泊肃叶定律讲解

泊肃叶定律公式(qv就等于Q)实验表明，流体在水平圆管中作层流运动时，其体积流量Q与管子两端的压强差Δp，管的半径r，长度L，以及流体的粘滞系数η有以下关系：Q=π×r^4×Δp/(8ηL)这就著名的泊肃叶定律。令R＝8ηL/(πr^4)，即Q＝Δp/R，R称为流阻。可对泊肃叶定律作进一步讨论：(1)流阻R与管子半径r的四次方成反比。这说明，管子的半径对流阻的影响非常大。例如，在管子长度、压强差等相同的情况下，要使半径为r/2的管子与半径为r的管子有相同的流量，并联细管的根数需要2^4，即16根。(2)流阻R与管子的长度L成正比。管子越长，流阻越大。(3)流阻R与液体的粘滞系统η成正比。液体的粘滞系数越大，流阻就越大。由此可见，流量Q是由液体的粘滞系数η、管子的几何形状和管子两端压强差ΔP等因素共同决定的。泊肃叶定律可以近似地用于讨论人体的血液流动。但应指出，由于血管具有弹性，与刚性的管子不同，其半径是可变的，因此流阻会随血管半径的变化而变化，这一变化也会影响到血液的流量Q。C3.4.2泊肃叶定律将速度分布式（C3.4.6a(C3.4.8a或(C3.4.8b)△(C3.4.8a)和(C3.4.8b)圆管截面上的平均速度为(C3.4.9)上式表明平均速度是最大速度的一半。利用（C3.4.9）沿程水头损失可表为(C3.4.10)△上式表明沿程水头损失与平均速度一次方成正比。上述理论结果（C3.4.8）和（C3.4.10）式与哈根（G.Hagen,1893）和泊肃叶（J.Poisenille,1840）分别独立地获得的实验结果相吻合，因此（C3.4.8）式被称为哈根-泊肃叶定律，简称泊肃叶定律。泊肃叶定律从理论和实验上首次证实了牛顿粘性假设、壁面不滑移假设的正确性及N-S方程的适用性，因此具有重要理论和实际意义。(C3.5.1)时均值的平均周期为T(C3.5.2)△时均值不像瞬时值那样随时间随机变化，而是较缓慢地变化，可用确定性函数表示。对定常湍流，时均值与时间无关而仅是空间位置的函数。脉动值的时间平均值为零

类似地，所有湍流物理量均可表示为时均值与脉动值之和，例如压强可表为(C3.5.3)将湍流速度和压强（C3.5.1）式和（C3.5.3）式代入流体力学的基本方程后再取统计平均，可得湍流运动基本方程。当方程中存在脉动值项时，由于脉动值与时均值之间的函数关系难以确定，因此目前在理论上尚无法求解方程，但可以在一定条件下结合实验数据求得半经验半解析结果，以满足工程需要。2、圆管中的湍流切应力设圆管定常湍流中x和r方向的速度分量为(C3.5.8)△x方向的流动切应力应由时均速度的速度梯度决定的层流切应力τl和由脉动速度u',v'决定的湍流脉动切应力τt（通常称为雷诺应力）两部分组成(C3.5.9)为理解雷诺应力与脉动速度的关系，考察流场中垂直于r轴的控制面元δA，该处的脉动速度分量为u’,v’(图C3.5.3)。图C3.5.3

单位时间通过δA进入下层的流体质量为，x方向的动量变化即为δA在x方向受到的切向力

瞬时切应力为(C3.5.10)由脉动速度的连续性方程

可知u’和v’符号相反，对（C3.5.10）式取时均值即为雷诺应力(C3.5.11)将上式代入（C3.5.9）式(C3.5.12)△圆管中湍切应力从壁面到轴心的分布可分为三个区（图C3.5.4）：（1）

粘性底层区在壁面附近的薄层内（厚度δ约0.1mm量级），时均速度梯度很大（比同流量层流速度梯度大得多），因此粘性切应力占主导地位，而雷诺切应力占次要地位。在壁面上雷诺切应