2020-2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业8椭圆及其标准方程(含解析)新人教A版选修2-1

课时作业8椭圆及其标准方程[基础巩固]一、选择题xy221．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”k－53－k的()A．必要不充分条件B．C．充要条件D．xy充分不必要条件既不充分也不必要条件221有公共焦点的椭圆是()xy2．与椭圆＋＝2516xy2222A.＋＝1B.＋＝11625xy3020xy222C.＋＝1D.＋＝1230212130xy223．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F，F的距离之差为2，则△PFF是()1612A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．1212等腰直角三角形34轴为对称轴的椭圆过点P，－4和Q－，53，则此椭圆的方程是()54．以两条坐标yx22A.＋x2＝1B.＋y2＝125x25y22C.＋y2＝1或x2＋＝1D．以上都不对25255．已知集合P＝{M||MF|＋|MG|＝10}，其中F，G为定点且|FG|＝8，若M到F的距离为2，N是MF的中点，则N点到FG中点O的距离是()A．8B．43C．2D.2二、填空题6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F(－1,0)，F(1,0)，则满足|PF|＋|PF|＝2的点P的轨迹为椭圆；②已知1212定点F(－2,0)，F(2,0)，则满足|PF|＋|PF|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F(－3，121210)，F(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F(－4,0)，F(4,0)的距离的和等212于点M(5,3)到定点F(－4,0)，F(4,0)的距离的和，则点P的轨迹为椭圆．12xy227．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程________．2598．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k的值为________．三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)a＝5，c＝2，焦点在y轴上；(2)焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12；-1-1(3)经过两点A(0,2)和B，3.210．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．[能力提升]xy2211．已知椭圆C：＋＝1，点A(1,1)，则点A与椭圆C的位置关系是()95A．点在椭圆上B．点在椭圆内C．点在椭圆外D．无法判断y212．设F，F分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F的直线交椭圆Eb2121于A，B两点．若|AF|＝3|FB|，AF⊥x轴，则椭圆E的方程为____________________．112xy2213．如图所示，已知F，F是椭圆＋＝1的两个焦点．1003612(1)若椭圆上一点P到焦点F的距离等于15，那么点P到另一个焦点F的距离是多少？12(2)过焦点F作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF的周长．1214．已知两定点F(－1,0)，F(1,0)，动点P满足|PF|＋|PF|＝2|FF|.121212(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠FPF＝120°，求△PFF的面积．1212-2-课时作业8椭圆及其标准方程xy221．解析：将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则5－kk－3k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．故本题正确答案为A.答案：Axyxy22222．解析：方法一椭圆＋＝1的焦点在x轴上，故排除选项A、D.又椭圆＋＝25162516xy2230－20＝25－16＝3；椭圆＋＝1中，c＝10；椭圆＋＝1中，c＝30－2130203021＝3，故排除选项B；易知C中的椭圆符合题意．xyxy221中，c＝x2y222方法二与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆系方程为＋＝1，对比各选2516xy25＋λ16＋λ22项可知，当λ＝5时，得＋＝1.3021答案：C3．解析：由椭圆定义知|PF|＋|PF|＝2a＝8.又|PF|－|PF|＝2，所以|PF|＝5，|PF|121212＝3.又|FF|＝2c＝216－12＝4，所以△PFF为直角三角形．故选B.12答案：B124．解析：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，925m＝1，＋16＝1，mn则解得116n＝，25＋9＝1，mn25y2所以椭圆方程为x2＋＝1.故选A.25答案：A5．解析：因为|MF|＋|MG|＝10＞|FG|＝8，所以点M的轨迹为椭圆．又|MF|＝2，所以1|MG|＝8，所以|NO|＝|MG|＝4.选B.2答案：B6．解析：①因为2＜2，存在；②因为|FF|＝4，所以点P的轨迹12是线段FF；③到定点F(－3,0)，F(3,0)距离相等的点的12所以点P的轨迹不轨迹是线段FF的垂直平分线(y轴)；1212④因为点M(5,3)到定点F(－4,0)，F(4,0)的距离的和为410＞8，所以点P的轨迹为椭圆．12答案：②④-3-xy227．解析：方法一因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，259且c2＝25－9＝16.xy22设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．ab22因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①.31522又点(3，15)在所求椭圆上，所以＋＝1，ab22915即＋＝1②.ab22xy22由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.3620x2y2方法二由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.25＋λ9＋λ925＋λ9＋λ15又椭圆过点(3，15)，将x＝3，y＝15代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．xy22故所求椭圆的标准方程为＋＝13620xy22答案：＋＝13620xy22化为＋＝1.8．解析：原方程可18k2k－8kk＜0，－＞0，1k＜－，881依题意，得－＞，即kk2181kkk＝－1或k＝－.7－－＝7，21答案：－1或－79．解析：(1)因为a＝5，c＝2，所以b2＝a2－c2＝25－4＝21.又因为椭圆的焦点在y轴上，yx22所以椭圆的标准方程为＋＝1.2521(2)由题知2c＝8,2a＝12，所以a＝6，c＝4.所以b2＝a2－c2＝36－16＝20.xy22当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；3620yx22当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.3620(3)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．经过两点A(0,2)，B12，3，因为椭圆nm0＋4＝1，＝1，所以1解得1.m＋3n＝1，n＝44y2所以所求椭圆的方程为x2＋＝1.410．解析：如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|＝6)．∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.xy22∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.251611．解析：方法一由椭圆的标准方程知，焦点在x轴上，且a2＝9，b2＝5，则a＝3，c2＝4，所以两焦点分别为F(－2,0)，F(2,0)，2a＝6.1|AF|＝1＋2＋21－02＝10，21|AF|＝1－22＋1－02＝2.2因为|AF|＋|AF|＝10＋2＜6，12所以点A在椭圆C内部．1114方法二因为＋＝＜1，所以点A在椭圆C内部．9545答案：B12．解析：设点A在点B的上方，F(－c,0)，F(c,0)，其中c＝1－b2.12因为AF⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，2设点B的坐标为(x，y)，00→→由|AF|＝3|FB|，可得AF＝3FB，1111xc5＝－，－2c＝3x＋c，30解得即0－b＝3y，y＝－b2，01203251－b122代入椭圆方程可得9＋b2＝1，得b2＝，933y2所以椭圆方程为x2＋＝21.3y2答案：x2＋＝1213．解析：由椭圆的标准方程可知a2＝100，所以a＝10.定义得|PF|＋|PF|＝2a＝20，(1)由椭圆的又|PF|＝15，所以|PF|＝20－15＝5.1122(2)△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝(|AF|＋|BF|)＋|AF|＋|BF|＝(|AF|＋22211221|AF|)＋(|BF|＋|BF|)．212由椭圆的定义可知|AF|＋|AF|＝2a，|BF|＋|BF|＝2a，故|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＝12122240.14．解析：(1)依题意知|FF|＝2，12|PF|＋|PF|＝2|FF|＝4＞2＝|FF|，121212∴点P的轨迹是以F，F为焦点的椭圆，且2a＝