大一物理复习资料《追及相遇问题》

第一章运动的描述匀变速直线运动专题强化二追及相遇问题【目标要求】1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图象分析追及相遇问题.3.会熟练运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.题型一追及相遇问题题型二图象法在追及相遇问题中的应用课时精练内容索引NEIRONGSUOYIN题型一追及相遇问题贰1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.4.常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.(2)二次函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况.①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，说明追不上或不能相遇.(3)极值法设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值.(4)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、求解相关问题.例1

一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？答案2s

6m解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，解析解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，由二次函数求极值的条件知：t＝2s时，Δx有最大值6m所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m.解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，二者相距最远.(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，①若已超越，则相遇两次.②若恰好追上，则相遇一次.③若没追上，则无法相遇.方法总结追及与相遇问题的两种典型情况例2

(2020·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小为v1＝8m/s，B车的速度大小为v2＝20m/s，如图1所示.当A、B两车相距x0＝28m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2m/s2，从此时开始计时，求：(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；答案64m

图1解析当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v1＝v2－at1代入数据解得：t1＝6s此时，根据位移时间的关系得：xA1＝v1t1Δxm＝xB1＋x0－xA1代入数据解得：Δxm＝64m(2)A车追上B车所用的时间；答案16s

此时：xA2＝v1t0＝80m则：xA2＜x0＋xB2，故所用总时间为：t＝t0＋t2＝16s(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度.答案0.25m/s2解析A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小代入数据解得：aA＝0.25m/s2.1.(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶.经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？跟进训练12答案5m/s2

12解析设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距离d＝14m在经过反应时间0.4s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自＝v自t假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′12要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5m/s2.汽车的加速度至少为5m/s2.(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？12答案1m/s212解析设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得：Δ′＝102－20a′－80≤0解得：a′≥1m/s2.自行车的加速度至少为1m/s2.2.(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4×100米接力赛，冠军被巴西队以38秒05获得.如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以v＝10m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0m处向乙发出起跑口令.已知接力区的长度为L＝20m.图212(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.答案6m

12解析设乙加速到交接棒时运动时间为t，(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？12答案16.7m

12设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令代入数据得：s≈16.7m(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？12答案2s解析棒在(2)情形下以v＝10m/s的速度运动，题型二图象法在追及相遇问题中的应用壹1.根据两个物体的v－t图象分析追及相遇问题：(1)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.2.根据两个物体的运动状态作出v－t图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情况，分阶段画出v－t图象，再通过定量计算分析得出结果.利用v－t图象分析追及相遇问题更直观、简捷.例3

(多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图3所示.已知两车在t＝3s时并排行驶，则A.在t＝1s时，甲车在乙车后B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿

公路方向的距离为40m√图3√解析根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.t＝3s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲车在乙车前方7.5m，选项B正确；Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m＝Δx1，说明在t＝1s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，选项D正确.例4

(2020·河北石家庄市模拟)在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件？(请用临界法与图象法分别分析解题)答案见解析解析方法一图象法利用v－t图象求解，先作出A、B两车的v－t图象，如图所示.设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at对B车有vB＝v′＝at经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知方法二临界条件法两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等.设从A、B两车相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB，运动过程如图所示.由两车位移关系有x＝xA－xB追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB课时精练贰1.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图1中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是A.两车在t1时刻也并排行驶B.在t1时刻甲车在后，乙车在前C.甲车的加速度大小先增大后减小D.乙车的加速度大小先减小后增大123456789√10双基巩固练图1√123456789解析t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确.102.(2020·广东深圳市第一次调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16m处，它们的v－t图象如图2所示，则下列说法正确的是A.甲、乙在t＝2s和t＝10s时刻并排行驶B.甲、乙在t＝4s和t＝8s时刻并排行驶C.在t＝6s时刻，乙车在甲车前8m处D.在t＝6s时刻，乙车在甲车前18m处图2√1234567891012345678910解得t1＝4s，t2＝8s，即甲、乙在t＝4s和t＝8s时刻并排行驶，选项A错误，B正确.12345678910可知此时乙在甲的前面，Δx＝x2－x1－s0＝54m－36m－16m＝2m，选项C、D错误.在t＝6s时，甲的位移：x1＝×2×62m＝36m；3.(2020·湖南永州市高三三模)在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v－t图象如图3所示，下列说法正确的是A.甲车的加速度大于乙车的加速度B.若t＝24s时两车未发生碰撞，则

此时两车相距最远C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48mD.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24s以后的某时刻发生的√12345678910图312345678910所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；t＝24s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；12345678910两者位移之差Δx＝x2－x1＝48m所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48m，故C正确；t＝24s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车的大，两车不可能相撞，故D错误.4.(多选)(2020·河北衡水中学高三月考)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v－t图象如图4所示.根据图象提供的信息可知A.6s末乙追上甲B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10mC.8s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32mD.在0～4s内与4～6s内甲的平均速度相等图412345678910√√12345678910123456789105.(2020·江西重点中学协作体第一次联考)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻，甲车在乙车前20m处，它们的v－t图象如图5所示，下列说法正确的是A.甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度B.甲车启动15s时，乙车落后甲车的距离最大C.乙车启动时，甲在乙车前方50mD.t＝25s时，乙车正好追上甲车123456789√10图5解析由v－t图象斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A错误；10～15s时间内，乙车在后，较慢，甲车在前，较快，在t＝15s时，两车速度相等，则此时两车距离最大，B正确；12345678910t＝10s时，乙车启动，在0～10s内，通过v－t图象中图线与时间轴所围“面积”表示位移可得，甲车的位移x甲＝×10×10m＝50m，t＝0时两车相距20m，故乙车启动时两车相距(50＋20)m＝70m，故C错误；123456789100～25s内，甲车的总位移：x甲′＝50m＋10×(25－10)m＝200m，乙车运动的总位移：x乙′＝×10×20m＋20×(25－20)m＝200m，此时x甲′＋20m>x乙′，甲车在乙车的前方，故D错误.6.(2019·广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化图象如图6所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是A.在0～4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动B.在0～2s内，两车间距逐渐增大，2～4s内两车间

距逐渐减小C.在t＝2s时，甲车的速度为3m/s，乙车的速度为

4.5m/sD.在t＝4s时，甲车恰好追上乙车12345678910√图6能力提升练解析根据题图图象可知，在0～4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小的加速直线运动，故A错误；12345678910加速度—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，当t＝4s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车的间距最大，故B、D错误；7.(2020·河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图7所示，某平直公路上一辆自动驾驶汽车正以v1＝40km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v2＝5m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离L1＝5m，到汽车前沿所在直线的距离L2＝8m.已知汽车的车长d1＝5m、车宽d2＝2m，汽车加速时的加速度大小a1＝4m/s2，刹车时的加速度大小a2＝5m/s2.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是图712345678910A.汽车应保持原速通过B.汽车应刹车减速C.汽车应加速通过D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞12345678910√12345678910汽车的速度v1＝40km/h≈11.1m/s，若保持原速行驶，则在t1时间内的位移为x1＝v1t1＝11.1m因为L2＋d1>x1>L2则小狗会与车相撞，选项A错误；则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；12345678910若汽车加速通过，则在t1＝1s内的位移则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.8.在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m处有一辆大卡车以10m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图8a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾B.在t＝5s时追尾C.在t＝3s时追尾D.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾123456789√10图812345678910解析根据v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时(t＝5s)，小汽车相对于大卡车的位移为35m>30m，所以会追尾，选项A错误；在t＝3s时，小汽车相对于大卡车的位移等于30m，此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在t＝2s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20m，小于开始时的距离30m，所以刹车不失灵时不会追尾，选项D错误.9.(2020·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶.(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；12345678910答案6m/s

解析赛车3s末的速度v1＝