广东省梅州市登輋中学2021年高三数学理期末试卷含解析

广东省梅州市登輋中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知

PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．2.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为参考答案：C略3.对任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】求出曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【解答】解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），x=0时，y′=1﹣a，∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．故选：A．4.已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题，其中真命题的个数是①函数是奇函数；②函数不是周期函数；③函数的图像关于点(π，0)中心对称；④函数的最大值为.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：A略5.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是参考答案：D本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.6.已知函数在区间(－∞,0)内单调递增，且，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A．

B．C.

D．参考答案：B，且，.又在区间内单调递增，且为偶函数，在区间内单调递减，，.故选B.7.是

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.函数，则下列说法中正确命题的个数是（

）1

函数有3个零点；2

若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；③函数的极大值中一定存在最小值；④，，对于一切恒成立．A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略9.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人 B．108人 C．112人 D．120人参考答案：【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据分层抽样即可求出答案．【解答】解：由题意可得×300=108，故选：B10.已知复数满足，则Z等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为

参考答案：12.已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于

.参考答案：1713.已知命题，命题成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是_

_

．参考答案：【知识点】命题的关系.A2【答案解析】-2<m<0解析：解：由命题的真假可知p且q成立，则p与q都是真命题，所以【思路点拨】根据已知条件，可先判定两个命题的真假，再分别求出两个命题中m的取值范围，最后求出结果.14.不等式对任意恒成立的实数的取值范围为

参考答案：略15.函数的定义域是__________.参考答案：略16.已知函数，且

，那么__________.参考答案：-2617.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为1的圆锥的一半，求出体积即可．解答：解：由三视图可知，该几何体为一圆锥通过轴截面的一半圆锥，底面半径直径为2，高为1．体积V==．故答案为：．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校2014-2015学年高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．参考答案：考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出样本容量，再求之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．解答： 解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB共15种，其中至少有一份的分数在之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．点评：本题考查了样本容量与频数、频率的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，利用频率分布直方图求平均数的问题，是综合题．19.已知函数．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在上的最值及相应x的值．参考答案：（1）…………2分∴………………4分（2），………………6分当即时，………………9分当即时，………………12分（另解请酌情给分）20.己知数列{an}中，a1=2，对任意正整数n，都有an+1﹣an=2n．（I）求数列{an}的通项公式：（II）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）a1=2，对任意正整数n，都有an+1﹣an=2n．可得n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1．利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．（II）设bn===1+，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（I）a1=2，对任意正整数n，都有an+1﹣an=2n．∴n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n．n=1时上式也成立．∴an=2n．（II）设bn===1+，∴数列{bn}的前n项和Tn=n+++…+=n+=n+．21.（本小题满分12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游。（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率。参考答案：解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：共15个,所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：共3个,则所求事件的概率为：.(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：共9个,包括但不包括的事件所包含的基本事件有：共2个.则所求事件的概率为：.

22.（文）已知二次函数。（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。参考答案：（文）解：（1）当时，，不合题意；……………1分

当时，在上不可能单调递增；……………2分

当时，图像对称轴为，由条件得，得 ……………4分

（2）设，

……………5分

当时，，

……………7分

因为不等