第一节向量组的线性相关与线性无关演示文稿

第一节向量组的线性相关与线性无关演示文稿目前一页\总数一百三十二页\编于六点（优选）第一节向量组的线性相关与线性无关目前二页\总数一百三十二页\编于六点

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如目前三页\总数一百三十二页\编于六点向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．目前四页\总数一百三十二页\编于六点

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.目前五页\总数一百三十二页\编于六点线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．目前六页\总数一百三十二页\编于六点定义１线性组合目前七页\总数一百三十二页\编于六点向量能由向量组线性表示．目前八页\总数一百三十二页\编于六点定理1目前九页\总数一百三十二页\编于六点向量组能由向量组线性表示向量组等价．定义２目前十页\总数一百三十二页\编于六点目前十一页\总数一百三十二页\编于六点从而目前十二页\总数一百三十二页\编于六点目前十三页\总数一百三十二页\编于六点目前十四页\总数一百三十二页\编于六点﹋﹋﹋﹏目前十五页\总数一百三十二页\编于六点注意:定义３二、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．目前十六页\总数一百三十二页\编于六点目前十七页\总数一百三十二页\编于六点目前十八页\总数一百三十二页\编于六点三、线性相关性的判定目前十九页\总数一百三十二页\编于六点目前二十页\总数一百三十二页\编于六点解例１或r(I)=n，得线性无关。目前二十一页\总数一百三十二页\编于六点解例２分析目前二十二页\总数一百三十二页\编于六点目前二十三页\总数一百三十二页\编于六点解：因为目前二十四页\总数一百三十二页\编于六点证法1目前二十五页\总数一百三十二页\编于六点证法2目前二十六页\总数一百三十二页\编于六点目前二十七页\总数一百三十二页\编于六点性质1：四、向量组的线性相关性质证明目前二十八页\总数一百三十二页\编于六点说明：目前二十九页\总数一百三十二页\编于六点性质2：目前三十页\总数一百三十二页\编于六点说明：证明：目前三十一页\总数一百三十二页\编于六点性质3：证明目前三十二页\总数一百三十二页\编于六点目前三十三页\总数一百三十二页\编于六点目前三十四页\总数一百三十二页\编于六点目前三十五页\总数一百三十二页\编于六点定理3

向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有五、线性表示、线性相关、线性

无关三者的关系而不是“每一个”目前三十六页\总数一百三十二页\编于六点故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使目前三十七页\总数一百三十二页\编于六点因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.目前三十八页\总数一百三十二页\编于六点定理4：目前三十九页\总数一百三十二页\编于六点目前四十页\总数一百三十二页\编于六点（定理）。目前四十一页\总数一百三十二页\编于六点１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；

２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）

３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）六、小结目前四十二页\总数一百三十二页\编于六点思考题目前四十三页\总数一百三十二页\编于六点思考题解答目前四十四页\总数一百三十二页\编于六点目前四十五页\总数一百三十二页\编于六点向量空间第二节向量组的秩目前四十六页\总数一百三十二页\编于六点定义１最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组秩目前四十七页\总数一百三十二页\编于六点定理１二、矩阵与向量组秩的关系目前四十八页\总数一百三十二页\编于六点结论说明目前四十九页\总数一百三十二页\编于六点目前五十页\总数一百三十二页\编于六点目前五十一页\总数一百三十二页\编于六点目前五十二页\总数一百三十二页\编于六点事实上目前五十三页\总数一百三十二页\编于六点目前五十四页\总数一百三十二页\编于六点定理２三、向量组秩的重要结论推论1推论2目前五十五页\总数一百三十二页\编于六点性质目前五十六页\总数一百三十二页\编于六点证一目前五十七页\总数一百三十二页\编于六点目前五十八页\总数一百三十二页\编于六点证二目前五十九页\总数一百三十二页\编于六点注意目前六十页\总数一百三十二页\编于六点目前六十一页\总数一百三十二页\编于六点目前六十二页\总数一百三十二页\编于六点目前六十三页\总数一百三十二页\编于六点目前六十四页\总数一百三十二页\编于六点目前六十五页\总数一百三十二页\编于六点１．最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性．２．矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩３．关于向量组秩的一些结论：

一个定理、两个推论．４．求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．四、小结目前六十六页\总数一百三十二页\编于六点

思考题目前六十七页\总数一百三十二页\编于六点思考题解答问题转化为因为所以目前六十八页\总数一百三十二页\编于六点向量空间第三节向量空间目前六十九页\总数一百三十二页\编于六点说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空,且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指目前七十页\总数一百三十二页\编于六点目前七十一页\总数一百三十二页\编于六点例2

判别下列集合是否为向量空间.解目前七十二页\总数一百三十二页\编于六点例3

判别下列集合是否为向量空间.解目前七十三页\总数一百三十二页\编于六点试判断集合是否为向量空间.目前七十四页\总数一百三十二页\编于六点一般地，为目前七十五页\总数一百三十二页\编于六点目前七十六页\总数一百三十二页\编于六点定义2设有向量空间及，若向量集合，就说是的子空间．实例二、子空间设是由维向量所组成的向量空间，目前七十七页\总数一百三十二页\编于六点那末向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．三、向量空间的基与维数定义3设是向量空间，如果个向量，且满足dimV=r目前七十八页\总数一百三十二页\编于六点１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．四、小结目前七十九页\总数一百三十二页\编于六点向量空间第四节线性方程组解的结构目前八十页\总数一百三十二页\编于六点１．解向量的概念为齐次线性方程组一、齐次线性方程组解的性质的解

称为方程组的解向量。目前八十一页\总数一百三十二页\编于六点２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明目前八十二页\总数一百三十二页\编于六点（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．一般记作注：齐次解的线性组合仍为齐次解目前八十三页\总数一百三十二页\编于六点１．基础解系的定义二、基础解系及其求法目前八十四页\总数一百三十二页\编于六点目前八十五页\总数一百三十二页\编于六点２．线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为目前八十六页\总数一百三十二页\编于六点目前八十七页\总数一百三十二页\编于六点现对取下列组数：目前八十八页\总数一百三十二页\编于六点依次得从而求得原方程组的个解：目前八十九页\总数一百三十二页\编于六点说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为目前九十页\总数一百三十二页\编于六点定理1目前九十一页\总数一百三十二页\编于六点目前九十二页\总数一百三十二页\编于六点例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有目前九十三页\总数一百三十二页\编于六点目前九十四页\总数一百三十二页\编于六点证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质目前九十五页\总数一百三十二页\编于六点证明证毕．目前九十六页\总数一百三十二页\编于六点其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为目前九十七页\总数一百三十二页\编于六点３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解目前九十八页\总数一百三十二页\编于六点４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．目前九十九页\总数一百三十二页\编于六点例4

求解方程组解目前一百页\总数一百三十二页\编于六点目前一百零一页\总数一百三十二页\编于六点目前一百零二页\总数一百三十二页\编于六点非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解目前一百零三页\总数一百三十二页\编于六点１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结对系数矩阵进行初等变换，将其化为行最简形讨论２．线性方程组解的情况()()nrAr<=()()nrAr==目前一百零四页\总数一百三十二页\编于六点思考题目前一百零五页\总数一百三十二页\编于六点思考题解答目前一百零六页\总数一百三十二页\编于六点目前一百零七页\总数一百三十二页\编于六点第五节向量的内积向量空间目前一百零八页\总数一百三十二页\编于六点定义1一、内积的定义及性质说明目前一百零九页\总数一百三十二页\编于六点内积的运算性质目前一百一十页\总数一百三十二页\编于六点定义2

令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质目前一百一十一页\总数一百三十二页\编于六点解单位向量夹角目前一百一十二页\总数一百三十二页\编于六点１正交的概念２正交向量组的概念正交（或垂直）.若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法目前一百一十三页\总数一百三十二页\编于六点证明３正交向量组的性质定理1目前一百一十四页\总数一百三十二页\编于六点例1

已知三维向量空间中两个向量正交，试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基目前一百一十五页\总数一百三十二页\编于六点即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解目前一百一十六页\总数一百三十二页\编于六点５规范正交基例如，4维向量组目前一百一十七页\总数一百三十二页\编于六点目前一百一十八页\总数一百三十二页\编于六点同理可知自然基.目前一百一十九页\总数一百三十二页\编于六点（1）施密特正交化，取，６求规范正交基的方法我们来介绍其步骤：目前一百二十页\总数一百三十二页\编于六点（2）