新教材2023年高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念课件新人教A版选择性必修第二册

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养目标·定方向素养目标·定方向学习目标核心素养借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念数学抽象逻辑推理借助教材掌握等比数列的通项公式数学抽象逻辑推理会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题数学运算逻辑推理必备知识·探新知一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的比都等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，公比通常用字母____表示(显然q≠0)．知识点1等比数列的定义第2项同一个常数公比q

想一想：关于等比数列定义的理解有哪些注意事项？提示：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，因此每一项均不为0，且q也不能是0；(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比虽是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列也不是等比数列；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；练一练：等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于 (

)A．－24

B．0

C．12

D．24A

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成___________，那么G叫做a与b的等比中项．由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝ab⇒G＝_______．知识点2等比中项等比数列a，G，b

想一想：“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”等价吗？提示：“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的．前者可以推出后者，但后者不能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0，0，1不成等比数列．因此“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件．1

等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝__________(a1，q≠0)．知识点3等比数列的通项公式a1qn－1

想一想：关于等比数列通项公式的推导，除了教材方法外还有哪些方法？提示：方法一(迭代法)根据等比数列的定义，得an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1(n≥2)；当n＝1时，上面等式也成立．故当n∈N*时，an＝a1qn－1.练一练：已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为

(

)A．an＝2·3n＋1

B．an＝3·2n＋1C．an＝2·3n－1

D．an＝3·2n－1[解析]

由已知可得a1＝2，公比q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.C

关键能力·攻重难题型探究题型一等比数列的概念运用典例10

D

在等比数列{an}中，(1)a1＝3，a3＝27，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[分析]

(1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.题型二等比数列通项公式及应用典例2[解析]

(1)a3＝a1·q2，所以27＝3q2，所以q＝±3，an＝3n或an＝－(－3)n.(2)设公比为q，由题意，得[规律方法]

等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．C

题型三等比中项的应用典例3C

B

[解析]

(1)三个实数a，b，c成等比数列，所以[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.【对点训练】❸(1)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 (

)A．90

B．100

C．145

D．190(2)互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝______．B

－4

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．题型四等比数列的判定与证明典例4易错警示忽视等比中项的符号致错

等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．典例5[误区警示]

错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．课堂检测·固双基1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于

(

)A．64

B．81C．128

D．243[解析]

设等比数列的公比为q，∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7