毕业论文-探讨导数在函数单调性中的应用

本科生毕业论文探讨导数在函数单调性中的应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学班级：2021级数学与应用数学(1)班学号：202107110129姓名：田智梅指导教师：戴晓娟完成时间：2021年5月20日探讨导数在函数单调性中的应用摘要函数是贯穿于中学数学的一条主线，它不仅是研究导数的一个重要载体，而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法，又是初等数学与高等数学的衔接局部．其中函数的单调性是函数的重要性质之一，也是研究函数图象增、减性态的主要方法．应用导数求解函数的单调性具有很多优势，它在函数单调性中的应用极好的解决了用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性运算量大，过程繁琐，求解中需要很多变形技巧等缺点．本论文通过四章内容的书写，应用了数形结合、导数法，定义法等数学思想方法，通过归纳、整理清晰地呈现了导数求解函数单调性的优势．本篇论文主要涉及四章内容，第一章介绍了函数及其单调性的相关定义及概念，第二章介绍了导数的根底知识，第三章主要介绍了导数在函数单调性以及极值中的应用，主要以例题的形式进行归纳整理，第四章简单介绍了应用导数求解函数单调性需要注意的几个方面，其中论文核心内容为第三章导数在函数单调性以及极值中的应用．关键词函数导数函数单调性证明AbstractFunctionisathreadthatrunsthroughthemiddleschoolmathematics,itisnotonlyanimportantcarrierofderivative,anditisrelatesmanythoughttothehighschoolmathematicsmethodofmathematics,itistheconnectionpartofelementarymathematicsandhighermathematics．Themonotonicityofthefunctionisoneoftheimportantpropertiesoffunctions,themainmethodofimageenhancement,butalsoafunctionreductionbehavior．Monotonicityderivationfunctionhasmanyadvantages,Itisexcellentinfunctioninthesolutionofthejudgment,withthemonotonicityofthefunctiontoprovemonotonicitycomputationfunction,complicatedprocessmanydefectssuchasdeformation,solvingskillsneeds．Thisthesisbyfourchapterswrittenapplication,thecombinationofnumberandshape,derivativemethod,thedefinitionmethodofmathematicalthoughtandmethod,throughinduction,collationclearlypresentedderivationfunctionadvantage．Thisthesismainlyconsistsoffourchapters,thefirstchapterintroducesthefunctionanditsmonotonicity,thesecondchapteristhebasicknowledgeofderivative,thethirdchapteristheapplicationofderivativeinthefunctionofthemaincontentsofthethirdchapter,applicationofderivativefunctionmonotonicity．Keywordsfunctionderivativeoffunctionmonotonicityproof目录1引言 12函数及其单调性 22.1函数的定义 22.2函数的性质 2函数的单调性 2函数的极值 33导数的根底知识 63.1导数的定义 6函数的平均变化率 63.1.2导数的定义 63.2导函数 83.3导数的几何意义 83.4几种常见函数的导数 104导数在函数单调性以及极值中的应用 134.1导数与函数单调性的关系 134.1.1探讨函数的单调性与其导数正负的关系 134.1.2运用导数判断，求证函数的单调性及单调区间 144.2导数与函数极值的关系 24极值判别 244.3应用导数求函数单调性常见的错误及分析 26求函数单调区间无视定义域而致错 26导数为零的点不一定是极值点 265结论 27谢辞 29参考文献 301引言函数是贯穿于中学数学的一条主线[1]，它不仅是研究导数的一个重要载体，而且涉及高中数学诸多的数学思想和方法，又是初等数学与高等数学的衔接局部．为了描写现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，而导数是微积分的核心概念之一．恩格斯说过：＂在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的创造那样被看作是人类精神的最高胜利了，如果在某一个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一功绩，那就是这里＂．导数是课改以后新教材中的新增内容之一，在高中教材中起着承上启下的作用：承上是它的参加为高中数学注入了新的活力，使中学数学解题方法有了新的突破，它的应用潜移默化的改善了学习者的思维习惯；启下是它的参加完善了高中阶段教学内容，使高中学生具有一般人才必备的根底知识，为接下来进一步学习高等数学和其他自然科学作了必要的铺垫，同时在中学数学与大学数学之间起着衔接作用．本篇论文从高中知识入手，从易到难，在题目中突出导数的作用，应用导数解题探究，突出导数在新课程以及在求函数单调性中具有的一切优势和作用．导数〔导函数的简称〕是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想．新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具．函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法．近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题．本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作了初步探究．本论文主要探究了导数在函数的单调性及极值中的应用，由于利用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性往往运算量很大，求解过程中需要很多变形技巧，一般较为复杂，对于初学者而言利用函数单调性的定义判断、证明函数的单调性题目时往往半途而废，失分率较高，这对于大局部初学者来说很难攻克[2]，但是导数在函数单调性中的应用却极好的解决了上面的问题，在求解题目时，它具有运算量小，简便快捷的优势[3]，因此导数成了分析和解决这类问题的有效工具，并且人们将它广泛应用于函数单调性的判断、证明以及曲线切线的求解、函数的极值和最值等多个方面．2函数及其单调性2.1函数的定义定义1设,均是非空的数集，假设按照某种确定的对应关系，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，这样的对应关系:为集合到集合的一个函数，记作,,其中的取值范围称为函数的定义域，是函数值，函数值的集合｛｝称为函数的值域．由此可知函数是特殊的映射．2.2函数的性质函数的性质有单调性、奇偶性、周期性、有界性、凹凸性、极大值和极小值等，本篇论文主要讨论函数的单调性以及函数的极值．2.2.定义2一般地，设函数的定义域为，假设对于定义域内某一区间上任意两个自变量和，当时，恒有()()，那么就说在此区间上是增函数．定义3一般地，设函数的定义域为，假设对于定义域内某一区间上任意两个自变量和，当时，恒有()()，那么就说在此区间上是减函数．定义4假设在某个区间上是增〔减〕函数，那么就说函数在这个区间具有单调性，这个区间叫做函数的单调区间．下面通过简单的几个例题简单的求函数的单调区间：例1求以下函数的单调区间.(1)；(2)．解(1)函数的单调递增区间为：函数的单调递减区间为：(2)函数的单调递增区间为：函数的单调递减区间为：这是函数的单调性定义的简单应用，后面将应用于大量的例题中．2.2.定义5函数在点附近的所有点都有,那么称是函数的一个极大值，记作：;定义6函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有,那么称是函数的一个极小值，记作：;极大值与极小值统称为极值，称为极值点．例2函数是函数的一个极值点，其中(1)求与的关系表达式；(2)求的单调区间；(3)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围．解析利用导数判断函数的单调性其主要题型以函数单调区间的求解、单调性的证明，求参变量的取值范围为主．而熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题的突破口．这类题目的解决，关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据导数法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论．解(1)由是的一个极值点知即所以(2)由(1)可知又由知当变化时，与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上表可知：在区间和上递减；在区间在区间上递增.(3)由条件得即即当时有①设此函数开口向上,由题意知①式恒成立所以即解得又所以即的取值范围为.通过例题可以看出对于这局部知识的学习，可以认识到新课程中增加了导数内容的作用，在学习中要明确导数作为一种工具在解答函数的单调性，极值等方面起着不可替代的作用，需要抓住导数根底知识学习．3导数的根底知识3.1导数的定义3.1.定义7对于函数有自变量，假设自变量在处的增量为，那么函数值也相应的有增量(＋)-()其比值叫做函数从到+之间的平均变化率，即假设那么平均变化率可表示为:称为函数从．3.1.定义8如果函数处函数值的增量与自变量的增量的比值，当有极限，就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数〔或变化率〕，记作,即由定义可知处连续是可导的必要条件．且由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：(1)求函数的改变量(2)求平均变化率(3)取极限，得导数＝例3用定义分别求函数在处的导数．解析解有关这类题目时必须熟记导数的定义和解题的一般方法，按三步走的步骤就能得到准确结果．解(1)因为所以所以因此(2)因为,所以所以因此3.2导函数定义9如果函数开区间内的每一点都可导，就说开区间内可导．这时，对于开区间内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间内构成一个新的函数，我们把这一个新函数叫做开区间内的导函数，记作：或〔需指明自变量时记作：〕即==3.3导数的几何意义定义10假设函数处可导，那么它在该点的导数等于曲线点处切线的斜率．假设处可导，那么曲线处的切线方程为：导数的几何意义主要用于求解函数的切线问题，求解过程中主要考前须知是熟记导数的几何意义，以到达准确．下面我们在例题中看看导数的几何意义的具体用法：例4曲线．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．解析解这类题目必须审清题意，注意“在某一点〞和“过某一点〞的区别，防止没有审清题意而犯错误．解(1)因为点在曲线上所以所以在点处的切线的斜率所以曲线在点处的切线方程为即(2)设曲线与过点的切线相切与点那么切线的斜率所以切线方程为即因为点在切线上所以即所以所以所以解得故所求的切线方程为或(3)设切点为，那么切线斜率所以切点为，所以切线方程为和即和介绍了导数的定义和几何意义后，下面我们利用导数的定义证明本论文中常用的几个函数的导数．其他函数的导数只给出来不作详细的证明．3.4几种常见函数的导数1．假设(为常数)，那么证明因为0所以故表示函数图像上每一点处的切线的斜率都是0．2．假设，那么在这里只对的情况进行证明(1)求函数的导数〔证明〕证明因为所以(2)求函数的导数〔证明〕证明因为1所以(3)求函数的导数〔证明〕证明因为所以表示函数图像上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬间变化率来看，说明：当0时，随着的增加，减少的越来越慢；当0时，随着的增加，反之增加的越来越快．3．假设；4．假设；5．假设；6．假设；7．假设(且)；8．假设．学习了导数的根底知识之后，如何将导数的数学思想方法渗透到学生的解题过程中去，并使他们改变一贯利用函数的定义解题的思维，是数学老师的主要任务．数学思想方法是数学新课程的重要目的，是开展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的根底，也是一个人数学素养的重要组成局部．新课改后，导数作为高考的热点考察内容之一，要求学生不仅掌握导数的概念，导数的几何意义等根底知识，还要学会导数在函数单调性和极值，曲线的切线等问题的应用.下一章节的内容本论文将详细的探讨导数在函数的单调性以及极值中的应用.主要用大量的实例通过定义法和导数法的比照，凸显出导数法在求解相关问题中的优越性.4导数在函数单调性以及极值中的应用4.1导数与函数单调性的关系4.1.yO例5yOy=xyy=xyOOy4.1.1-14图4.1.1-1函数〔〕,通过观察其图像发现在定义域上是单调递增的，其导数．图-2函数，通过观察图像发现其函数在定义域上不是纯单调函数，当0时，函数是单调递减的，此时导数0；当0时，函数是单调递增的，此时导数．图-3函数，过观察其函数图像，发现函数在定义域上均是单调递减的，且当0时，；当0时，通过上面的观察与探讨发现函数的单调性与其导数的符号有如下关系：在某个确定的区间内如果那么函数在这个区间内单调递增如果那么函数在这个区间内单调递减．如此得到如下的定理：假设在上连续，在内可导，那么在单调递增〔减〕的充要条件为：在内〔〕．4.1.运用导数判断，求证函数的单调性与导数的符号关系判断函数的单调性，是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分表达了数形结合的数学思想，也充分说明了导数是研究函数单调性的一个必不可缺的，重要的工具．例6判断以下函数的单调性，并求出单调区间．(1)；(2).解析(1)、(2)两道题目我们可以应用函数的单调性的定义来求解，也可以应用导数法来求解．在这里我们应用导数与函数单调性的关系求解．首先求解，然后由的符号判断函数的单调性，确定单调区间．解(1)因为所以当0时有0得1即1时，函数单调递增；当0时有0得1即1时,函数单调递减．-1-2函数的图像如图4.1.2-1所示．(2)因为所以所以所以所以0故函数内单调递减．函数的图像为4.1.2-利用导数分析函数的增、减形态是一种重要手段，而在分析函数的图像、判断函数的单调性．求解函数的极值等方面，利用导数可使问题简单化．对于一些高次函数中的问题，用定义解决运算量大、繁琐、困难甚至无法做到，但是导数的应用那么会取得预想的效果．例7讨论函数的单调性解析求解此题有两种方法，一是应用函数单调性定义，二是导数法；而求解的关键在于找到参数的分界点，相比之下导数法更加地简捷一些．解法一〔定义法〕的定义域为因为所以是奇函数，那么在全体实数上关于原点对称设，且,那么当时恒有那么故在上是减函数．当时恒有那么，故在上是增函数．又因为是奇函数在上具有相同的增减性所以在和上为增函数，在，上是减函数．解法二〔导数法〕因为的定义域为又所以是奇函数，它在图像在整个定义域上具有对称性，故先讨论函数在上的单调性求导数得令即解得因为又即所以即在上是增函数．令得故在上是减函数．因为是奇函数所以在，上为增函数在，上是减函数．通过对解题过程的比照，可以看出：定义法具有一定的开放性，只有扣紧单调数的定义，才能找到此题的突破口；而应用导数只需解不等式就可以了．如此我们得到一个结论，并且它会广泛应用于求解函数单调性这类题目及其它的函数题目之中，那就是导数法是一个有力的工具，帮我们解决一些较难的题目．例8判断函数的单调性，并求出单调区间．解析此题同样可用两种方法解决，运用单调性的定义和导数法．解法一〔导数法〕因为的定义域是所以因为又所以恒大于等于0因此函数在单调增函数解法二〔定义法〕因为的定义域是且所以是奇函数由于的图像在全体实数上关于原点对称，故先讨论函数在上的单调性设、，且那么因为所以又因为、所以所以即因此在上是单调增函数又因为是奇函数，故函数在上与在上的单调性相同所以在整个定义域上是单调增函数通过对此题解题过程中两种解法的比照，我们发现应用导数法求解简便富有程序化，而定义法在求解过程中，计算量大，需要变形技巧，更需要严密的逻辑推理，因此导数法的应用简单新颖．例9求函数的单调区间．解因为，令得又所以当时，;当时，因此的单调增区间是；单调减区间是．显然此函数在上不具备单调性，假设利用单调性的定义来解，需找出恰当的临界值〔点〕，但找这个临界值对大局部初学者还是比拟困难．如果利用导数，那么简单得多．例10证明函数在上是减函数．解法一〔定义法〕设那么在上由均值不等式得因为,所以因此故函数在上是减函数．解法二〔导数法〕因为当时，,所以所以1-即所以在上是减函数,由此可见用导数法比用定义法要简单得多.例11求实数，使得函数在上具有单调性．解为使函数在上具有单调性，必须或即或恒成立因为时，故当时，恒成立，此时，函数在上是增函数；当时，恒成立，此时，函数在上是减函数．例12求函数的值域．解令那么且因为又因为所以因此在上是减函数.所以当时，；当时，．故所求函数的值域为．通过以上例题可以看出，利用导数解决函数的单调性问题，简单快捷，便于掌握，且容易操作，利用导数判断函数的单调性或求单调区间的一般步骤是：(1)确定定义域；(2)求；(3)求方程的根；(4)由的根将分成假设干个区间，分区间判断符号；(5)得出结论．导数这一灵活有效地工具，使很多问题变得简单，并且有广泛的应用领域，例如求导还可解决一些实际应用问题．因此，熟练掌握和深刻理解利用导数解题的方法是非常必要的．当然求导的方法也必须和以前的各种方法密切配合，才能真正表达数学解法的整体性．导数在函数单调性中的应用就以上局部的探讨还不够完善，在以后的学习中，我会继续学习和探讨，以下本论文也简单介绍了导数与函数极值的关系以及在函数在极值中的应用.4.2导数与函数极值的关系4.2.函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征．下面我们通过两个定理的证明来讨论极值的充分条件：定理〔极值的第一充分条件〕设在点连续，在某领域内可导．(1)假设当时，当时，，那么在点取得极小值．(2)假设当时，当时，，那么在点取得极大值．证明下面对(2)进行证明，第(1)题可以类似的证明．由定理的条件及单调函数在某个区间上递增(减)的充要条件可知在内递增，在内递减，又由在处连续，故对任意，恒有即在取得极大值．假设是二阶可导函数，那么有如下判别极值定理．定理4.2.2〔极值的第二充分条件〕设在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且．(1)假设，那么在点取得极小值．(2)假设，那么在点取得极大值．例13求函数的极值(图像如右图所示)解因为令求得那么随着的变化，和的变化如下表200递增极大值递减极小值递增所以函数的极大值为，极小值为.这是通过第一充分条件所求的极值，也可以用第二充分条件求解，这里不再求解．应用导数求解函数单调性中还有一些初学者所忽略的问题，下面作一简单归纳.4.3应用导数求函数单调性常见的错误及分析4.3.求函数单调区间必须在清楚函数的定义域的前提下作答，否那么会因为无视定义域而致错得不到正解．例14求函数的单调区间．错解因为令=0解得或所以函数的单调递增区间为所以函数的单调递减区间为．错因求函数的单调区间应首先考虑函数的定义域,错解忽略了这一环节．正解因为函数的定义域为又因为，所以函数的单调递增区间为；函数的单调递减区间为．4.3.导数为零的点不一定是极值点．以下有这样的实例：例15当函数为常值函数，即假设〔为常数〕，那么．证明因为0所以表示函数图像上每一点处的切线的斜率都是0．这是本论文在用导数的定义在前面所证明过的.这个函数的导数为零但是这个函数却没有增减性，即没有极值点．例16函数为,求它的导数.证明因为利用前面所提到的几种常见函数的导数可直接求得由于这个函数的定义域为，它的图像在整个定义域上是单调递增的，当时导数为0，但这个零点并不是它的极值点.在这里我们对另一个知识点驻点给以说明(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，那么该点为极值点，否那么为一般的驻点，如中，的左右导数符号为正，该点为一般驻点．)85结论从以上可以看出，数学是一门逻辑性相当强的学科，对学生的思维逻辑能力有很高的要求，而掌握正确的学习方法是学习数学的关键所在．导数是研究函数的工具，参加新教材之后，给函数问题注入了新的生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了初学者对函数问题的学习和思考空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，初学者需掌握题型命制，它往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，切线，方程的根，参数的范围等问题，难度很大，综合性