广东省汕头市金禧中学2022年高三数学理测试题含解析

广东省汕头市金禧中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A．一定经过点（0，0） B．一定经过点（1，1）C．一定经过点（﹣1，1） D．一定经过点（1，﹣1）参考答案：B【考点】幂函数的图象．【分析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1，1）点．故选B．【点评】熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．2.已知平面向量满足，，，，则最大值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设，=，=，则由向量的数量积运算公式可知最大值为4S，根据A点轨迹找出A到BC的最大距离即可求出最大值．【解答】解：设，=，=，与所成夹角为θ，则=|AB|2|AC|2﹣|AB|2|AC|2cos2θ=|AB|2|AC|2sin2θ=|AB|2|AC|2sin2∠CAB，=4S2△ABC，∵，，，∴的夹角为60°，设B（3，0，），C（1，），则|BC|=，∴S△OBC==，设O到BC的距离为h，则=S△OBC=，∴h=，∵||=4，∴A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，∴A到BC的距离最大值为4+h=4+．∴S△ABC的最大值为××（4+）=2+，∴最大值为4（2+）2=（4+3）2．故选：D．3.一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为92cm2，则h的值为(

) A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，分析得出该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，再依据四棱柱的表面积公式进行计算即可．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2，下底为5，高为4，四棱柱的高为h，则该几何体的表面积为S表面积=2××4+（2+4+5+）h=92，即16h=64，解得h=4．故选：A．点评：本题考查了利用几何体的三视图求表面积的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，从而进行面积计算．4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（3）的值为(

)A.-1

B.-2

C.1

D.2参考答案：B略5.已知向量，，则是的（

）

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A略6.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设，则A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.平面向量的夹角为，（

）

A.9

B.

C.3

D.7参考答案：B,所以，所以，选B.9.设复数z满足，则z=（

）A．1+3i

B．－1－3i

C．－1+3i

D．1－3i参考答案：B复数满足，.故选B.

10.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）(A) (B) (C)

(D)参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为

参考答案：12.12．已知抛物线的准线与圆相切，则

．参考答案：命题意图：本题考查抛物线与圆的性质，简单题．13.已知函数在处的切线与直线平行，则

▲。参考答案：0略14.等差数列中，，记，则当____时，取得最大值.参考答案：4

略15.设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=

；参考答案：(p+1)2解：设=n，则(k－)2－n2=，T(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，Tk=(p+1)2．16.已知抛物线的焦点到准线的距离为，且上的两点关于直线对称，并且，那么_______参考答案：略17.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是偶函数.(1)求的值;(2)证明:对任意实数,函数的图象与直线最多只有一个交点.参考答案：(1).(2)证明:由(1)得,令,得,假设方程有两个不等的实数根,则①,②.两式相减得,因为,所以,代入①或②不成立,假设错误,命题成立.略19.选修4－5：不等式选讲已知(a是常数，a∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式的解集．（Ⅱ）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

参考答案：解：（Ⅰ）∴的解为． 5分（Ⅱ）由得,． 7分令,,作出它们的图象，可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数有两个不同的零点． 10分略20.（本小题共14分）已知函数，．(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；(Ⅱ)求在区间上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．参考答案：【知识点】导数的综合运用【试题解析】（Ⅰ）由，定义域为，

得．

因为函数在处取得极值，

所以，即，解得．

经检验，满足题意，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．

当时，有，在区间上单调递增，最小值为；

当，由得，且．

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在区间上单调递增，最小值为；

当时，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以函数在取得最小值．

综上当时，在区间上的最小值为；

当时，在区间上的最小值为．

（Ⅲ）由得．

当时，，，

欲证，只需证，

即证，即．

设，

则．

当时，，所以在区间上单调递增．

所以当时，，即，

故．

所以当时，恒成立．21.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=x，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|?|OQ|的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程．（2）根据（1）所得到的结果，建立方程组求得结果．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，…（3分）∵直线C2的方程为，∴直线C2的极坐标方程．…（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3=0，∴ρ1?ρ2=3，∴|OP|?|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）【点评】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程与的应用，属于基础题型．22.（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、选做以上每道试题的可能性均为，只选做23、24题，且他选做这两道试题中每道试题的可能性均为．他们在考试中都按规定选做了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率