复变函数与积分变北京邮电大学课后的习题答案

习题七1.证明：如果f<t>满足傅里叶变换的条件.当f<t>为奇函数时.则有其中当f<t>为偶函数时.则有其中证明：因为其中为f<t>的傅里叶变换当f<t>为奇函数时.为奇函数.从而为偶函数.从而故有为奇数。=所以.当f<t>为奇函数时.有同理.当f<t>为偶函数时.有.其中2.在上一题中.设.计算的值.解:3.计算函数.解:4.求下列函数的傅里叶变换解：<2>解：因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得<3>解：<4>解:令.则在上半平面有两个一级极点.故.<5>解:同<4>.利用留数在积分中的应用,令则.5.设函数F<t>是解析函数.而且在带形区域内有界.定义函数为证明当时.有对所有的实数t成立.<书上有推理过程>6.求符号函数的傅里叶变换.解:因为把函数.不难看出故：7.已知函数的傅里叶变换求解:8.设函数f<t>的傅里叶变换.a为一常数.证明当a>0时,令u=at.则当a<0时,令u=at,则.故原命题成立.9.设证明.证明：10.设.证明：以及证明：同理：11.设计算.解：当时.若则故=0.若则若则故12.设为单位阶跃函数.求下列函数的傅里叶变换.习题八1.求下列函数的拉普拉斯变换.<1>.<2>.<3><4>.<5>解:<1><2><3><4><5>2.求下列函数的拉普拉斯变换.〔1<2>解:<1><2>3.设函数,其中函数为阶跃函数,求的拉普拉斯变换.解:4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换解：5.求下列函数的拉普拉斯变换.<1><2><3><4><5<6<7><8>解:<1><2><4><5><6><7><8>6.记.对常数.若.证明证明:7记.证明:证明：当n=1时,所以.当n=1时,显然成立。假设.当n=k-1时,有现证当n=k时8.记.如果a为常数,证明:证明：设.由定义9.记.证明:,即证明：10.计算下列函数的卷积<1><2><3><4><5><6解：<1><2><3><4><5><6>11.设函数f,g,h均满足当t<0时恒为零.证明以及证明：12.利用卷积定理证明证明：设.则.则.所以13.求下列函数的拉普拉斯逆变换.<1><2><3><4><5><6解：<1><2><3故<4>因为所以<5>其中所以<6>所以14.利用卷积定理证明证明：又因为所以.根据卷积定理15.利用卷积定理证明证明：因为所以.根据卷积定理有16.求下列函数的拉普拉斯逆变换.<1><2><3><4>解:<1>故<2>：<3>故<4>故且所以17.求下列微分方程的解<1><2><3><4><5>解:<1>设方程两边取拉氏变换,得为Y<s>的三个一级极点,则<2>方程两边同时取拉氏变换,得<3>方程两边取拉氏变换,得因为由拉氏变换的微分性质知.若L[f<t>]=F<s>,则即因为所以故有<4>方程两边取拉氏变换,设L[y<t>]=Y<s>,得故<5>设L[y<t>]=Y<s>,则方程两边取拉氏变换,,得故18.求下列微分方程组的解<1><2>解:<1>设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得得<2>代入<1>.得<3>代入<1>.得<2>设方程两边取拉氏变换,得<3>代入<1>：所以故19.求下列