曲率教学设计

/曲率教学设计制作人：长安大学理学院王维琼课程名称高等数学授课内容《高等数学》第三章第七节授课时间约15分钟授课题目曲率所属学科数学课程类型本科生公共基础课适用对象理工科各专业本科生使用教具投影仪、激光笔教学背景曲率是描述平面曲线弯曲程度的量，是一元微分学中导数应用部分继函数单调性与曲线的凹凸性，函数的极值与最值之后导数的另一几何应用，同时也是工程设计、道路桥梁设计的理论基础。教学目的知识目标：理解曲率和曲率半径的概念，掌握曲率和曲率半径的计算。能力目标：通过砂轮选取、公路铁路弯道设计实例分析，让学生积极主动探索曲率概念的形成过程，培养学生的逻辑推理能力；让学生学会运用曲率知识解决如砂轮选取、离心力等实际问题，提高学生应用数学的意识与能力。情感目标：通过曲率在工程实践与生产、生活中的应用培养学生学以致用的意识，让学生感受探索的乐趣和成功的喜悦，充分体会数学知识在实际生活中的广泛应用。教学重点和难点重点：曲率与曲率半径的概念的理解与计算，应用曲率解决实际问题。难点：曲率公式的推导。思路设计问题导入通过砂轮选取与公路弯道设计实例提出问题，导入新课曲率的定义通过分析影响曲线弯曲程度的量得到曲率的量化指标曲率的计算公式推导出直角坐标系下曲线的曲率的计算公式求曲率举例通过实例消化曲率概念，解决开篇提出的问题思考题铁路弯道如何设计？小结内容总结方法手段教学方法：引导发现式教学法、问题驱动法。教学手段：多媒体辅助教学。所用教材《高等数学》(上册)同济第六版，高教出版社。教学内容课堂组织第三章微分中值定理与导数的应用上一章中，我们从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引进了导数的概念，并讨论了导数的计算方法。本章中主要应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决实际问题。第七节曲率我们已经讨论过曲线的凹凸性，知道如何判断曲线的弯曲方向，但是还不能描述和判定曲线的弯曲程度。而在许多实际问题中都必须考虑曲线的弯曲程度。如道路弯道的设计，梁的弯曲程度，曲线形的切削工具的设计等等。那么如何描述曲线的弯曲程度呢？直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。何为弯曲得厉害些?即：用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢?让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。一、曲率及其计算公式1、曲率的定义曲率是描述曲线局部弯曲程度的量。))))))问题：怎样刻画曲线的弯曲程度？答：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度。2、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为，对应切线的转角位，定义弧段上的平均曲率：,得点M处的曲率.注：直线上任一点处的曲率为0。例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率。解：如图所示，,可见：R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.曲率K的计算公式设曲线弧二阶可导，则由（设）得，；又，故曲率计算公式为.当时，有曲率近似计算公式。例2．抛物线上哪一点的曲率最大？解：由，得，，代入曲率公式，得.显然，当时曲率最大。曲率最大时，，对应的点为抛物线的顶点。因此，抛物线在顶点处的曲率最大，此处，.二、曲率圆与曲率半径 设M为曲线C上任一点，在点M处作曲线的切线和法线,在曲线的凹向一侧法线上取点D使.把以D为中心，R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆，R叫做曲率半径，D叫做曲率中心。在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系：1）有公切线；2）凹向一致；3）曲率相同。注：1、曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。即2、曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲率越大（曲线越弯曲）。3、曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）。例3．设工件表面的截线为抛物线，现在要用砂轮磨削其内表面。问用直径多大的砂轮才比较合适？解：砂轮的半径应该不大于抛物线顶点处的曲率半径。因，，,，把它们代入曲率公式，得抛物线顶点处的曲率半径为.因此，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长。小结：1)曲线弯曲程度的量化指标—曲率，曲率圆与曲率半径。2)曲率的计算。3）曲率理论的应用。演示砂轮打磨工件的动画，引导大家形象地思考曲率的概念1分钟动画演示与曲率有关的因素问引导学生得出刻画曲线弯曲程度的方法2分钟引导学生推导曲率的计算方法1.5分钟通过圆这一简单实例验证所给量化指标的合理性1.5分钟应用复合函数微分