2019年新课堂高考总复习数学文科第二章4讲函数的奇偶性与周期性配套课件_第1页
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文档简介

第4讲函数的奇偶性与周期性考纲要求考点分布考情风向标1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质2011年新课标第3题考查函数的奇偶性和单调性;2012年新课标第16题考查函数奇偶性、最值;2013年大纲第13题考查函数周期性;2014年新课标Ⅱ第15题考查函数奇偶性与周期性;2014年新课标Ⅰ第5题考查抽象函数的奇偶性;2015年新课标Ⅰ第13题考查函数的奇偶性;2017年新课标Ⅱ第14题利用函数的奇偶性求函数值本节复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题函数定义等价形式图象性质奇函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0关于原点对称偶函数对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0关于_____对称1.函数的奇偶性y轴2.函数的周期性

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.1.(2014年新课标Ⅱ)偶函数

y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=_______.3

解析:因为y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3)=3.又因为y=f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=3.2.(2017年新课标Ⅱ)已知函数

f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=_______.12

解析:∵f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,且f(x)是R上的奇函数,∴f(2)=-f(-2)=12.则()3.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,

A.f(x)与g(x)均为偶函数

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数

D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数B解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),∴f(x)为偶函数.而g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.4.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+A2x+b(b为常数),则f(-1)=( A.-3 C.1

)B.-1D.3

解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1.所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.A考点1判断函数的奇偶性

例1:(1)(2014年新课标Ⅰ)设函数

f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(

)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:依题意,得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)·g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|·g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.答案:C(2)(2015年广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()答案:A解析:记f(x)=x+ex,则f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以y=x+ex既不是奇函数也不是偶函数.依题可知B,C,D依次是奇函数、偶函数、偶函数.故选A.(3)(2015年北京)下列函数中为偶函数的是()

解析:根据偶函数的定义f(-x)=f(x),选项A为奇函数,选项B为偶函数,选项C定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,选项D既不是奇函数,也不是偶函数.故选B.

答案:BA.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x(4)(2015年湖南)设函数

f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

解析:显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.显然,f(x)在(0,1)上单调递增.故选A.

答案:A(5)下列函数为奇函数的是()答案:A

【规律方法】判断函数奇偶性的方法:

①定义法:第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不对称,则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函数的②图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法;

③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”;④抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活的变形配凑来判断.【互动探究】1.(2016年广东肇庆三模)在函数y=xcosx,y=ex+x2,y=y=xsinx中,偶函数的个数是()A.3个C.1个B.2个D.0个B考点2根据函数的奇偶性求参数的值(范围)答案:1

(2)(2014年湖南)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=________.

解析:由题意知,f(x)的定义域为R,所以f(-1)=f(1).从答案:D

【规律方法】已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常用待定系数法:先利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,再利用恒等式的性质列方程求解.考点3函数奇偶性与周期性的综合应用

例3:(1)(2017年山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.

解析:由

f(x+4)=f(x-2),得T=6,f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.

答案:6A.-2B.-1C.0D.2所以f(6)=f(1).又因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x).所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.答案:D由①②,得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.答案:-10

【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性,属于基础题.在涉及函数求值问题中,可利用周期性f(x)=f(x+T),化函数值的自变量到已知区间或相邻区间,如果是相邻区间,再利用奇偶性转化到已知区间上,再由函数式求值即可.【互动探究】A2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2019)=()A.-2B.2C.-98D.98

解析:∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.∴f(2019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2019)=-2.

易错、易混、易漏⊙函数对称性质的判断例题:定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当A.减函数,且f(x)<0B.减函数,且f(x)>0C.增函数,且f(x)>0D.增函数,且f(x)<0

解析:因为f(-x)=-f(x),又f(x+1)=f(-x),所以f(x+1)=-f(x).

所以f(x)是周期为2的周期函数,且(0,0)是一个对称中心,

答案:A

【失误与防范】先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称,再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于x轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断.【互动探究】A.2016B.1008C.504D.0B

1.在讨论函数的奇偶性时,应首先求函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数不具备奇偶性,为非奇非偶函数;只有定义域关于原点对称,才有必要利用定义进一步研究其奇偶性;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性;分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.解析式周期特征f(x+a)=f(x)T=a—f(x+a)=-f(x)T=2a相反T=2a互倒T=2a反倒f(x+a)=f(x-a)T=2a—f(x)=f(x+a)+f(x-a)T=6a—2.函数的周期性与对称性性质总结:(1)周期性:对任意的x∈D,都有f(x+T)=f(x),则T叫做函数f(x)的周期.解析式f(x+a)=

f(x-a)f(a+x)=

f(a-x)f(a+x)=-f(a-x)特征x前系数相同x前系数相反,且f前系数相同x前系数相反且f前系数相反结论周期T=2a轴对称关于x=a轴对称中心对称关于(a,0)中心对称类比f(x+2a)=f(x)f(-x)=f(x)⇔f(0-x)=f(0+x)偶函数,关于x

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