2022优化方案高考总复习数学理科（江苏专用）几何概型

第三节几何概型第三节几何概型考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是______、_________、_________等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．线段平面图形立体图形2．几何概型的概率公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝___________.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．思考感悟几何概型与古典概型的区别是什么？提示：几何概型中的基本事件是无限多个，而古典概型中的基本事件是有限个．课前热身1．(2010年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为__________．答案：16.323．(2011年南通调研)在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__________．答案：0.0044.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．考点探究·挑战高考考点一与长度有关的几何概型考点突破如果一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离路程等，那么只需求出各自对应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求事件A发生的概率．例1

在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【思路分析】满足条件的弦有无数条，所以不是古典概型，从几何概型角度考虑．考点二与面积或体积有关的几何概型当事件A可以用面积(或体积)来衡量时，我们可以利用其与整体事件所对应的面积(或体积)的比值来计算事件A发生的概率，也就是用“面积比”(或“体积比”)来计算概率．例2

已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．【思路分析】

(1)为几何概型，可采用数形结合的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式求解；(2)为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．【名师点评】

(1)本例中第(1)小题与第(2)小题分别考查了几何概型与古典概型，故判断所求概率模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性．(2)对于几何概型问题，根据题意列出条件．找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键．变式训练1用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，求这个砂粒距离球心不小于1cm的概率．解：设“砂粒距离球心不小于1cm”为事件A，球心为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1cm.设R＝3，r＝1，考点三会面问题中的概率本类问题常涉及与面积有关的几何概型，难点在于怎样构造出面积，或者建立怎样的变量间的联系．例3

两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．【名师点评】会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．方法感悟方法技巧1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型的“约会问题”是程序化的方法与技巧，必须熟练掌握．失误防范几何概型必须同时具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的江苏高考试题来看，各地对几何概型考查较少，属中档题，主要考查基础知识．预测2012年江苏高考，各地将加大对几何概型的考查力度，应重点关注几何概型与线性规划相结合的题目．真题透析例

(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是________．【名师点评】对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的长度、面积等及所求事件构成的长度、面积是解题的关键．1．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是___