武汉理工线性代数课件第三章

本章包含两个容：向量和线性方程组.研究线性方程组的解是《线性代数》的最主要的任务，用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组，用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系.1线性方程组(ax+ax+^+ax=b其中矩阵分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称(A)为增广矩阵，满足线性方程组的有序分别称为系数矩阵，常数项矩阵和未知量矩阵，称(A)为增广矩阵，满足线性方程组的有序2n方程组.对方程进行适当变化而解不变，叫做同解变换.显然，下列三种变换是同解变换：两边；(3)把一个方程乘以某个数加到另一个方程上.2线性方程组的消元解法得到这个方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是两个过程：消元和回代。观察下面的例子，体会同解变换和消元法：33先把第1个方程的(-1)，(-2)倍分别加到第2，3个方程上去，消去x：1(|x1+x2+x3=-12323把第3个方程两边同乘(-1/3)并且和第2个方程换位置：23232xxx=-1333223133然后把第2个方程的(-1)倍加到第1个方程上去，得到(x=1|3以上的解法中，方程组(1)变化到(4)的过程是消元，后面2个步骤是回代。无论是消元还是回代，都只是未知量的系数和常数项参与了运算，未知量本身并未改变；而且对方程组所作换。通过对消元法解线性方程组的观察和分析(可以写出每个过程对应的矩阵)，我们必须建立以下今线性方程组和增广矩阵一一对应，矩阵的每一行相当于一个方程；今在变换的过程中，所有的矩阵都是等价的，每一个矩阵都对应一个线性方程组，这些方程组都是同解方程组(也可以叫做等价方程组)！今消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵；今回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵； ( (a|aa^a^^^^(c|(ca1nb1)||Mmnm)|MccM000M0^^^^^^cc2rMcrr00M0^^^^^^ccMc00M0d1d2Mdrdrd0M0)||察到r+1d=0一方程组有解。r+1并且r+1方程组含有n一r个自由未知量x,^x，可以任意取值，方程组的解有无穷多个。因此我们r+1n定理3.2齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n，Ax=0仅有零解的推论1当m<n时，齐次线性方程组Ax=0有非零解.这是因为当m<n时，齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩一定小于n.推论2当m=n时，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是A=0；仅有零解的充要清楚以上定理中的n是未知量的个数，m是方程的个数。但是判断解的情形总是根据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数。3线性方程组的消元解法步骤解非齐次线性方程组Ax=b的步骤：(1)写出Ax=b对应的增广矩阵(A)；(2)对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观察R(A)=R(A)?若不相等，得出无解的结论，若相等就进行下一步；(4)根据行最简形写出等价方程组，令其中的n一r个自由未知量(非首元所在列)为任意常数：c,c,^,c，并把其它未知量(首元所在列)用c,c,^,c表示.nr12n一r增广矩阵对应原始方程组，阶梯形矩阵用于判断线性方程组有没有解和有多少解，行最简形矩阵用于求解.rr阶梯形矩阵求出方程组的解r解齐次线性方程组Ax=0的步骤：(1)写出Ax=0对应的系数矩阵A；(2)对系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.观察R(A)=n?若R(A)=n，得出仅有 (非首元所在列)为任意常数：c,c,^,c，并把其它未知量(首元所在列)用c,c,^,cnr12n一r1-1-1)2|40)表示.无论非齐次还是齐次线性方程，判断解的情形只需化为阶梯形矩阵，而求解必须化为行最简形矩阵.例3.1解下面的线性方程组(|4x1+2x2-x3=2例3.2解线性方程组2121(1-4(23)(1-4(23)033113||32r-||32r-rr-r|1-2||| (0r- (0r-r21r-r31r-r9-3-4627|||||rr-r42r一rrr-2r2r-6r42||||||| (02)47-29)||||1-r73439-86-6-4126-41003|92-32)2)-5)4141210)210)-7)210)|r一r31r一r3-r421)0)13|(000)(t2-t-4)|1-t)||t22|Brr-2r3r-9r3 (0|||000100|| ||解对方程组的系数矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵.为了计算的方便，令5-k=t，(|5-k22)|(|t22)|(2 (00|||r-(1t)r(|20(2 (00|||221|02-(t2-t-4)|2t342| (||||| (||||20000B1(t3-9t)|4)(20t-t)A4线性方程组有非零解.|(20||l223〈x-|l223 (0 (01r|||211-2令自由未知量x=c，c为任意常数，得到全部解：31)11)10)|11|22如果方程组的系数或常数项中含有未知参数，在对矩阵作初等行变换时，要注意运算的可2行性.在本例中，如果不先换行，而作变换：r-r使(2,1)元化为零，是不可以的，因为不2t1算比较难，如果方程的个数和未知量的个数相同时，可以用行列式是否为零来判断解的情形和确定未知参数的值(克莱姆法则)，再用矩阵的初等行变换(消元法)求出解.本例可以采用这种克莱姆法则和消元法结合的方式：k2=t222)|(|10A=|240|)|01|(202)|||(00|11|22-2.2向量及其运算1向量的定义12ni数称为该向量的n个分量，第i个数a是第i个分量，每个分量都是实数的向量称为实向量，i分量中有复数的向量称为复向量.本课程仅讨论实向量.向量可以写成一列或写成一行，分别称为列向量或行向量，记作：以看成一个列(行)矩阵.对于向量，我们有以下的说明：(2)行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；(3)当没有明确指明是行向量还是列向量时，都当作列向量.定义3.3每个分量都是零的向量称为零向量，记作0；将向量a的每个分量变成相反数得到的向量称为a的负向量，记作-a.有不同维数的零向量.定义3.4若干个维数相同的向量组成的集合称为向量组.线性方程组的一个解是一个向量，称为解向量，解的集合称为解向量组.2n同维数的初始单位向量组.2向量的线性运算定义3.5当且仅当两个向量a,b的维数相同且对应的分量相等时称这两个向量相等，记作：下面我们定义向量的加法和数乘运算，暂时不作向量的乘法运算.根据负向量和数乘运算的定义，我们得到向量的减法：行向量的线性运算类似上述列向量的运算.定义3.6向量的加法和数乘运算统称为线性运算.既然向量可以看成列矩阵或行矩阵，那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同，也就具有相同的算律，这里不再重复.3向量与矩阵、方程组的关系AmnA的mnm根n行向量组.每一列元素可以构成一个向量，得到n个m维的列向量a,a,^,a，称为矩阵A的列向量组.用分块矩阵的观点看，矩阵A以列向量为子块：A=量组.用分块矩阵的观点看，矩阵A以列向量为子块：A=(aa^a)，也可以以行向量mnn为子块A=(aa^a)T.12m如果矩阵A=(aa为子块A=(aa^a)T.12m12n12n.线性方程组(ax+ax+^+ax=b1它的每个未知量的系数组成一个列向量，得到n个m维列向量a=(a,a,^,a)T，j1j2jmj1122nn那么齐次线性方程组可表示为ax+ax+^+ax=01122nn在方程组中a,a,^,a是未知量x,x,^,x的系数，而在向量的运算中，可以把12n12nx,x,^,x看成是向量a,a,^,a的系数.这在向量关系的讨论中很重要.12n12n123解先将所求向量a用向量a,a,a表示出来，再作向量的线性运算.1232(a+a)+(a-3a)=4(a-a)亭a=1(2a+a+4a)123512355根据向量相等的定义1线性组合线性组合研究一个向量与一个向量组的关系.定义3.7对于给定的向量组a,a,^,a和向量b，如果存在一组数k,k,^,k使得12n12nb=ka+ka+^+ka(3.3.1)1122nn成立，那么称向量b是向量组a,a,^,a的一个线性组合，或者说向量b可以由向量组2na,a,^,a线性表示，数k,k,^,k称为组合系数。12n12n1122nn12n12n(1)已知a,a,^,a和一组数k,k,^,k，求向量b.12n12n(2)已知a,a,^,a和向量b，求一组数k,k,^,k12n12n.前一个是向量的线性运算问题，后一个是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？12n12nb为常数项，显然线性方程组的解就是组合系数。因此有定理3.3向量b是向量组a,a,^,a的一个线性组合的充分必要条件是以a,a,^,a为12n12n列向量的矩阵的秩和以a,a,^,a,b为列向量的矩阵的秩相等，即：R(a2^a)=nR(aa^ab)n12n判断向量b是否是向量组a,a,^,a的一个线性组合并求出组合系数，和判断线性方程2n唯一解，表示法唯一；如果方程组有无穷多解，则注意：求组合系数时，应把所有的向量写成列向量组成矩阵，并且作初等行变换，不可以定义3.8设有两个向量组：(A)a,a,^,a，(B)b,b,^,b，如果(A)组的每个向量都12s12t可以由(B)组线性表示，称(A)可由(B)线性表示；如果(A)与(B)可以互相表示，则称向量组(A)与向量组(B)等价.ABBCAC.设向量组(A)a,a,^,a可由向量组(B)b,b,^,b线性表示，那么存在k,^,k使得12s12t1jtja=kb+^+kb,j=1,2,^,sj1j1tjt即：存在矩阵K=(k)使得ijts其中，A=(a,a,^,a),B=(b,b,^,b)。称K为向量组(A)由向量组(B)线性表示的系2s12t123线性表示？若能，写出其表示式。a123123b可由向量组a,a,a线性表示，且有b=12327一2000)212232线性相关与线性无关线性相关和线性无关研究一个向量组与零向量的关系.定义3.9对于给定的向量组a,a,^,a，如果存在一组不全为零的数k,k,^,k使得12n12nka+ka+^+ka=0(3.3.2)1122nn成立，称向量组a,a,^,a线性相关；如果当且仅当k=k=^=k=0时(3.3.2)式成立，12n12n那么称a,a,^,a线性无关.12n对于给定的向量组a,a,^,a，如何判断是否有一组不全为零的数k,k,^,k使12n12nka+ka+^+ka=0呢？如何求出这组数呢？1122nn可以将(3.3.2)式看成一个齐次线性方程组，它以k,k,^,k为未知量，a,a,^,a为12n12n分必要条件是R(a1a2^a12n推论1n个n维向量a,a,^,a线性相关的充分必要条件是aa^a=0，线性无关的n12n充分必要条件是aa^a士0.12n性相关.nma,a,^,a：当m=n时，可用行列式aa^a是否为零判断其线性相关性；12n是否有非零解的步骤相同.求线性关系式的一组系数k,k,^,k，就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零12n下面是一些关于线性组合和线性相关的简单有用的结论：一个零向量线性相关，一个非零向量线性无关；今两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例；今向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示.定义3.10由向量组中的一部分向量组成的新向量组称为原向量组的部分组.定理3.5一个向量组线性无关，则它的任何部分组线性无关；如果向量组的一个部分组线性相关，则原向量组线性相关.12n12n2112k1iki1成立，即对应分量比例.充分性：如果a,b对应分量比例成比例，就是存在数k使得ii即例3.8设向量组a,a,a线性无关，证明：向量组a+2a,a-a,a+2a线性相关.123122313证明证明向量线性相关，一般用定义或用矩阵的秩，也有用其它相关定理的。下面我们给出两种常用方法的证明过程，希望同学们掌握.设有数k,k,k使得12k3(a+2a)+k(a-a)+k(a+2a)=0112223313131122233由于a,a,a线性无关，根据线性无关的定义上式成立的条件是1232323 ( (001-2)02-111-5002)||||r-r3101其系数行列式210=0，根据克莱姆法则，这个齐次线性方程组有非零解，即其系数行列式0-12为零的数k,k,k使得123k(a+2a)+k(a-a)+k(a+2a)=0112223313根据线性相关的定义，向量组a+2a,a-a,a+2a线性相关。122313(二)用矩阵的秩证明对向量组a+2a,a-a,a+2a组成的矩阵作初等变换(a+aa2-+a))(2(a-a)a-aa+2a)2)(02a-3a1a+23a)232313那么，R(a+2a,a-2a,+12a)R(0a-aa+2a)共2<31223132313所以，向量组a+2a,a-a,a+2a线性相关.例3.9设有向组()：2a),a=(2,-1,0,1),a=(1,0,1,0)，向量组(B)：12组(A)线性表示？表示式是什么？解对向量组(A)和(B)组成的矩阵进行初等行变换：231|r一|r一r14(1 (0|110200112-2)||(1101-||-4|31||r+r|-4|31|| (0215-5)rr-r2r-2r42 (0|||110000111-2)2-11-51-3)rr-r||0 (0|010002-111-30002)R(a1a2a3b)=R(aaa)所b可以由向量组(A)：aaa线性表示，123112311230)0)R(a1aa1b)43而R(aaa)=3，所以b不能由向量组(A)：aaa线12321232123性表示.因此，向量组(B)不能用向量组(A)线性表示.123(2)线性相关，并且求出线性关系式.解对给出的向量组成的矩阵A进行初等行变换：11)|所以R(B)=3，即R(a,a,a)=3，那么a,a,a线性无关；(2)而k=1时，R(B=22，即3R(a,a,a1)=3，此时a,a,a线性相关.对矩阵B作123为行最简形：100)i1||||103线性组合与线性相关有关定理定理3.6向量组a,a,^,a线性相关的充分必要条件是a,a,^,a中至少有一个向量是12n12n其余n-1个向量的线性组合.定理3.7如果向量组a,a,^,a线性无关，添加一个向量后a,a,^,a,b线性相关，那12n12n么b可由a,a,^,a线性表示，且表示式唯一.12n定理3.8如果向量组(A)a,a,^,a可由向量组(B)b,b,^,b线性表示，且s>t，那么12s12t(A)线性相关.推论1如果向量组(A)a,a,^,a可由向量组(B)b,b,^,b线性表示，且向量组(A)线性12s12t此推论即是上面定理的逆否命题.推论2如果两个向量组(A)a,a,^,a与(B)b,b,^,b可以互相表示，且向量组(A)和(B)12s12t都线性无关，那么s=t.即两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同.定理3.9矩阵A经过初等行变换化为B，那么矩阵A与B的行向量组等价；对应位置的列向量(部分)组具有相同的线性相关性.关组和求表示式提供了依据.定义3.11在m维向量组(A)的每个向量后面(或者前面)添加k个分量，得到m+k维的向量组AAA)的加长向量组.定理3.10如果向量组线性无关那么其加长向量组也线性无关，如果加长向量组线性相关那么原.最大无关组研究的问题是：一个向量组中有没有一部分向量是线性无关的？最多有多少个定义3.12设a,a,^,a是向量组a,a,^,a中的r个向量rn，如果iii12n(1)a,a(1)a,a,^,a线性无关；iii2r(2)a,a,^,a可a,a,^,a由线性表示.12niii2r那么称a,a,^,a是向量组a,a,^,a2riii12n定义中条件(2)意味着每一个向量都可以用a,a,定义中条件(2)意味着每一个向量都可以用a,a,^,a线性表示，可以将其改写为“其iii2r余向量可以用a,a,^,a线性表示”.iii12r注意理解最大无关组的两个关键词：最大、线性无关.只有一个零向量的向量组没有最大无关组.根据定义可知，向量组与它的最大无关组等价，两个最大无关组等价.有了最大无关组，很多研究向量组的问题就变成研究它的最大无关组问题，研究两个向量组的关系就变成研究它们的最大无关组之间的关系，例如：两个向量组等价相当于它们的最大无关组等价.最大无关组一般不唯一，但有下面的结论：定理3.11最大无关组所含向量个数相同.2向量组的秩定义3.13一个向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩.n规定：只有一个零向量的向量组的秩为零.为了更好地理解最大无关组和向量组的秩，假设R(a,a,^,a)=r，我们作以下说明：12n今任何r-1个向量都不可能是向量组的最大无关组；今任何含有r个向量的线性无关部分组都是最大无关组.推论若向量组(A)与向量组(B)等价，则R(A)=R(B).的关系一般用定义求向量组的秩很困难，鉴于向量和矩阵的关系，我们希望找到向量组的秩与矩阵的秩的关系.定义3.14矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理3.13矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.如果矩阵A的秩=r，那么A中至少有一个r阶子式不为零，这个子式所在的行和列)的r4个向量都是线性无关的.12n12n变换，化为阶梯形矩阵；(3)矩阵的秩就是向量组的秩.行变换又可作初等列变换.如果需要求出一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示，那么建议把向量12n12n(2)对矩阵作初等行变换，化为行最简形矩阵；(3)非零行行数(首元个数)就是向量组的秩，并且首元所在列对应的向量就是最大无关(4)把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，这个表示式就是把该列对应的向量用最大无关组表示的表示式.其余向量用该最大无关组线性表示.解用a,a,a,a做成矩阵，对其进行初等行变换，化为行最简形矩阵.1234(|1131)|r-5r(|1131)| 首元在第1，2列，所以a,a是一个最大无关组，首元以外有第3，4列，所以a,a可以用112a=2a+a，a=-a+2a3124121||(||a2a2，a3,a4)=|3(2)3 ||(2)3 ||||||| 2) 2)|c一cb23|13|||b3) (02)2 (02)20a2)|||r-2r21r-r (0-1||||||0-1arr-r211)1)12341齐次线性方程组解的结构1)齐次线性方程组Ax=0解的性质212○2如果v是齐次线性方程组Ax=0的解，k是任意实数，那么kv也是它的解；12skv+kv+…kv122ss也是它的解，其中k,k,^,k是任意常数.3s2s这几条性质也说明了，齐次线性方程组如果有非零解，就有无穷多个；找到一个解就可以找到无穷多个.我们知道，当系数矩阵A的秩R(A)<n时，方程组Ax=0有非零解，其解向量组一定线性相关(个数大于维数)！如果我们能求出它的最大无关组，记作：v,v,^,v，那么最大12s无关组的任意线性组合kv+kv+…kv就是方程组的全部解.这句话包含两层意思：2ss(1)kv+kv+…kv是方程组的解；ss (2)任意一个解v都可以写成v,v,^,v的线性组合形式(没有其它形式的解).由性质○3，第(1)条成立，由最大无关组的定义，第(2)条成立.因此求出解向量组的最大无关组就是求解的根本问题.Axvvv；12s(2)任意一个解都可以由v,v,^,v线性表示.12s则称v,v,^,v是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.12s一个基础解系实际上就是解向量组的一个最大无关组.如何求基础解系？在，且每个基础解系恰好含有n-r个解，同时方程组的每一个解都是基础解系的线性组合.根据本定理的证明过程(见教材)得知求基础解系的方法和过程：RA=r<n，继续作初等行变n||n||| (-br,n-r)|11|11|aA=|21^m1aa22^a^^^^|||||||a)a|||||||a)a)^a) (0^^^^^^0^1^^^b^br1^^^^^^^^^b1,n-r^br,n-r0^0)(x=-bx-^-bx (x)(-b)(-b)||=||，||，…，(x)(-b)(-b)rr1r2(-b)1,n-rM(4)将所有未知量合写在一起，得到方程组的n-r个线性无关的解，即基础解系：|r1||r2||r,n-r||r1||r2||r,n-r| (0)(0)(1)nn初始单位向量组，此时计算量最小(几乎不用计算)，表达最方便.2非齐次线性方程组解的结构(1)非齐次线性方程组Ax=b解的性质定义3.16当齐次线性方程组Ax=0和非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵相同时，称○2如果u,u都是方程组Ax=b的解，那么u-u是其导出组的解.1212这两条性质表明方程组Ax=b的解和它的导出组的解之间有关系，那么Ax=b的全部解(2)线性方程组Ax=b的全部解定理3.15对于n元非齐次线性方程组Ax=b，如果有R(A)=R(Ab)=r<n，且u是Ax=b0的一个特解，而v,v,^,v是导出组Ax=0的一个基础解系，则方程组Ax=b的全部解表12n-r01122n-rn-r定理告诉我们求方程组的全部解，只需要求出一个特解和导出组的基础解系.我们已经学会了求基础解系，剩下的问题是求一个特解.其实都可以用矩阵的初等行变换.(x=c-bx-^-bxxTT求出一个特解u=(c,c,^,c,0,^0)T2，以导出组的基础解系^v(上一个小012r12n-r01122n-rn-r.01122n-rn-r.3线性方程组关于解的等价命题矩阵的秩、向量组的线性关系和方程组是否有解及有多少个解之间有着密切的联系.如果非齐次线性方程组矩阵形式Ax=b，向量形式ax+ax+^+ax=b，以下命题都是mn1122nn增广矩阵与系数矩阵的秩相等，即R(A)=R(A)；aa,a,^,a线性相关；