离散数学 第章 图的基本概念

计算机数学基础(上)

第2编

图论第三章图的基本概念3.1图的概念与性质

一、图的定义与表示1。图由结点的集合V和边的集合E组成的有序对<V,E>称为图G。2。有向图、无向图每条边都是有向边的图称为有向图，每条边都是无向边的图称为无向图，否则称为混合图。3。孤立点、零图不与其它结点相关联的结点称为孤立点，全部由孤立点构成的图叫做零图。4。边的重数具有相同始点和终点的边称为平行边，平行边的条数称为边的重数。5。n阶图具有n个结点的图称为n阶图，具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图6。结点的度数图中与某结点v相关联的边数(自回路算两条边)，称为该结点的度数，记作deg(v)。其中以v为始点的边数称为出度deg+(v)，以v为终点的边数成为入度deg-(v)因此有图G中结点的最大、最小度数记做Δ(G)、δ(G)二、图的基本概念与握手定理1。握手定理图G中所有结点的度数之和等于边数的二倍。[推论1]在任何图中，度数为奇数的结点数必为偶数。[推论2]在有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和。例题1：已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是

。解：例题2：设图G=<V,E>，则下列结论成立的是

。A)B)C)D)例题3：设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点,2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3，求G中有多少个结点。试作一个满足该条件的简单无向图。解:设G中有x个结点，则3度的结点有x-7。根据握手定理有，解得,故G中有9个结点。满足条件的图如下：2。简单图不含平行边和环(自回路)的图称为简单图。在简单图中，任何结点的度数都小于等于n-1。这是判断一个度数序列能否构成简单图的主要依据。3。二部图若将无向图G的结点集分为两部分，而每一部分中任何两个结点之间都没有边相连，则G称为二部图。4。完全图每一对结点之间都有边相连的无向简单图称为无向完全图，每一对结点之间都有方向相反的两条边相连的有向简单图称为有向完全图。具有n个结点的无向完全图Kn的边数为：例题4：设图G是有n个结点的无向完全图，则G的边数为

。A)n(n-1)B)n(n+1)C)D)C5。正则图若无向简单图G中每个结点的度数都为k，则G称为k-正则图。6。赋权图若图G中的每一条边都有一个表示长度的实数，则图G称为赋权图或网络。图G为无向图称为无向赋权图，图G为有向图称为有向赋权图。7。补图由图G中的所有结点和构成完全图需添加的边所组成的图称为G的补图，记作。例题5：已知图的结点集以及图G和图D的边集合分别为：试作图G和图D，写出各结点的度数，回答图G、图D是简单图还是多重图？

解：adad

bcbc

图G图D图G：图D：图G不是简紧单无租向图肚，图D是简应单有信向图蔽。8、子惩图1。已筹知图G=邀<V辈,E粉>，如果则G’系=<娃V’瓜,E辫’>称为G的子激图。2。如兰果识，则感称G’为G的真桑子图排。3。如辜果雷，则注称G’为G的生仁成子励图。三、邻图的腐同构如果体图G中的勉结点揪集V与图G’中的宰结点穿集V’具有一一骆对应立的关芝系，洞并且眼对应侦的边剑都具偷有相玻同的绩重数唱，则称G与G’同构宰，记涝作辆。因此踏，两悬图同父构必末须满辜足下尼列条悔件：⑴结点筑数相责同，⑵边数杏相同征，⑶度数竹相同惑的结届点数末相同释。上述斗条件慌是两抛图同固构的纪必要展条件秋，但营不是对充分算条件，塘也就疮是说幻玉，两虫个图抓即使郑满足丈上述辣条件线也不孝一定饰同构。宝如果命把其杯中一体个图泻中的硬结点理重新丑排列摩，边肿跟着怀结点移为动，庸并且搜可以邀任意聪弯曲罢，能悲够与葵另一汇图完毛全重合稻，那浇么这洗两个五图是禁同构丽的。四、那通路牌与回晕路1。通菠路、义回路在G=涉<V倡,E遇>中，浆如果慌从结伯点v0依次单经过至边和鼻结点可嚷以到僚达vn，则称v0与vn间存搁在通祥路，厘或v0与vn连通，府记作v0～vn，如v0＝vn则称筒为回走路。柱通路溉经过的边昏数称瞎为通茶路的您的长梳度。2。简某单通苦路、算简单累回路没有储重复本边的筒通路户称为通简单驱通路企，没阅有重射复边的回苦路称绞为简献单回骗路。3。基崖本通专路、牵基本惊回路没有盟重复花结点季的通斩路称青为基有本通皇路，妻没有怎重复结点贼的回压路称酸为基壁本回团路。例题6：设G如图赛，已广知通个路⑴⑵⑶⑷试回惧答它弟们各蜂是简乘单通骡路、迫简单锯回路孟、基右本通阿路和基袖本回方路。解：⑴是简波单通援路，西基本丛通路沙，⑵是简猜单回次路，跨但不是基佳本回袋路，⑶是简傻单回陶路，不基本假回路嗽，⑷是简率单通路，放但不悦是基删本通喊路。v1v2穴v括5v3铁v4一、促连通锡性若在社无向寻图G中，王任何絮两个楚不同致的结南点都赌是连谅通的则称G是连导通图窗。无向有图中盯结点争的连关通关办系具代有自笑反性贤、对薪称性玻和传递锡性，孤所以扯结点顷的连励通关络系是胁等价堵关系沈。若图G不是同连通钱图，好但如逼果把G分成鲁几个溜部分步，每一个响部分纠都是界连通吨的，介则每俱一个靠部分护称为录一个塌连通晒子图，烫每一冻个连扬通子简图G’称为G的一范个连烦通分办支。G中相矮互连纠通的碍结点颠一定沿在同溉一连餐通分鼻支中百。无向伙图G的连尊通分怀支数臭记作W(管G)。3.华2图的葱连通耐性例如G：G不是犯连通们图，库但可剧以划均分为遇三个疾连通傅分支哭。是一社个连丽通分奖支，泊是一灿个连通分衣支，台是一妄个连嫂通分拥支。称为V的一婶个划价分。二、挎有向这连通狱图1。强纯连通赚图、书单侧拣连通克图、孙弱连腿通图在有攻向简常单图D中，(1司)若任强何两称个结涝点间挖都可奸以到腿达则领称为淹强连捡通图(2赵)若任第何两笼个结撒点间钩，总杏有一向个结赢点可快以到祥达另良一个结摘点，糟则称踪蝶为单任侧连盼通图袋，(3刚)若在弓不考霸虑边寄的方阿向的当情况煮下图钞是连货通的危，则走称为片弱连伴通图债。连通呈图举虎例强连对通图纲单维侧连矛通图初弱连聚通图2。两喘个定猪理[定理6]一个平有向棋图是疮强连魂通的老充分稻必要召条件态是存宵在一拿条至拣少经钥过每喝个结丢点一志次的拘回路梯。[定理7]在有夜向图央中，巷它的援每个赠结点足必位坟于且胞仅位扎于一店个强善分图消中。例题7：设V＝{a,b,c,d},与V能构垮成强找连通凉图的仆边集E＝(振)(A茎)铁{<a,b>,做<a,c>,扮<d,a>,捕<b,d>,皱<c,d>}(B份)清{<a,d>,劈燕<b,a>,棵<b,c>,卧<b,d>,堪<d,c>}(C宵)概{<a,c>,岭<b,a>,燥<b,c>,屈<d,a>,案<d,c>}(D怀)愁{<a,d>,艘<b,a>,弓<b,d>,拢<c,d>,冤<d,c>}三、生连通塑度1。点写割集在无营向连黄通图G=类<V创,E怠>中，风若删慎除结察点集V’绍(包括所有灭与V’中的围结点慨关联盾的边)，得趟到子涌图G－V’。若V’是使G－V’不连姓通的戚最小本点集两，则仿称V’是G的一撤个点割集己。若V’中只形有一息个结晨点则段称为译割点坚。换句词话说刮，点进割集筝是指摔使图G从连拴通图地变成蓝不连通图秃需要修删除验的最受小点迁集。例如联，G：删除v1后G1删除v3后G2删除v1,v3后G3因此段，{v1}不是恶点割肝集，W(末G1)=输1，{v3}是点雨割集剧，又忧是割雨点，W(垃G2)=色2{v1,v3}不是杠点割温集，岂因为辩它不享是最呼小点放集。例题8：给定罩图G，则图G的点然割集是。2。边扇割集在无放向连乞通图G=注<V抛,E茎>中，哪若删焰除边手集E’，得到子图G－E’。若E’是使G－E不连宗通的干最小栽边集敬，则飘称E’是G的一盖个边其割集肥。若E’中仅英一条剩边则执称为咳割边步。换句物话说映，边卫割集表是指猎使图G的从辛连通胸图变卷成不连通组图需现要删贷除的备最小区边集碌。例如龙，G：删除信边(v1,v2)后G1删除(v1,v2),醉(v2,v3)后G2删除(v3,v5)后G3因此判，{(破v1,v2)}不是练边割节集，W(摊G1)=灯1，{(冲v1,v2),奸(v2,v3)}是边大割集徐，W(传G2)=致2，{(康v3,v5)}是边灵割集氏，也语是割屈边，W(把G3)=最2。3。连献通度(一)点连城通度若G是无航向连恐通图泰，V’是G的结肺点数本最少罪的点截割集或G－V’是平厉凡图(孤点)，则V’中的筝结点城数称跟为G的点连通皂度，蔑记作森。因此弯，(1甘)若G是平炮凡图向，则V’功=φ，，(2姓)若G是完祸全图不，去礼掉n-套1个结郊点才亩能成阶为平寺凡图，舌所以会，(3鬼)若G存在醉割点酿，则似，(4赖)若G是非顾连通替图，县则战。(二)边连厅通度若G是无虏向连泉通图莫，E’是G的边脑数最哗少的属边割莲集，则E’中的半边数搂称为G的边舒连通陕度，歌记作窃。因此训，(1活)若G是平看凡图觉，则E’须=φ，，(2辱)若G存在双割边硬，则祖，(3败)若G是非湾连通糕图，趣则喉。(三)之间末的关捡系在无抖向图G中，忽一定工有：即点返连通孙度不居大于坐边连唐通度洪，边孤连通幕度不赴大于恶结点的颤最小上度数查。3.摆3图的究矩阵欢表示一、引无向烈图的愧邻接躺矩阵对于有无向诱图G=裙<V烘,E顾>，若|V励|=各n，作n阶方多阵A(奴G)其中塌的杏表即示担相黄关联泻的边帽数。例如春图G如下盟，可以记看出与，A(柔G)是对矩称矩盼阵。主对透角线混上的导元素北表示谣各结美点的酒自回原路数归。二、丹有向漫图的宁邻接龄矩阵对于昂有向欢图D=兼<V纹,E德>，若|V钳|=组n，作n阶方疤阵A(促D)其中格的部表搞示从局的边脚数。从下贝例中煤可以断看出A(侦D)不再坟是对日称矩丸阵。矩阵点中所瓜有元闻素之裕和等狮于有泰向图弄中的管边数礼。第革行元所素之码和表凝示结说点杆的瓶出度扛，第蜂列元材素之创和表马示结道点泽的春入度疗，图D：例题9：设有灿向图D＝<V,E>的邻布接矩盼阵为A(D