随机变量的独立性

2.3随机变量的独立性随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随机变量独立的定义是：用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v.，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.

它表明，两个r.v.相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中是X,Y的联合密度，几乎处处成立，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v.，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有解:例1

考察(即吸烟与得肺癌关系的研究)中随机变量X与Y的独立性.P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017≠0.00013=P{X=0,Y=0}∴X和Y不相互独立.证明:例2设:(X,Y)∼N(1,2,1,2,)求证:X与Y独立

=0由

“”

把=0代入于是:∴X与Y独立“”∵X和Y相互独立∴(x,y)R2.有f(x,y)=fX(x)fY(y)

对比两边∴=0特别,取x=u1,y=u2代入上式有f(u1,u2)=fX(u1)fY(u2)即:

例3设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>0

即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y

>0若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0<x<10<y<1由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立.例4甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)所求为P(|X-Y|5)及P(X<Y)解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率解一：P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)=1/6=1/2P(X<Y)解二：P(X<Y)=1/6=1/2被积函数为常数，直接求面积=P(X>Y)P(|X-Y|5)类似树的问颈题如抹：甲、负乙两梢船同缓日欲抽靠同览一码反头，训设两扬船各稿自独档立地搁到达拔，并答且每亚艘船截在一甘昼夜动间到缎达是遥等可跨能的.若甲剑船需己停泊1小时喷，乙酸船需旅停泊2小时红，而僵该码净头只珠能停享泊一插艘船铜，试避求其缓中一做艘船阔要等奇待码驰头空政出的家概率.在某扫一分习钟的淡任何茄时刻腹，信预号进彼入收叹音机却是等鸭可能鞋的.若收迹到两关个互过相独杰立的铺这种静信号检的时钩间间组隔小赠于0.朵5秒，释则信芦号将牛产生妻互相也干扰.求发吧生两营信号置互相姓干扰唇的概辅率.随机疲变量击独立卵性的尽概念灯不难伟推广沾到两请个以芳上r.挥v的情仆形.（见买教材芽）定理1若连杀续型毛随机竞向量皮（X1,贱…,Xn）的降概率朽密度扭函数f(x1,纪…,xn)可表月示为n个函牌数g1,馒…,gn之积译，其脚中gi只依的赖于xi，即f(x1,奴…,xn)=g1(x1)扑…gn(xn)则X1,可…,Xn相互僵独立,且Xi的边跌缘密料度fi(xi)与gi(xi)只相于差一渴个常赔数因睡子.最后宽我们型给出冒有关廉独立墓性的车两个名结果啦：定理2若X1,竭…,Xn相互虑独立,而Y1=g1(X1,经…,Xm),Y2=g2(Xm+1,罩…,Xn)则Y1与Y2独立.这一算讲，带我们撤由两刑个事蒙件相四互独霉立的抓概念烦引入堆两个谈随机吼变量寺相互消独立平的概雨念.给出俭了各睁种情养况下轧随机喂变量换相互廉独立恼的条某件，部希望衔同学沈们牢输固掌颠握.如果柱两个膨