河南省驻马店市张台乡教管站中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

河南省驻马店市张台乡教管站中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．60﹣12π B．60﹣6π C．72﹣12π D．72﹣6π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，结合图中数据求出组合体的体积．【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3；所以该组合体的体积为：V=×（4+8）×4×3﹣π×22×3=72﹣6π．故选：D．2.已知圆x2＋y2=9与圆x2＋y2－4x＋4y－1=0关于直线l对称，则直线l的方程为(

)A．4x－4y＋1=0

B．x－y=0

C．x＋y=0

D．x－y－2=0参考答案：D3.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．4.设P是双曲线上的点，是其焦点，且，若的面积是1,且，则双曲线的离心率为（

）A..2

B.

C.

D.参考答案：C5.将一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则复数P1＋P2i所对应的点P与直线l2：x＋2y＝2的位置关系是A．P在直线l2上

B．P在直线l2的左下方C．P在直线l2的右上方

D．无法确定参考答案：B易知当且仅当≠时两条直线只有一个交点，而＝的情况有三种：a＝1，b＝2(此时两直线重合)，a＝2，b＝4(此时两直线平行)，a＝3，b＝6(此时两直线平行)，而投掷两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P2＝1－＝；两条直线平行的概率为P1＝＝，P1＋P2i所对应的点为P(，)，易判断P(，)在l2：x＋2y＝2的左下方，选B.6.已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：C【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出对应的结果．【解答】解：设与的夹角为θ，由为单位向量，且与垂直，则?（+2）=+2?=12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣；又θ∈[0°，120°]，的夹角为θ=120°．故选：C．7.已知三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取AC中点O，连结DO，EO，则EO∥AB，从而∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．【解答】解：取AC中点O，连结DO，EO，∵三棱锥A﹣BCD的各棱长都相等，E为BC中点，∴EO∥AB，∴∠DEO是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），设三棱锥A﹣BCD的各棱长为2，则DE=DO==，OE=1，∴cos∠DEO===．∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为．故选：B．8.函数对任意都有则等于(

)A

或

B

或

C

D

或参考答案：知识点：三角函数的图象C3B解析：因为函数对任意都有所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.【思路点拨】抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关键.9.

在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a＋b＋c的值为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

1

2

0.5

1

a

b

c

参考答案：答案：A10.已知sinx+cosx=，x∈（0，π），则tanx=（）A． B．C．D．参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得sinx、cosx的值，进而利用商数关系求得tanx的值．【解答】解：∵，x∈（0，π），∴两边平方得2sinxcosx=﹣，cosx＜0∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∵sinx﹣cosx＞0，∴sinx﹣cosx=，与，联立解得sinx=，cosx=﹣，∴tanx==﹣．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)对于任意的x∈R，都满足f(－x)＝f(x)，且对任意的a，b∈(－∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f(m＋1)＜f(2)，则实数m的取值范围是

▲

。参考答案：略12.设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答： 解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13.已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．参考答案：（25，34）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．【专题】数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则：b+c=2×12=24，a∈（1，10）则a+b+c=24+a∈（25，34），故答案为：（25，34）．【点评】本题主要考查分段函数、函数的图象以及利用数形结合解决问题的能力．14.（2009江苏卷）函数的单调减区间为

.参考答案：解析：考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm2.

参考答案：10，400π略16.某校为了了解高三同学暑假期间学习情况，调查了200名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）。则这200名同学中学习时间在6～8小时的同学为_______________人；参考答案：6017.如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—2矩阵与变换已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，（1）求实数a的值；

（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.参考答案：解：（1）由=，（2分）

∴.

（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为

（5分）令，得矩阵的特征值为与4.（6分）当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;

（8分）

当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.

（10分）略19.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；分析法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）要证CE∥平面PAB，只要证明CE平行于平面PAB内的一条直线即可，由E为PD的中点，可联想找PA的中点F，连结EF、BF后，证明BCEF是平行四边形即可证得答案；（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．连接BG交AC于O，连接OE，证得平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，运用解直角三角形，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点F，连结FE、FB，则FE∥BC，且FE=AD=BC，∴BCEF是平行四边形，∴CE∥BF，而BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB；（Ⅱ）取AD的中点G，连接EG，则EG∥AP，问题转化为求EG与平面ACE所成的角的正弦．连接BG交AC于O，连接OE，由AC⊥EG，AC⊥BG，可得AC⊥平面OEG，即有：平面ACE⊥平面OEG，交于直线OE，过G作GH⊥OE，交OE于H，可得∠GEH为EG与平面ACE所成的角，即∠GEO，由EG=1，GO=，可得EO=，可得sin∠GEO==，则PA与平面ACE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，解答的关键是通过线面垂直求得线面角，属中档题．20.已知数列是递增的等差数列，且满足，.⑴求数列的通项公式；⑵令，求数列的前n项和.参考答案：解：⑴根据题意：，又，所以是方程的两根，且，解得，所以，.⑵，则

①

②①一②，得，所以.21.（本小题满分12分）设函数是定义在上的减函数，并且满足，（1）求,,的值，（2）如果，求x的取值范围。参考答案：解：（1）令，则，∴……1分令,则,∴………2分∴

…………4分∴

……………

6分（2）∵，又由是定义在R＋上的减函数，得：

………

8分解之得：…………

12分22.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，于是直线OM的斜率kOM==，即kOM?k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞