数学物理方程学习者的福利

数学物理方程学习者的福利第一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六参考书目同济大学.高等数学（第六版）.

高等教育出版社谢树艺.矢量分析与场论.高等教育出版社王元明.数学物理方程与特殊函数.高等教育出版社杨华军.数学物理方法与计算机仿真，电子工业出版社第二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六0预备知识第三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六I场如果在全部空间或部分空间（某区域）中的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就称在这个区域确定了该物理量的一个场。数量场矢量场稳定场不稳定场*0预备知识1场的概念（高数2P107）第四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2.场的记法数量场：*0预备知识矢量场：例1设点电荷q位于坐标原点，则在其周围一点M(x,y,z)处产生的电场强度为：第五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六II数量场的方向导数与梯度1方向导数*0预备知识设M0为数量场u=u(x,y,z)中的一点，从M0出发的射线l，在l上取点M，记|M0M|=t.当M→M0时,t→0+.如果存在,则称此极限值为u(M)在点M0处沿方向l的方向导数，记为第六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六Th1如果u=u(x,y,z)在M0点处可微,则u在M0沿任意方向的方向导数都存在,且有答案:*0预备知识例2求在点M(1,0,1)处沿方向的方向导数.第七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解:先求在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向余弦.*0预备知识例3求u=3x2y-y2在点M(2,3)处沿曲线y=x2-1向x增大一方的方向导数.曲线y=x2-1的向量形式：第八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1梯度*0预备知识设M0为数量场u=u(x,y,z)中的一点，定义M0的梯度为向量微分算子：注1方向导数等于梯度在该方向上的投影；

2函数u在M点的梯度指向函数u增加最快的方向；

3设矢量场A＝(P,Q,R),若存在一个函数u满足

A=gradu,则称A为一个有势场第九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六*0预备知识例4求u=xy2+yz3在点M(2,-1,1)处的梯度和沿梯度方向的方向导数.答案:例5求a,b,c,使函数u=axy2+byz+cy2z3在点M(1,2,-1)处平行于z轴方向的方向导数取得最大值32.答案:a=3,b=12,c=-4,或a=-3,b=-12,c=4第十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六III矢量场的散度与旋度1散度*0预备知识矢量场A=(P,Q,R)在点M(x,y,z)的散度定义为例6在例1中，电位移矢量,求divD.答案：0第十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2旋度*0预备知识矢量场A=(P,Q,R)在点M(x,y,z)的旋度定义为复习向量乘积（数量积，向量积）Th2对于单连通域中的矢量场A为无旋场的充要条件为：A为有势场.定义若

，就称A为无旋场.第十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六*0预备知识例7求矢量场A=(xy2z2,z2siny,x2ey)的旋度.例8证明例1中的，电场强度场E为无旋场，从而为有势场.第十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六IV其他1Green公式，Gauss公式*0预备知识3Fourier级数（高数2）2一阶二阶线性微分方程求解（高数1）三角函数系的正交性，Fourier级数的系数如何确定，Fourier级数的存在定理第十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六数学物理方程与特殊函数☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。第十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析。

第十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六第一章概论第十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.1基本概念第十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程*1.1.1微分方程简介第十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例如都是偏微分方程,1基本概念第二十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例:1基本概念第二十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程1基本概念第二十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六线性偏微分方程分为常系数和变系数的两类

常系数的方程中未知函数及其所有偏导数都是常数；变常系数的方程中未知函数及其所有偏导数不全都是常数。解(古典解)若在某区域内一个函数及其各阶连续的偏导数满足某偏微分方程,则称此函数为该方程在这个区域内的一个解(古典解).1基本概念第二十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例1.1.1求函数u=u(x,y),满足ux=y.解对方程两边求x的积分，得u=xy+f(y)这里f为任意可微函数.这个函数就是方程的通解.1基本概念例1.1.2求方程uxy=2的通解.解对方程两边依次求y,x的积分，得u=2xy+h(x)+g(y)这就是方程的通解,其中f,g为任意可微函数.第二十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.1.2定解条件与定解问题特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件----定解条件用以说明初始状态的条件称为“初始条件”；用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件”。偏微分方程特定条件描述物理现象：第二十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.初值问题（Cauchy问题）

只有泛定方程和初始条件的定解问题。2.边值问题

泛定方程加上边界条件的定解问题。注：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。3.混合问题

既有初始条件又有边界条件的定解问题。定解问题把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。第二十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六初始条件弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以f(x)

和g(x)分别表示弦的初位移和初速度，则初始条件可以表达为初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。第二十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以f(M)

表示t=0

时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。第二十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六边界条件边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设u

是未知函数，S

为边界，则分类如下：第一类边界条件：直接给出u

在边界S

上的值第二类边界条件：给出u

沿S

的外法线方向的方向导数第二十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六第三类边界条件：给出u

以及的线性组合在边界的值，即1.1.3定解问题的适定性一个定解问题的解如果满足解的存在性、唯一性和稳定性，则称这个定解问题是适定的。

定解问题的适定性(Well-posedness)包含以下几个方面：第三十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的解；第三十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

1.1.4线性方程的叠加原理两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）第三十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六称形如的符号为微分算子。第三十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二阶偏微分方程可简写为定解条件可简写为第三十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六第三十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例非齐次波动方程的Cauchy问题的解等于问题(I)和问题(II)的解之和第三十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六叠加原理2

若iu满足线性方程

iifuL=][，,…2,1=i

（或定解条件iiguB=][,若函数级数å¥=1iiiuc在W内收收，并且L,B可逐项作用,则和函数满足方程

å=¥=1][iiifcuL（或定解条件å=¥=1][iiigcuB）。

第三十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.2数学模型的建立第三十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题第三十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六导出数学物理方程的一般方法：

确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。第四十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例1.弦的微小横振动

设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系oxu，位移u(x,t)

x1x2T(x1)

T(x2)ux（2）微小振动1.2.1波动问题第四十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六（3）弦柔软、均匀.张力沿切线方向,密度为常数；建立方程：取微元

，研究在水平方向和铅垂方向在不受外力的情况下的运动情况。第四十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六牛顿运动定律横向：纵向：其中：由横向受力第四十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六其中：其中：第四十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六………一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力作用：第四十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则弦的强迫振动方程为第四十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例2.传输线方程

研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)R—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，第四十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六Kirchhoff第一,二定律微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减—传输线方程高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似第四十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例3.声学方程

Lapalce算子三维波动方程第四十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为1.2基本方程的建立第五十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。考虑物体G

内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)

表示物体G

在位置M(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热场例4.热传导方程1.2.2输运问题第五十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻到时刻经过曲面S流入区域V

的热量为高斯公式第五十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六流入热量使物体内温度变化，在时间间隔中物体温度从变化到所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得第一章典型方程和定解条件的推导第五十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由于时间,和区域V

都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体，k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程*第五十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六若物体内部有热源F(x,y,z,t),则热传导方程为其中第五十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二维热传导方程―维热传导方程三维热传导方程第五十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量为,所以它们又称为三维热传导方程.当考察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导方程类似,如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的侧面绝热,可以得到二维热传导方程第五十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六当我们考察气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等物理过程时,若用表示所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同.所以热传导方程也叫扩散方程.1.1基本方程的建立第五十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

例5静电场的势方程

在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程即1.2.3稳定场问题奥氏公式故第五十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六故即—Laplace方程—Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有第六十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六波动方程—声波、电磁波、杆的振动；热传导方程—物质扩散时的浓度变化规律,

长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程—稳定的浓度分布,静电场的电位,流体的势.总结：1.2基本方程的建立第六十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六一维齐次波方程：一维齐次热方程：二维Laplace方程：1.1基本方程的建立第六十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.2.4三类问题的定解条件第六十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六初始位移、初始速度分别为,称波动方程的初值条件.1波动问题第六十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。

波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是t

的已知函数时，有第六十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六*(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承。或波动方程的混合问题第六十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2热传导方程的定解问题热传导方程的初值条件热传导方程的边界条件如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件第六十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六当物体与外界接触的表面S

上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在S

上有，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为*第三类边界条件

第六十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六狄氏问题诺伊曼问题罗宾问题3稳定场问题的定解条件第六十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.3方程的分类及特征的概念第七十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式第七十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二阶线性偏微分方程的分类一、方程的分类一般形式其中u(x,y)是未知函数，都是x,y的已知函数，且不同时为零。称为方程的判别式。第七十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六定义:(1)若在(x0,y0)处称方程（1）在点(x0,y0)处为双曲型方程；

(2)若在(x0,y0)处称方程（1）在点(x0,y0)处为抛物型方程；

(3)若在(x0,y0)处称方程（1）在点(x0,y0)处为椭圆型方程。第七十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例：波动方程双曲型

热传导方程抛物型

位势方程椭圆型第七十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二、方程的标准形式

定义：方程