第四章 横向荷载下桩的内力

第四章横向荷载下桩的内力第一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第一节横向荷载下桩的受力特性一、横向荷载下桩的工作性能及其破坏性状二、横向荷载下桩的微分方程式第二节受横向荷载桩的计算方法分类

1.极限地基反力法(极限平衡法)

2.弹性地基反力法

3.复合地基反力法(p—y曲线法)4．弹性理论法第三节线弹性地基反力法—“m”法解答第四节线弹性地基反力法的幂级数通解第五节弹性地基反力法的数值分析解第六节提高基桩水平承载力的措施第二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五计算理论发展概况

(1)《桥规》推荐的m法、C法都可使用。但是，根据国内外对嵌岩桩的试验，岩层对桩的水平抗力系数为常数。(2)所有的m法、C法、K法都是在文克尔弹性地基理论的基础上得来的。

(3)推导了刚性桩、变截面桩、高桩承台、低桩承台计算的全部公式，使桩基水平力计算达到了高度的统一化、系统化和完善化。第三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第一节横向荷载下桩的受力特性一、横向荷载下桩的工作性能及其破坏性状

在横向荷载的作用下，桩侧土体受到挤压而产生抗力,桩的挠曲变形沿桩轴而变，导致桩侧土体所发挥的横向抗力也随深度而变化。当桩顶未受约束时，桩头的横向荷载首先由靠近地面处的土体承担。荷载较小时，上部土体处于弹性压缩阶段，随着荷载的增加，上部土体逐步产生塑性变形，并将所受横向荷载传递到更大的深度。当变形增大到桩身材料所不能容许的程度或桩侧土失去稳定时，桩土体系便趋于破坏。第四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五1．刚性短桩(ah<=2.5)的破坏当横向荷载达到一定值时，桩侧土体开始屈服，随着荷载增加，逐渐向下发展，直至刚性短桩因转动而破坏。对于桩顶自由的刚性短桩，当桩身抗剪强度满足要求时，桩体本身一般不发生破坏，故其水平承载力主要由桩侧土的强度控制。但桩径较大时，尚需考虑桩底土偏心受压时的承载能力。第五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

2．弹性桩(ah>2.5)的破坏在横向荷载作用下桩将发生挠曲变形(水平位移和转角)，在桩全长范围的水平方向上地基土不会同时出现屈服，而是沿桩轴从地表向下逐渐地出现屈服，在桩体及连接构件上产生的内力随着地基的逐渐屈服而增加。当桩身某点弯矩超过其截面抵抗矩或桩侧土体屈服失去稳定时，弹性长桩便趋于破坏。其水平承载力由桩身材料的抗弯强度和侧向土抗力所控制。

第七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五（ah≥4.0），桩下段的土抗力可视为无限大，亦即桩下段可视为嵌固于土中而不能转动，如图4-2a)所示桩体发生转动或破坏之前，桩顶将产生一可观的水平位移，而该水平位移往往使所支承结构物的位移量超出容许范围或使结构不能正常使用。例如桥梁基础的过大位移就可能使桥梁发生损坏，尤其是拱桥，将导致整拱塌陷。

第八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五二、横向荷载下桩的微分方程式第九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

又故有

式中都是基桩单位长度的荷载强度

第十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五代入上式得

第十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第二节桩受横向荷载计算方法分类

根据对地基反力的假定不同，横向受力桩的分析方法亦不同，大致可分为以下四大类：1极限地基反力法(极限平衡法)2.弹性地基反力法

3.复合地基反力法(p—y曲线法)4.弹性理论法第十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五1.极限地基反力法(极限平衡法)

该法早先常用于刚性短桩的计算，其认为地基反力仅是深度z的函数，而与桩的挠度x无关，即极限地基反力法最初由雷滋(Rase.1936年)提出，冈都、Broms等均进行了发展，其适用于埋入深度较小的刚性桩，不能用于弹性长桩和含有斜桩的桩结构物的计算。

根据各种不同的土反力分布规律假定，如土反力的直线分布和任意分布等，又有多种不同的计算方法。第十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2.弹性地基反力法弹性地基反力法将土体假定为弹性体，用梁的弯曲理论求解桩的横向抗力。其假定地基反力与桩的位移x的m次方成比例，即式中k是由土的弹性性质所决定的系数，其与指数m、n(n≥0，1≥m>0)的取法有关，上式z与x的幂方形式也可表示成为与z的任意函数k(z)乘积的形式：根据指数m的取值不同，弹性地基反力法又可分为m=1时的线弹性地基反力法和m≠l时的非线性弹性地基反力法。第十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五1)线弹性地基反力法

在线弹性地基反力法中，地基系数k(z)表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需加的力，其值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测x及q后反算得到的。大量的试验表明，地基系数k(z)值不仅与土的类别及其性质有关，而且也随着深度而变化。k(z)随深度的变化情况，长期以来一直成为国内外学者们所争论和研究的课题，直到现在仍在不断探讨中。为简化计算，一般指定k(z)中的两个参数成为单一参数，由于指定的参数不同，也就有了常用的张氏法、k法，m法和C法。为了使k(z)值能较准确地反映实际情况，我国学者吴恒立还提出了综合刚度原理和双参数法，完成了解析解，并进行了数值计算。线弹性地基反力法假定地基为服从虎克定律的弹性体，地基反力q与桩上任一点的位移x成正比，即符合文克尔(E·Winkler)假定。第十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(该假定没有考虑地基土的连续性，对于某些土质，如剪切刚度较大的岩石地基，其假定则不能成立，此外，土的物理性质是很复杂的，不可能用这种简单的数学关系来正确表达).文克尔假定与很多能更真实表现土的实际状态的复杂分析方法相比，它比任何一种方法的数学处理都简单.在工程中极为有用，因此，我国目前各类规范仍采用该法计算。当桩的挠曲变形较小时，土体基本能满足虎克定律，所以，对桥台、桥墩等桩基，其容许位移较小，该法是可以适用的。第十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(1)张氏法如用(图4-4a)所示，假定桩侧土地基系数沿深度为一常数，即n=0。第十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五该法由我国张有龄先生于30年代提出(1937年)，曾在日本流行了相当长的时期。根据这种假定，由于地面处桩身侧移最大，得出地面处土的侧向抗力为最大的结论，试验证明对于非粘性土和正常固结粘性土，地面处土体实际侧向抗力很小，因此与实际情况相矛盾。只有在坚硬的岩石中才可能水平方向地基系数沿深度不变。第十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(2)k法如图4-4c)所示，假定桩侧土地基系数在第一弹性零点t至地面间随深度增加(呈凹形抛物线)，而达t后保持为常数，但实际上，t点以上地基系数的变化规律并没有明确给出，在公式推导时假定该段土体的抗力呈抛物线变化，而土体抗力与位移x有关，x假定为高次曲线，显然推导与原假定不一致。该法由前苏联安盖尔斯基于1937年提出，曾在我国采用。用该法所得桩身最大弯矩值大于实测值，偏于安全。但由于推导、假定存在一定的问题，我国现行《地基规范》已将其取消。第二十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(3)m法该法始见于1939年N·B·ypdH用它来计算桩墙的平面问题，1962年由K·G西林引入我国。不少学者通过试验和理论分析，认为非粘性土和正常固结粘性土的地基系数通常均可认为随深度呈线性增加：我国目前以该法用得最多，如铁路、公路桥梁桩基以及现行国家标准建筑地基基础设计规范》(GBJ7-89)均推荐使用该法。但该法也存在一定的缺点，比如假定地基系数随深度无限地增长，与实际情况不符。第二十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(4)C法

该法于1964年由日本久保浩一提出。我国陕西省交通科学研究所在分析了若干桩基的实测结果以后，认为地基系数随深度按0.1～0.6次方增大，因此提出采用C法，我国《公桥基规》在推荐m法的同时，也推荐了该法。第二十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五上述四种方法均为按文克尔假定的弹性地基梁法，只是各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果也不同。实用时，可根据土类和桩变位等情况，考虑以何种图式较为适宜。一般说来，m法和C法适用于一般粘性土和砂性土，张氏法对于超固结粘性土、地表有硬层的粘性土和地表密实的砂土等情况较为适用。实际上，地基系数的分布图式远不止上述情况，如日本竹下淳就曾提出不同情况下n应为0、0.5、1.0或2.0，此外尚有人主张n值由设计者自行选定，因此，宜对上述各假定情况提出一个适用的通解。第二十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第二十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

2)非线性弹性地基反力

在非线性弹性地基反力法中，最有代表性的是里法特所提出的m=0.5的港湾研究所方法。根据地基的特性，港研法又分为n=l的久保法和n=0的林一宫岛法。由于非线性微分方程很难用解析法或近似法求解，因此港研法采用由标准桩得到的标准曲线和相似法则来计算实际桩的受力状态。第二十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第二十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

3.复合地基反力法(p—y曲线法)

长桩桩顶受到水平力后，桩附近的土体从地表面开始屈服，由于是进行式破坏，塑性区逐渐向下扩展。复合地基反力法在塑性区采用极限地基反力法，在弹性区采用弹性地基反力法，根据弹性区与塑性区边界上的连续条件求解桩的横向抗力。因塑性区和弹性区的确定需根据土的最终位移来判断，所以广义上也可称为p—y曲线法。第二十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五p—y曲线法计算方法有：在塑性区里按土压力理论假定地基反力相当于被动土压力，在弹性区里假定地基反力呈线性分布；复合地基反力法能如实的把地基的非弹性性质，及由地表面开始的进行性破坏现象反映到桩的计算中去。

但为了能实现计算，必须对地基的性质进行数学模拟化，这里数学模拟化是否合适，及必须利用计算机进行反复收敛计算，这两点是此法所存在的问题。对承受反复荷载，在地基中产生较大应变时(如海洋结构物桩基)，应采用p—y曲线法。第二十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第二十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第三十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五4．弹性理论法该法假定桩埋置于各向同性半无限弹性体中并假定土的弹性系数(杨氏模量Es和泊松比)或为常数或随深度按某种规律变化。计算时将直径为d，长度为L的桩分为若干微段，根据半无限体中承受水平力并发生位移的明特林方程估算微段中心处的桩周土位移，另据细长杆(桩)的挠曲方程求得桩的位移，并用有限差分式表达。通过每一微段处未知位移的足够多的方程来求解。第三十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五波勒斯按此原理获得了桩头位移ρ和转角θ的计算公式.

桩头自由时：桩头嵌固时：第三十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

式中：分别为作用于桩头的横向荷载和力矩；、分别为桩头自由时桩仅受横向荷载和仅受力矩作用时的地面处位移的影响系数；分别为桩头自由时桩仅受横向荷载和仅受力矩作用时的地面处转角的影响系数；桩头嵌固时桩受横向荷载作用时的地面处位移的影响系数。、、、和等因数同桩的柔度因数及长径比L／d的关系有专门的图以供查用，供单桩、群桩计算用。第三十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五据分析，0.1相当于刚性桩，10-4相当于弹性桩，且得知弹性理论法求得的位移或转角的影响系数值一般比地基反力系数法求得的相应值小，如图4-5所示。第三十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

弹性理论法的最大缺点是不能计算得出桩在地面以下位移、转角以及弯矩、土压力等，其次是Es值的确定也比较困难。但是本法能够考虑在横向荷载作用下的桩土间出现的脱离和土的局部屈服等，有助于对桩土性状的进一步探索。在作横向荷载桩的深入详尽的计算之前，用弹性理论法的已有的参数解作初步的分析设计，可由参数解较方便地查得桩尺寸、桩刚度和土的压缩性等因素对横向承载桩性状的影响。第三十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第三节线弹性地基反力法m法解答

线弹性地基反力法基本慨念明确，计算较为简单，且已积累有大量计算用表，当基桩挠曲变形较小时，其假定与实际也比较符合，因此，国内各规范手册等均采用该法。如前所述，根据地基系数随深度变化的假定不同，该法亦可分为多种方法。本节主要介绍目前国内各类规范推荐使用的m法。第三十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五一、基本概念1.单桩、单排桩与多排桩桩基分为单桩、单排桩和多排桩。2．桩的计算宽度当时K=1.0当时

第三十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五3.m值的确定

地基土比例系数m值随着桩在地面处的水平位移增大而减少。一般应通过水平荷载试验确定，它与土的类别及其性质、桩的水平位移大小、荷载作用方式及荷载水平等因素有关。

二、m法解答(一)桩的挠曲微分方程求解

采用m法时，地基系数为：故基桩的挠曲微分方程式为：第三十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五为讨论方便起见，先假定z0=0，则上式变为：

令上式为四阶线性变系数齐次常微分方程，可以用幂级数法、差分法、反力积分法、量纲分析法等求解。第三十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五幂级数法第四十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第四十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五桩端支承于非岩石类土或基岩上(即非嵌岩桩)时：

当桩底支承于非岩石类土中且≥2.5或当桩底支承于基岩且≥3.5时，

第四十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

大量计算表明，当≥4.0时，桩端位移和转角极微，其边界已相当于嵌固，故此时嵌岩桩与非嵌岩桩的边界条件一致，其计算公式可以通用。第四十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(二)无量纲计算法

(三)求桩身最大弯矩位置及最大弯矩一般有以下两种方法：1.各深度z处的M值求出后绘制z—Mz图，直接从图中读出。第四十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2．根据桩身最大弯矩截面其剪力为零，即Qz=0。由式可得：或

应用时可先由查附表9得，再同表可得Km，则有，。第四十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(四)桩顶位移的计算

当桩置于非岩石地基中时，已知桩露出地面长，桩顶自由，其上作用有水平力H及弯矩M，则桩顶位移可应用叠加原理求得，。可得桩顶水平位移x1和转角分别为：第四十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五无量纲化，并整理可得

第四十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(五)配筋计算1．配筋设计

1)计算偏心距增大系数

2)假定一值，由《公路桥规》附录三附表查得系数A、B、C、D，以下式计算配筋率和计算截面所能承受的轴力：

第四十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2．最大裂缝宽度验算《公路桥规》建议，裂缝宽度按下式计算：第四十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五三、地面处抗力不为零(z0≠0)时的解答

第五十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五桩的弹性挠曲方程式

第五十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第五十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五四、桩基础(多排桩)的内力与位移计算

(一)高桩承台

1．计算公式第i根桩桩顶引起的轴向力Pi、横轴向力Qi及弯矩Mi值为：

1)的求解第五十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第五十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2)的计算典型方程如下：联解上式,代人式(4-44)，即可求得各桩顶所受作用力Pi、Qi和Mi。

2．竖直对称多排桩的计算作用于每—桩顶的作用力Pi、Qi、Mi为：

第五十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(二)低桩承台

对于低桩承台，应考虑承台侧面土的水平抗力，与桩和桩侧土共同作用抵抗和平衡横向荷载的作用。第五十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

设承台埋入地面或最大冲刷线的深度为hn，可得作用于承台侧面(宽b1)单位宽度上的水平抗力Ex，及其对x轴的弯矩MEx为：第五十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五若桩底嵌入岩层内，且岩层以上无覆盖层时，可令h=0，hn=0，为承台底面至岩面之间的桩长，并采用

取第五十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五(三)桥台桩基础的计算

对于桥台桩基础，应考虑桥头路堤填土直接作用于露出地面段桩身上的土压力的影响，故计算时应增加路堤填土土压力及其引起的弯矩，即第五十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五根据桩顶与承台的联结条件及桩的变形连续条件可导得：联解以上各式式可求得、，然后可按前述方法计算出作用于各桩顶的Pi、Qi和Mi。第六十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第四节

线弹性地基反力法的幂级数通解

前面给出了我国各现行规范推荐使用的m法解答，即式(4-7)中n=l的情况。然而实测资料表明，式(4-7)中z的指数n一般约在0.1~0.6之间。此外，张氏法、k法、C法等亦多有其解答。为了便于应用，横山幸满(1977年)和王伯惠(1978年)分别给出了横向荷载下基桩挠曲微分方程式的通解，即n为任意数值的解。两种解答虽推导时所利用的数学手段不同，但其结果一致，限于篇幅，下面仅给出王伯惠解答的基本思路及实用结果。第六十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

1．基本微分方程式的通解z0=0，则线弹性地基反力法桩的基本微分方程式变为：设以上方程的解为：若将其展开为麦克一劳林级数，则第六十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五根据地面处桩顶边界条件及材料力学知识可得：第六十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五根据以上两式得:求解并归纳整理即可得微分方程式的解为：第六十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第六十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五A1、B1、C1和D1为无量纲系数。同前述m法解答，分次微分即可求得其他12个无量纲系数A2、B2、…、D4，并得到相应的初参数方程：第六十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2．通解的实用计算方法

由上述王伯惠解答可见，16个无量纲系数均为无穷级数，其表达式复杂，对计算机编程处理极为不便。为此，可将上述16个系数重新归纳整理，可得其便于应用的通式为：第六十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五j=0、1、2、3分别代表A、B、C、D即第六十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五=A2，=B2，=C2，=D2=A3，=B3，=C3，=D3=A4，=B4，=C4，=D4，第六十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第五节

弹性地基反力法的数值分析解

前面介绍了线弹性地基反力法的幂级数通解，该解答理论精度较高，而且已有大量的计算图表供查，但也存在一定的局限性，如果地基分层，比例系数变化或桩身抗弯刚度变化等，均无法直接应用该解答。而数值计算则灵活方便，局限性小，适用于桩侧土地基系数沿桩身按各种规律变化的情况，且计算精度可任意控制，不需查取任何图表。

第七十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五一、纽玛克(Newmark)法

纽玛克法的基本概念把桩划分为若干段，将沿每段桩侧土体的横向抗力变换为一等效的弹簧支承在该段.弹簧的刚度系数则根据该处桩侧土的特性而定，从而所有问题都化为解算支承在一系列弹簧支座上的连续梁.用纽玛克数值计算法求出梁的内力及位移，其具体计算步骤及公式如下：第七十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第七十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五其具体计算步骤及公式如下1．由文克尔假定，将地基视为若干个支承弹簧，弹簧个数N=所划分单元个数。2．求出各弹簧刚度系数Ki。

由于k(z)=m(z+z0)n，则i=1，2，…，N-1第七十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五3．假定桩尖横向位移为1(嵌岩桩可假定桩尖剪力为1)，求出桩顶弯矩转角，剪力及各弹簧支承点位移。4．假定桩尖处转角为1，求出桩顶弯矩，转角，剪力及各弹簧支承点位移。

5．根据桩顶边界条件建立方程组(二元线性代数方程)。桩顶自由时(单排桩)：桩顶弹性嵌固时(多排桩)：求出相应的比例系数和第七十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五6．计算各支承点实际位移xi，剪力Vi及弯矩Mi。

上述各式中i自N，N-1，…，0。其中各式的计算按以下顺序进行（j=1,2）。

，，，，，，第七十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五二、定点系数法亦称为D法，其计算公式及步骤如下：

l．各单元相应的柔度系数：2．计算支座j处作用一单位力矩时，在i支座处产生的角变位：3．假定桩顶(地面处)作用有单位水平力(H=1)或单位力矩(M=1)时，按定点法求得在单桩1支点处所产生的内力矩：第七十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五4.计算其余点2，3，4，…，N-1各点处的内力矩:5.根据叠加原理，计算外力H和M作用下桩身各支点弯矩：6.单桩各支点的地基反力：式中：——简支梁支座反力。第七十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

三、有限差分法

有限差分法的基本原理是将桩身(假定桩身为等截面，当不是等截面时推导稍作修改)划分为若干单元。对各个单元的划分点以差分式近似地代替桩身弹性曲线微分方程中的导数式。对于桩身所有划分点将曲线微分方程转变成一组代数差分方程，再联解代数差分方程即可得所要求的解。

假定为一连续函数，各个单元的长度为a，则在i点处：第七十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第七十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五一阶中心差分式为

一阶向后差分式

第八十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五二阶中心差分为

当a很小时

第八十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五依次类推，可得四阶中心差分为

将上述各差分式代入式可得基桩基本微分方程式的差分方程为

第八十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

将上式用于桩身第1、2、3、…、N、N+1点，即可得出N+1个方程。桩身共划分为N个单元，N+1个点，再加上桩顶以上和桩底以下各两个虚拟点，则需求解N+5个未知位移，因此还需根据桩顶和桩底处的边界条件得出另外四个附加方程。第八十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

1．桩顶处

1)当桩顶无约束时桩顶处的剪力：即

桩顶处的力矩：即

2)当桩顶有约束时桩顶处转角为：第八十四页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2.桩底处对于较长的摩擦桩和柱桩，桩底弯矩很小可忽略不计，即Mh=0，故有即对于任何长度的摩擦桩和较长的柱桩，可认为桩底处剪力为零，则即即第八十五页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五

因此当桩顶无约束时，可得矩阵式：即桩身各点横向侧移的矩阵形式为：若在上述方法中略去桩顶和桩底处的剪力方程，则可消除掉-2点和N+3点处的未知位移，而只需求解N+3个方程，所得解答出入不会太大。求出桩身各点侧移后，即可根据下面公式和前述差分公式用各点的位移求出桩身任一深度处的转角弯矩Mi和剪力Qi即、第八十六页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五若桩身划分的单元数越多，计算的精度就越高，但所需求解的方程也就越多，通常宜利用计算机求解，其矩阵形式为：各结点处的转角：第八十七页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五各结点处截面内的剪力其中、M、Q为列阵；T2、T3、T4为矩阵。各矩阵的具体形式可参见有关专著，此不赘述。各结点处截面内的弯矩：第八十八页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五四、有限单元法

前面介绍的有限差分法还存在一定的缺点，比如考虑一般边界条件比较麻烦；改正负挠度困难，即当基础趋于与地基分离时难以消除文克尔弹簧等，有限单元法可以消除这些缺点，它的基本原理是将连续的桩身划分为具有若干单元的离散体，根据力的平衡和位移的协调建立方程，通过电子计算机进行求解。有限单元法属于物理上的近似(有限差分属于数学上的近似).第八十九页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五有限单元划分越多，所得结果也越精确。该法的主要优点之一是可以不求解桩身弹性曲线微分方程，只要用简单的力学概念，将桩身侧向位移引起的侧向土抗力视为位于各单元结点处的反力，该反力等于结点处桩身的侧向位移值与该处土的地基系数(考虑土的计算宽度后)之乘积。有限单元法适用于地基系数随深度变化的各种图式，可以用于土抗力与桩身侧移呈非线性的情况。第九十页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五1．有限单元法的基本公式

设Pi为桩身某结点i处的外力(包括力和力矩)，Fi为结点i处桩身的内力(包括土抗力和弯矩)。桩身各结点处的外力和内力分别用矩阵P和矩阵F来表示，则它们之间的关系可用下式表示：

P=AF

(4-99)

A称为静力矩阵，同样，用矩阵e表示桩身由于内力引起该系列结点处的变位(称内部变位)；以X表示该系列结点在外力作用下轴线的变位，两者用另一矩阵B联系起来，即

e=BX

(4-100)B称为位移矩阵。可以证明矩阵B为矩阵A的转置(B=AT)。第九十一页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五若以内部位移来描述内力，则可写成：F=Se

(4-101)

S称为刚度矩阵。位移矩阵和刚度矩阵的建立是矩阵分析法的基本步骤。将式(4-100)代入式(4-101)及利用B=AT可得：

F=SATX

(4-102)将式(4-102)代入式(4-99)得：

P=ASATX

(4-103)从此式可看出，将方阵ASAT(为P×P矩阵)求逆，即可解出距阵X，即X=[ASAT]-1P

(4-104)求出X后，代入式(4-102)，可得到所要求的桩结点内力。第九十二页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五第九十三页，共一百零七页，编辑于2023年，星期五2．A矩阵的建立如图所示，设桩长为h，划分为5个相等长度的单元。以P1、P2、…、P6代表作用在各结点处的力矩，X1、X2、…、X6代表与P1、P2、…、P6相应各结点对桩原来轴线的转