2023北京西城一六一中初二（下）期中数学试卷及答案

2023北京一六一中初二（下）期中数学一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（A.1，11B.23，42.下列二次根式中，最简二次根式是（C.1，2，D.1，23D.3）1A.B.2C.23.下列运算正确的是（A.63=2）1=2B.C.2+3=5D.27=3224.下列yx的函数中，是正比例函数的为（）2xx+1A.y＝x2B.y＝C.y＝D.y＝x22=AC=4，点D，E分别是边AB，CB5.如图，在中，AB=3，6，的中点，那么DE的长为（）A.B.2C.3D.46.已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA=2；n（2）过点A作直线垂直于OA；n=（3）在直线上截取线段AB3；（4）以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点C.根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①=5；②OBAC=1.上述结论中，所有正确结论的序号是（）=13；③3OC4；④第1页/共26页A.①②B.①③C.②③D.②④7.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A=C,B=DAB=CD,AD//BC//CD,=CDAB//CD,AD//BCA.C.B.D.8.在菱形ABCD中，若A16=，周长为，则这个菱形的两条对角线长分别为（A.2，23）B.4，43C.44D.43，43BD=69.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AOD120，=．则AB的长为（）3A.B.3C.23D.3210.如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在AD边上，落点记为F，过点F作∥CD交于点G，连接CG．若6，=AD=10，则四边形CEFG的面积是（）3A.B.C.D.103二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）若x−3在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．x12.在▱ABCD中，已知∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数为____°．y=13.购买一些铅笔，单价为元/支，总价y元随铅笔支数x变化，请写出y关于x的函数解析式为______．y=kxy=k0y的值随着x的值的增大而增大，请写出一个满足条件的14.已知正比例函数（k是常数，正比例函数的解析式：______________⊥==2，则BC＝15.如图，的对角线AC与BD相交于点O，ABAC．若_________BD＝_________．16.如图，O是矩形ABCD的对角线的中点，M是AD的中点．若AB5AD12=，=，则四边形第2页/共26页的周长为_______.17.请写出“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题：_____________，此逆命题是______（“真”、“假”）命题．18.如图为《勾股定理》章前图中的图案，它由四个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形面积1分别为和4，则直角三角形两条直角边长分别为_______．2三、解答题（本大题共8小题，第19题每小题4分，第20-23每题7分，第24-26每题8分，共64分）19.计算：（1）12+8−53+22（2）(3)35−5+−23151318+50−432（3）220.如图是一块地，已知AD=4m，=3m，AB=13m，BC=12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．21.下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，在Rt中，ABC=90，O为的中点．求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．BOBO=；作法：①作射线②连接AD，CD，则四边形根据小丁设计的尺规作图过程，，在线段的延长线上截取ABCD为矩形．第3页/共26页（1（2）完成下面的证明．证明：点O为的中点，=CO．又①____________，四边形ABCD为平行四边形（②_____ABC=90，为矩形（③____________22.已知x=2−3，y=2+3，求下列代数式的值：xx2++y2；y+xy（1）（2）2223.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，，对角线=，BD交于点O平分BAD，，过点C作⊥交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，2，求OE=的长．24.函数问题：yxy=2x（1）作出与的函数的图象x①自变量的取值范围是____________；第4页/共26页②列表并画出函数图象：xy……−21012……xy③当自变量的值从12时，则函数的值增加了____________．xy（2）在一个变化的过程中，两个变量与之间可能是函数关系，也可能不是函数关系：y下列各式中，是的函数的是____________．xx+y=1；②x+y=1；③xy=1；④x2+y2=1；①25.如图，在44的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形，使得AB（2）在（）的条件下，直接写出边上的高；=5,BC25,5；==（3）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．26.已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点不与B，重合)，AEF90，(C=EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系______；②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系直接写出即可．()四、选做题（每小题5分，共10分）第5页/共26页27.观察下列等式：3−13+1(3+3−13−1==①②③；215−35−3==；5+3(5+3)(5−3)217−57−5==7+5(7+5)(7−5)2…回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：15+231111++++（2）计算：．1+33+55+7311+10111A−,11B−,−ABCD28.平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，222211D,11,−=CP、QPQ1.给出如下定义：记线段的中点为，，是这个正方形外两点，且2222T，平移线段得到线段点和Q'分别落在正方形P'Q，Q'分别是点P，Q的对应点)，记线段P'Q'的中点为T.若其中ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段到正方形ABCD.的“回归点”（1）如图1，平移线段，得到正方形ABCD1PQPQ内两条长度为的线段和，这两条线段的位置1122关系为______；若1，T分别为PQPQ2和(的中点，则点______填TT)或为线段到正方形211212ABCD的“回归点”；（2）若线段的坐标为()，记线段到正方形的中点TABCD1的“回归距离”为，请直接写出dABCD的“回归点”T画出一种情况即可的最小值：______，并在图2中画出此时线段到正方形1)；第6页/共26页（3）请在图3中画出所有符合题意的线段到正方形ABCD的“回归点”组成的图形.第7页/共26页参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A.22，故无法构成直角三角形，不符合题意；B.=1342，故无法构成直角三角形，不符合题意；2()=3=3C.2)2，故可以构成直角三角形，符合题意．D.=52，故无法构成直角三角形，不符合题意；故选C．a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．【详解】A、25，则=不是最简二次根式，此项不符题意；B、2是最简二次根式，此项符合题意；12212=C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；215==D、0.2，则不是最简二次根式，此项不符题意；55故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．3.【答案】A【解析】【分析】利用二次根式的除法判断A，利用分母有理化判断B，利用二次根式的加法判断C，利用二次根式的性质判断D．【详解】解：A．63=2，故正确，符合题意；12=B．，故错误，不符合题意；22C．2与3不能合并，故错误，不符合题意；D．27=33，故错误，不符合题意；第8页/共26页故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】【详解】解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意；B.y是x的反比例函数，故B选项不符合题意；C.y是x的正比例函数，故C选项正确；D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意；故选C．5.【答案】B【解析】【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：点D，E分别是边AB，CB的中点，1DE=AC=2，2故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求得，进而得，AC，再判断结论的正误．【详解】根据题意得，==，=，=22+3=13，2故②正确；B，OC=13，∵9，∴3134，③正确，①错误；AC=−=13−21，故④错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得第9页/共26页．7.【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；B、∵AB∥，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；C、根据ABCD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．8.【答案】B【解析】△ABD【分析】连接、BD，、BD交于点O，判定是等边三角形，即可得到AB=AD=BD=4，再根据等边三角形的性质得到，求出，根据勾股定理即可得到的长．【详解】解：如图所示，BAD=60，连接、BD，、BD交于点O，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD，⊥ACBD，又菱形的周长为16，AB=BC=CD=AD=4，又=60，是等边三角形，===4DO=2，，在Rt中，AO=AD2−=23，2AC=43．第10页/26页故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图并找出图中的等边三角形．9.【答案】B【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．【详解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∵BD=6，∴AB=OB=3，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】根据题意和勾股定理，可以求得的长，设EF=x，利用勾股定理列出方程，进而求得EF和DF的值，证明四边形CEFG是平行四边形，从而可以得到面积．【详解】解：由折叠可知：=，CE=，BEC=BEF，ABCD中，=6，===10，=，则在矩形AF=102−6=8，2DF=2，设EF=x，则CE=x，=6−x，=90，22+(6−x)2=x2，3x=解得，，第页/共页103CE=，CE，=CEB，=，FG=FE，FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，10四边形CEFG的面积是：CEDF=2=203，3故选A．【点睛】本题考查翻折变化、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）【答案】x3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解．【详解】解：由题意得：x−30，∴x3；故答案为x3．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．12.【答案】80【解析】【分析】由在▱ABCD中，如果∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，又由平行四边形的邻角互补，求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵∠A+∠C=200°，∴∠A=100°，∵AD∥BC，∴∠B=180°-∠A=80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补定理的应用是解此题的关键．第12页/26页113.【答案】0.2x##x5【解析】=【分析】根据总价单价数量，可得函数关系式．【详解】解：由题意得：y=0.2x（x故答案为：0.2x．【点睛】本题考查了函数的表示，写函数的解析式是函数的表示方法之一，解题的关键是抓住题中的数量关系用自变量的代数式来表示因变量．y=2x14.【答案】（答案不唯一）【解析】y=kxyk0中，的值随着值的增大而增大，所以，于是得到结论．x【分析】因为在正比例函数【详解】解：在正比例函数k0，y=kxy中，的值随着值的增大而增大，x函数表达式为y=2x．y=2x故答案为：【点睛】本题考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．15.【答案】①.22.25【解析】11AO=AC,BO=BD【分析】根据勾股定理直接求得BC的长，根据平行四边形的性质可得，在22Rt△中勾股定理求解即可故答案为：225【详解】解：∵的对角线AC与BD相交于点O，，AB⊥AC．==211AO=AC=BO=BD∴22在Rt△中，BC=AB2+AC+AO2=22，=2+1=5在Rt△中，BO=ABBD=2BO=252222【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．16.【答案】20【解析】【分析】先由AB=5，AD12得到=AC=13，然后结合矩形的性质得到OB=和点M6.5，再结合点O分别是和AD的中点得到OM和AM的长，最后得到四边形的周长．第13页/26页【详解】解：CD=5，2，，，AC=13，点O和点M分别是和AD的中点，1OB=6.5，AM=AD6OM，=ACD是的中位线，21=CD=2.5，2四边形ABOM=+++=5+6.5+2.5+6=20故答案为：20．．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．17.【答案】①.两组对边分别平行的四边形是平行四边形②.真【解析】【分析】写出原命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：“平行四边形的两组对边分别平行”的逆命题是：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，是真命题，故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，真．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9213218.【答案】，【解析】【分析】先利用已知正方形的面积求出大小三角形的边长，设出一条直角边，利用勾股定理列出方程进行求解．1【详解】解：大小正方形的面积分别为和4，2552大小正方形的边长分别为和2，x设短直角边为，则长直角边为2+x，由勾股定理得：1x2+(2+x)2=62，292x=x=−2解得，，12132x+2=第14页/26页92132故两条直角边分别为，．92132故答案为：，．【点睛】本题考查了勾股定理和一元二次方程的应用，解题关键在于找出各边关系列出方程．三、解答题（本大题共8小题，第19题每小题4分，第20-23每题7分，第24-26每题8分，共64分）19.1）32−33（2）2−3（3）2【解析】【分析】根据二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．【小问1解：12+8−53+2=23+22−53+2=32−33；【小问223(5−3)5+3−232=5−3−2=5−3−3=2−3【小问31512318+50−432()=92+2−2242=8242=2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】24m2【解析】【分析】连接，根据勾股定理求得的长，根据勾股定理的逆定理可得=，根据第15页/26页四边形ABCDS−S，即可求解．【详解】解：连接，∵CD⊥∴90，=CD=3∵，∴AC2=AD2+CD2=42+23=25，又∵AC0，AC=，5∴=12=又∵∴AC，2+BC2=52+12=169，2又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴，=SS−S=30−6=24m2∴．四边形ABCD【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．21.1）见解析（2）见解析【解析】）根据要求画出图形即可．（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【小问1ABCD解：如图，矩形即为所求．【小问2理由：点O为的中点，AO=CO又O，四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）第16页/26页=90，【点睛】本题考查作图题型．−复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考22.1）2）4【解析】x2++y2=(x+y)−，然后把x，y的值代入进行计算即可解2）利用完全平方公式可得答；x2y+2=xy(x+y)，然后把x，y的值代入进行计算即可解答．（2）利用因式分解可得【小问13，y=2+3，解：x2++y2=(x+y)−2(2323)2(23)(23=4−(4−2=15，x++y2的值为215；【小问2x2y+xy2=xy(x+y)=(2−3)(2+3)[2−3+(2+3)]=(4−4=4，x2y+2的值为4．【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，二次根式的混合运算，利用乘法公式和因式分解对代数式进行恰当的变形是解题的关键．23.12）=2．【解析】）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出OA=2−=2，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一2半即可求解．）证明：∵AB//CD，第17页/26页∴CAB=ACD，∵平分BAD，=CAD，∴CAB∴=，AD=CD∴，又∵ADAB，=∴=CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵，=∴是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线、交于点O，112∴AC⊥BD，OA=OC=AC==BD，，21=BD=1∴，2在Rt△AOB中，AOB=90，∴OA=∵⊥，∴=，2−=2，2在Rt△AEC中，=，O为中点，1∴===2．2【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．24.1）①全体实数；②42，02，；图见解析；③2（2）①③【解析】y=2x）①根据求出x的取值范围即可；②根据解析式填出列表，并在坐标系中描出各点，画出函数图象即可；x③把自变量的值从12时，代入函数解析式中求解即可；（2）根据函数的关系式的定义来求解即可．【小问1y=2x解：①在函数中，x的取值范实为全体实数，故答案为：全体实数；第18页/26页②列表如下：xy－2-120122440y=2xy=2x或y=−2x，画图如下：函数变形为③当x=1时，y=2，当x=2时，y=4，xy所以当自变量的值从1增加到2时，则函数的值增加了2；【小问2xy=1x+y=1，②x+y=1，③，④x2+y2=1中，解：在①①③中对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，②④中对于x的每一个值，y都有两个值与它对yxy应，所以①③中是的函数，②④中不是的函数．x故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量取值范围，函数图象的画法，理解相关知识是解答关键．25.1）图见解析（2）2）图见解析（答案不唯一）【解析】）先结合网格特点，利用勾股定理画出CA=5，再利用勾股定理画出ABBC即可得；=5，然后连接（2）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得；（3）参照（1）的方法，画出三边长分别为5,5,10的直角三角形即可．【小问1解：如图，即为所求．第19页/26页【小问2解：设边上的高为h，5,BC=25,CA=5，AB2+BC2=AC2，是直角三角形，121121S=ACh=ABBC5h=525，即，22解得h=2，即边上的高为2．【小问3解：如图，【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．226.1）①；②CE=+CF=CD，证明见解析；222（2）当点E在CB延长线上时CE−CFCD，当点D在=BC延长线上时CF−CE=CD，当点222BC上时CF−CE=CDD在线段2【解析】）①根据题意补全图形，在AB上截取，连接=ME，根据证△AME≌△ECF即可得出结论；第20页/26页2△ECF②根据△BEM是等腰直角三角形，得出BM=CF，根据△AME≌即可得出结论；2（2）分点E在线段得出结论即可．【小问1BC上，点在EBCE点在CB延长线上，延长线上三种情况，构造全等三角形同理①根据题意补全图形如下：=，理由如下：在AB上截取=，连接ME，四边形ABCD是正方形，AB=，ABC=BCD=+=，BE，，=，是等腰直角三角形，=45，=−=，E，AEF=90，AEB+CEF=，BAE=CEF，=180−BCD=CFDCF=GCF=，ECF=+=135，AME=ECF=135，在△和△ECF中，DCG，平分第21页/26页BAE=CEFAM=CE，AME=ECF（，≌=，故答案为：；=2②CE+CF=CD，证明如下：2由①知，△AME≌△ECF，=CF，是等腰直角三角形，2BM=BE=，22BM=CF，2四边形ABCD是正方形，=CD，=，2CE+CF=CD；2【小问2若点E在直线BC上分以下三种情况：2①知，当E点在线段BC上时，CE+CF=CD；2②当E点在BC延长线上时，延长BA至H，使=CE，连接HE，ABCD四边形是正方形，B==，BH=，+=，第22页/26页△HBE是等腰直角三角形，2H=45，BH=BE=HE，2平分，1ECF=DCE=，2H=CEF==90，，+==，，是△的外角，FEM是△CEF的外角，=CEF，在△和中，H=ECF=CE，=CEF，≌（HE