一元二次函数方程和不等式教学设计(陈开懋)

课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）华中师范大学第一附属中学陈开懋一、教案设计1.教案内容解读在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡三个“二次”是初中在知识上的延伸和发展，它是函数理方程与不等式问题，导引学生感悟高中为高中数学.三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，接或间接用到三个“二次”.如，解读几何中解决直线与二次曲线位置关为二次函数时的许多同时，此部分内容又是培养函数与方程许多决都会直系问题，导数中导函数思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教案重点确定为教案重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教案难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教案目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)导引学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教案策略分析

本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。教案流：程5．教案回过程顾整合提升展望环节一：回顾3x20师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式的解集是多少啊？生：x2.3师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？2生：把移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.师：你的解题依据是什么生：不等式的性质.师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的还有其它的解法生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集.师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的呢？角度把这个不等式解出来了，吗？图象？生：找两个点.师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点.师：与x轴的交点是多少?生：(2,0).32师：这是怎么出来的啊？3生：令y0.即3x20，这个方的程根.师：很好，与x轴的交点的横坐标恰好是对应一次方的程根.与y轴的交点是多少？生：令x0.得y2，交点(0,2).师：所以这个不等式的解集就是？生：x2，即图象在x轴上方时所对应的x的范围.3师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方和程一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？生：一次方的程根就是一次函数图象与x轴交点的横坐标（即一次函数的零点），xx一次不等式的解集就是一次函数图象在轴上方时所对应的的范围，一次方的程根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：……师：我们从代数表达式来看一看，一次方、程一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式.由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.环节二：整合师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系.我们再来看一yax2bxc(a0)，一元二次方程axbxc0(a0)、一元bxc0(a0).2下一元二次函数2axbxc0(a0)，ax二次不等式2师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象.（板书课题）yx2x3的图象.画出二次函数画一画2观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况.看一看y0y0当x取哪些值时，？不等式230xx的根为；（1）当x取哪些值时，？（2）方程说一说2230xx的解集为；2y0230xx的解集为.当x取哪些值时，？不等式2x2x30，一元二次不等式2x30和一元二次函数x问题2：一元二次方程22yx22x3，三者之间有什么关系？动画展示：问题变3一：对于一变般的程、一元二次不等式和一数，三者之间有什么关小组合作探究：一元二次方元二次函系？师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.【评析】一元二次函数以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教案中，鼓励学生自主探索、合作研究.图象师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：(1,3)1】已知关于的不等式xbxc0的解集为，求实数的值x2,bc【例.一元二次不等式【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程一元二次方程和不等式的内在联系.1,3x1和x3代xbxc0的两根，将生1：依题意，是对应一元二次方程2b(1)c0(1)10，解得.390c3b22bc，即bc入方程得，3b3c021,3xbxc0的两根，生2：依题意，是对应一元二次方程213bb2c3由韦达定理有，解得.13c.根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集x就是函数图象在轴下方时，x所对应的的取值范围，所以正好是图象与轴交点的横坐标，也就是方程师：很好，请坐x1,3x2bxc0的两个根，从而根据韦达定理，可以求出的值.（画图分析）b,c环节三：提升辩证唯物主义告诉数改为字母时,随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我们将方程和不等式中常系变化，这类方程.y1x0思考这样的一个问题：【例2】已知关于x的方程x22ax30，一根小于，另一根大于，求实数的取a11值范围.【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.生1：设f(x)x22ax3，则f(1)0，解之得a2.师：有不同意见吗？生2：不对，应该还要0.师：诶，生2好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？生3：我觉得生1是对的，因为0的作用是控制图象与轴有两个交点，而这是开x口向上的抛物线，f(1)0也能保证与轴有两个交点.x师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩.师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于，一个大于，根据函数与方程的关11系，方程的根就是函数图象与轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制x方程的根，也就是要保证函数图象与轴的交点，一个在1的左侧，一个在1的右侧.只需x要f(1)0，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把0加进去，可不可以？也是可以的.我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法1：f(1)4-2a0a2f(1)4-2a0a24a2120a3或a3a2.法2：师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理.师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：x[1,3]x2ax30对任意【例3】若不等式恒成立，求实数的取值范围.a2【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题.组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析.f(x)x2ax3，在x[1,3]x这一段的图象位于轴上学生分析：只需二次函数2方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边.师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在x[1,3]这一段的图象位于轴上方即可.如何保证图象在轴上方呢？xx我们边看动画一起来分析.动画展示：随着的取值变化，函数图象与轴的位置关系.ax师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要f(1)0，师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在x[1,3]这一段的图象是上升的，f(1)0即可.yx即随着的增大而增大，只需要最小值时，怎么样就能保证图象在x轴上方？师：当对称轴在区间的里面生：0.师：还可以通过什么来控制？生：f(a)0.师：就是函数的最小值大于零即可.师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要f(3)0，师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在x[1,3]这一段的图象是下降的，f(3)0即可.yx即随着的增大而减小，只需要最小值下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：xa生：记f(x)x22ax3，这个函数的对称轴为，则当时，只需要f(1)42a0，解得a2,又a1，所以2a1；a1当1a3时，只需要4a2120，解得3a3，又1a3，所以1a3；当时，只需要f(3)126a0，解得a2,与a3矛盾.a3综上：2a3.师：找个同学来点评一下.生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论a1和a3的情况.师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好.生：加在中间.师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏..师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理.环节四：展望师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？生：想.师：掌声有请.嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三（15）班的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习.嘉宾：大家都知道一元二次函数是中考的压轴题，那么，我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任务，让我归纳整理一下.二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解读几何、导数等..其下面重点以三个“二次”在解读几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解.【案例1】直线l:ykx1与双曲线求实数k的取值范围.C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B，ykx1解：联立方程，消去y，得到x的一元二次方程2x2y21(k22)x22kx20.……①直线l与双曲线C的右支交于不同两点不相等的正实数根.即对应二次函数图象与x轴有两个在y轴右侧.我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象.，等价于方程①有两个交点，且交点k20,2(2k)28(k22)0,2kk2202k220.解得k的取值范围是2k2．【案例2】（2016年江苏高考第19题）试卷和答案如下：b1,1．已知函数fxabxa0,b0,ax⑴设a2，b1①求方程fx2的根；2②若对于任意，不等式f2x≥mfx6恒成立，求实数m的最大值；xR⑵略．解：⑴①fx2x1212，x，由fx2可得2x2x则2x222x10，即210，则，x0；221xx1≥m②由题意得22x22x16恒成立，22xx令t2x1，则由20可得t≥22x12，x22xx原问题等价于不等式，对任意的t在[2,)上恒成立，tmt+4≥02记f(t)t2mt+4，m0，即m0时，显然成立；当对称轴2m当对称轴02，即0m4时，只需f(2)82m0，即0m4；2当对称轴m22，即m4时，只需m21604m4，与m4矛盾；综上，0m4，所以实数m的最大值为4．【案例3】（2016年全国Ⅱ卷文科高考第11题）试卷和答案如下：函数f(x)cos2x6cos(πx)的最大值为2（A）4（B）5（C）6（D）7311解：因为()2(sinxfx，而sinx[1,1]，所以当sinx1时，取最大值5，)222以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目，其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如【案例4】（2016年山东卷文理高考第15题，填空压轴）试卷和答案如下：x,xm,已知函数f(x)其中m0．若存在实数b，使得关于的xx2