2022年浙江省舟山市定海第一高级中学高三数学文联考试题含解析

2022年浙江省舟山市定海第一高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，则与垂直的单位向量的坐标是（ ）A、或

B、或

C、

D、参考答案：B略2.复数(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B，选B.3.如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的平均值和方差分别为（

）A．和S2

B.3+5和9S2

C.3+5和S2

D.3+5和9S2+30S+25参考答案：B略4.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，，BC边上的高为h，则h的最大值为（

）A. B.1 C. D.2参考答案：C【分析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知向量在向量方向上的投影为2，且，则（

）A．-2

B．-1

C.1

D．2参考答案：D6.向量、的夹角为，且，，则等于(

)A．1 B． C．2 D．4参考答案：C略7.已知集合，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B8.集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.因为集合,,所以.选B.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.9.一个体积为12的正三棱柱的三视图，如图所示，则此正三棱柱的侧视图面积为（）A．12 B．8 C．8 D．6参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为2，∴底面三角形的边长为=4，∴三棱柱的体积为V三棱柱=×4×2h=12，三棱柱的高为h=3；∴侧视图的面积为S侧视图=2×3=6．故选：D．10.函数的零点所在的区间是

（

）A.（-2,-1）

B.（-1,0）

C.（1,2）

D.（0,1）参考答案：D因为，，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间在，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且，，过点D作，垂足为E，若，则四边形ABCD的面积为_______．参考答案：【分析】本题首先可以作，然后通过计算出的长，再然后通过三角形相似求出的长，最后将四边形拆成两个三角形并利用三角形面积公式即可得出结果。【详解】如图所示，作，设，，，则，因为，所以，即，因为，，,所以，，所以。【点睛】本题考查四边形面积的求法以及向量的数量积的相关性质，在计算四边形的面积的时候可以将四边形分为两个三角形进行求解，向量的数量积公式为，考查计算能力，是中档题。12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，当角B取最大值时，△ABC的周长为，则

．参考答案：3△ABC中，sinB=cos（B+C）sinC，∴b=cos（B+C）?c，即cosA=﹣＜0，∴A为钝角，∴cosAcosC≠0；由sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=﹣2cosAsinC，可得tanA=﹣3tanC，且tanC＞0，=当且仅当tanC=时取等号；∴B取得最大值时，c=b=1，此时C=B=．∴A=，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a=b，∵三角形的周长为a+b+c=b+b+b=2．解得：b=，可得：a=b=3．故答案为：3

13.若是偶函数，则_________.

参考答案：略14.（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：①函数f（x）=2x为R上的“1高调函数”；②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②③对于①，函数f（x+l）=2x+l，f（x）=2x，要使f（x+l）≥f（x），需要2x+l≥2x恒成立，只需l≥0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，∴函数f（x）=2x是R上的1（l≥0）高调函数，故①正确；对于②，∵sin2（x+π）≥sin2x，∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确；对于③，∵如果定义域为[1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，只有[﹣1，1]上至少需要加2，实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确，综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③15.在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=

．参考答案：【考点】类比推理．【分析】根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：16.已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是▲。参考答案：【知识点】函数的单调性

B3若函数在是单调减函数，则需满足：，若函数在是单调增函数则需满足：故答案为.【思路点拨】分段函数在整个定义域内单调需满足每段上单调，且根据函数图象的特征知，从左向右看图象应一直上升或下降，从而函数在端点处的函数值有一定大小关系.17.将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则

.参考答案：将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（I）当函数在点处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求证：

参考答案：（I）5；（Ⅱ）[2，+∞）；（Ⅲ）见解析

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式（Ⅰ）∵，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1-m，∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，∴1-m=-4，∴m=5；

（Ⅱ）依题意不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），则g′（x）=，∴x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=2，∴m≥2即实数m的取值范围是[2，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知x≥0时，成立，即有，令,则有，即，所以【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的值；（Ⅱ）不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可．（Ⅲ）把不等式转化为，再结合裂项求和法即可。

19.(本题满分12分)国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数的图像）．每队有３人“成功”获一等奖，２人“成功”获二等奖，１人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（）求某队员投掷一次“成功”的概率；（）设为某队获奖等次，求随机变量的分布列及其期望．参考答案：（）由题意知：，………….2分记某队员投掷一次“成功”事件为A，则……….5分（）因为为某队获奖等次，则取值为1、2、3、4.，，，…….9分即分布列为：1234…………10分

所以，的期望………12分20.已知函数.（I）当时，解不等式；（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）由得，，或，或解得：原不等式的解集为……………4分（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则…………6分解得：或…………8分所以实数的取值范围为.………………10分21.设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2时，记向量．若||≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．（1）设函数f（x）=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；（2）已知函数g（x）=lnx的反函数为h（x），函数F（x）=[h（x）]a﹣x，（a≠0），点C（x1，F（x1））、D（x2，F（x2）），记直线CD的斜率为μ，若x1﹣x2＜0，问：是否存在x0∈（x1，x2），使F′（x0）＞μ成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3W：二次函数的性质．【分析】（1）由已知中函数f（x）=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，结合函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准k下线性近似的定义，可得k的取值范围；（2）存在ln成立，且x0的取值范围为（ln，x2），结合零点存在定理，可证得结论．【解答】解：（1）由x=λx1+（1﹣λ）x2与．，得N和M的横坐标相同．对于区间[0，1]上的函数f（x）=x2，A（0，0），B（1，1），则有||=x﹣x2=﹣（x﹣）2﹣，∴||∈[0，]，再由||≤k恒成立，可得k≥．故k的取值范围为[，+∞）；（2）由题意知，μ=﹣1，令G（x）=F′（x）﹣μ=aeax﹣．则G（x1）=﹣，G（x2）=﹣，令φ（t）=﹣t+et﹣1．则φ′（t）=﹣1+et，当t＜0时，φ′（t）＜0，φ（t）单调递减；当t＞0时，φ′（t）＞0，φ（t）单调递增．故当t≠0时，φ（t）＞φ（0）=0，即﹣t+et﹣1＞0，又∵x1﹣x2＜0，从而G（x1）＜0，G（x2）＜0．由零点存在性定理可得：存在c∈（x1，x2），使得G（c）=0，又G′（x）=aeax＞0，所以G（x）单调递增，故存在唯一的c，使得G（c）=0．由G（c）=0得：c=ln．故当且仅当x0∈（ln，x2），使F′（x0）＞μ综上所述，存在ln成立，且x0的取值范围为（ln，x2）【点评】本题考查的知识点是利用函数研究函数的单调性，函数的零点存在定理，存在性问题，向量法表述三点共线的充要条件，综合性强，转化困难，属于难题．22.随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:编号x12345年份20142015201620172018数量y（单位：辆）3495124181216

（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后