向泻量都波可以声作为蜂空间亚的一联个基舌底，绩基底赚中的剪三个礼向量e1，e2，e3都不陆是0.3．空娇间中颗任一蓬向量灶可用义空间饥中不娇共面派的三字个向美量来秋唯一骗表示悔．4．点A(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对栗称点督的坐铺标分圈别为(a，－b，－c)、(－a