第一章　直角三角形的边角关系

第一章直角三角形的边角关系1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.【重点】1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.2.解决与直角三角形有关的实际问题.3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.1.注重问题情境的创设.在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.4.关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.1锐角三角函数2课时230°,45°,60°角的三角函数值1课时3三角函数的计算1课时4解直角三角形1课时5三角函数的应用1课时6利用三角函数测高1课时回顾与思考1课时1锐角三角函数1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.[过渡语]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的呢?“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?一、正切的定义(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为EDFD>ACBC师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵ACBC=41.5=83,EDFD=3.∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知[过渡语]在日常生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB1的倾斜程度时发生了矛盾,我们来看一看.课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)B1C1由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有B2C2(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA,即tanA=∠A当锐角A变化时,tanA的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tanA与tanB有什么关系?生讨论得出结论:tanA=1tanB【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?学生思考后,统一答案:tanA的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tanA的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tanA不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(三)例题解析[过渡语]通过探究我们了解了正切的概念,下面就来进行“实战演习”,检验一下我们的理解能力.课件出示:(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα=48=1乙梯中,tanβ=5132因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.二、正切的应用[过渡语]正切在日常生活中的应用很广泛,例如,在建筑、工程技术中,经常用正切描述山坡的坡度.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:i=tanα=60100=3结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=铅直高度水平宽度,即坡度等于坡角的正切[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tanA=∠A(2)梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系):tanA的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=铅直高度水平宽度1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tanA等于 ()A.513 B.512 C.1213解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tanA=512.故选B2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是 ()A.23 B.C.21313 解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=32.故选B3.(中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是.

解析:tanA=BCAC=12.故填4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶3(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.

解析:在Rt△ABC中,BC=5,tanA=1∶3,∴AC=53,∴AB=52+(5第1课时(1)正切的定义:tanA=∠A(2)梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系):tanA的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=铅直高度水平宽度一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tanA的值为 ()A.35 B.C.34 D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500m 5m3m D.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.

【能力提升】4.如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是 () B.2C.55 D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.

6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tanB的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tanA=BCAC=86=43.2.B(解析:设铅直高度为xm,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2xm,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=2005.∴他升高了2005m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴斜坡的高度斜坡的水平距离=15.∴2斜坡的水平距离=15,∴斜坡的水平距离为=10m4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=2,AB=22,BC=10,∴△ABC为直角三角形,∴tanB=ACAB=12.故选D5.13(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=B'C'2.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'=A'DBD=6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴12×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH=AB2-AH2=1027.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH=132-52=12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=12AH=6,∴BF=34BC=152,∴在Rt△本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tanC=BDCD=BD12AC=2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC=AB2-BC2=2002-5习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC=AB2-AC2=132-52=12,∴tanA2.解:∵tanA=BCAC=512,BC=3,∴AC=125BC4.tanA=1tan学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tanA的关系(∠A和tanA之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=12,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=12,CF=2m,∴BF=2CF=4(m)故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sinA,cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tanA的定义以及利用tanA表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?ABAC[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.[过渡语]在直角三角形ABC中,除了两条直角边的比之外,还有没有利用其他边的比值来表示梯子AB的倾斜程度的情况呢?一、正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA,即sinA=∠A∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA,即cosA=∠A锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.二、sinA,cosA与梯子倾斜程度的关系[过渡语]通过上节课的学习我们知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系:tanA的值越大,梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA,cosA有关系呢?如果有关系,是怎样的关系?问题2【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?【教师活动】要求小组合作交流,统一答案.【学生活动】小组同学认真思考,热烈讨论,积极总结.思路一教师引导学生分析:如图所示,AB=A1B1,在Rt△ABC中,sinA=BCAB,在Rt△A1B1C1中,sinA1=B∵AB=A1B1,∴BCAB<B1C1A1B1,即sinA<sinA1,∴梯子∴梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.思路二学生互相交流,类比分析过程:cosA=ACAB,cosA1=A1C1A1B1.∵AB=A1B1,∴AC∴梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小,梯子越陡.【师生总结】梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过学生的参与、动手操作让学生学会“由特殊到一般”“数形结合”的思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.例题解析[过渡语]通过探究我们掌握了正弦、余弦的定义,下面就通过例题检验一下我们对新知的理解能力.课件出示:(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长.【师生活动】生独立解答,师巡视观察学生解题的情况,随时进行指导.解:在Rt△ABC中,∵sinA=BCAC,即BC200=0.6,∴BC=200×0.想一想:你还能求出cosA,sinC和cosC的值吗?生认真思考,独立写解题过程.代表展示:cosA=0.8,sinC=0.8,cosC=0.6.[设计意图]例题的安排既对学生学习的内容加以巩固,也让学生体会严谨的做题思路,并通过拓展得出直角三角形的三角函数之间的关系.[知识拓展]1.若∠A+∠B=90°,一个锐角的正弦等于它余角的余弦,sinA=cosB;一个锐角的余弦等于它余角的正弦,cosA=sinB.2.锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tanA=sinAcosA;②平方关系:sin2A+cos2(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB.三、三角函数的运用[过渡语]灵活运用三角函数能提高我们的解题效率.课件出示:【做一做】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=1213,AC=10,AB等于多少?sinB【学生活动】要求学生独立完成,代表展示解题过程.代表展示:解:在Rt△ABC中,∵cosA=ACAB=10AB=∴AB=10×1312=65∴sinB=ACAB=10656[设计意图]在学习前边知识的基础上,巩固运用正弦、余弦及正切表示直角三角形中两边的比,体验数形之间的联系,学习利用数形结合思想分析问题和解决问题,提高解决实际问题的能力.(1)三角函数的概念:正弦:sinA=∠A的对边斜边.余弦:cosA锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.(2)梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.(3)锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tanA=sinAcosA;②平方关系:sin2A+cos2(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=23,则BC的长为 (A.4 5C.181313 解析:∵cosB=23,∴CBAB=23.∵AB=6,∴CB=232.在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosA=23,则tanB的值是 (A.255 B.55 C.3解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cosA=ACAB,tanB=ACBC,AC2+BC2=AB2.∵cosA=23,∴设AC=2x(x>0),则AB=3x,BC=5x,∴tanB=2x53.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是.

解析:∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,∴AB=2CD=4,∴sinB=ACAB=34.故填4.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=.

解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1,在Rt△ACD中,AC=AD2+CD2=25,∴sinA=CD5.如图所示,∠ACB=90°,DE⊥AB,垂足为点E,AB=10,BC=6,求∠BDE的三个三角函数值.解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,∴sin∠BDE=sinA=35,cos∠BDE=cosA=45,tan∠BDE=tanA=第2课时1.三角函数的概念:(1)∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,即sinA=∠A的对边斜边.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,即cosA=∠A的邻边斜边.2.梯子的倾斜度与三角函数之间的关系:sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.一、教材作业【必做题】1.教材第6页随堂练习第1,2题.2.教材第6页习题1.2第1,2,3,4题.【选做题】教材第7页习题1.2第5题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是 ()A.34 B.C.35 D.2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是 ()A.sinA=1213 B.cosA=C.tanA=512 D.tanB=3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=.

4.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43,则sinα的值为【能力提升】5.如图所示,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为 ()A.33 B.C.233 6.在△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=23,则AB边的长是7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=25,求BC的长和tanB的值8.如图所示,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE.求sin∠ECM的值.【拓展探究】9.网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sinA=.

【答案与解析】1.D(解析:∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cosA=ACAB=45.故选D2.A(解析:∵∠ACB=90°,AB=13,BC=12,∴AC=AB2-BC2=132-122=5.A,sinA=BCAB=1213,故本选项正确;B,cosA=ACAB=513,故本选项错误;C,tan3.45(解析:首先由勾股定理求得斜边AC=5,然后由锐角三角函数的定义知sinA=∠A的对边4.45(解析:如图所示,过点P作PE⊥x轴于点E,则可得OE=3,PE=m,在Rt△POE中,tanα=PEOE=43,解得m=4,则OP=PE2+5.D(解析:过B点作BD⊥AC,如图所示,由勾股定理,得AB=12+32=10,AD=22+22=22,∴cosA=AD6.9(解析:∵BC=6,sinA=23,∴23=6AB,解得AB=9.7.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA=BC10=25,∴BC=4,根据勾股定理,得AC=AB2-BC2=221,则tan8.解:设AE=x(x>0),则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,∴CE=(3x)2+(4x)2=5x,EM=x2+(2x)2=5x,CM=(2x)2+(4x9.35(解析:如图所示,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,由勾股定理得AB=AC=25,BC=22,AD=32,易知△ABC是等腰三角形,由面积相等可得12BC·AD=12AB·CE,∴CE=22×3225=655,∴sin∠CAE=上节课已经学习了三角函数中的正切,所以这节课根据初中学生身心发展的特点,运用了类比教学法,想唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,运用直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.用函数的观点理解正弦、余弦和正切,是本节课的一个难点.为了更好地突破难点,在教学时发动学生及时进行讨论,产生的效果较好.在探讨梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系时,鼓励学生利用类比tanA的方法进行探究,可以比较直观地得出结论,学生比较容易接受.课堂练习题及检测题题量适中且有针对性,课后作业有分层,适合不同程度的同学.在整个教学过程中,学生探究活动始终处于主导地位,培养了学生独立思考、合作探究及分析问题、解决问题的能力.在处理梯子的倾斜度与三角函数的关系的问题时,时间安排的不是很科学,导致后面的例题以及做一做的处理稍显仓促.在以后的教学中注意科学合理地安排课堂时间,并且大部分的知识让学生利用类比tanA的方法进行自主探究.随堂练习(教材第6页)1.解:过A点作AD⊥BC,垂足为D,BD=12BC=3,AD=AB2-BD2=52-32=4,∴sinB=ADAB=452.解:∵sinA=BCAB,∴AB=BCsinA=2045=25,则AC=AB2-BC2=252-202=15,∴△ABC的周长=AB习题1.2(教材第6页)1.解:∵x=92-3652=91-1625=275,∴sinα=cosβ=x9=35,cosα=sinβ=3659=42.提示:倾斜角的正弦值、正切值越大,梯子越陡;倾斜角的余弦值越小,梯子越陡.3.解:如图所示,∵sinA=BCAB,cosB=BCAB,∴sinA4.解:如图所示,∵CD是AB边上的中线,且CD=5,∴AB=2CD=10.∵BC=8,∴AC=AB2-BC2=6,∴sinA=BCAB=810=45.过点D作DE⊥AC于E,∵sinA=DEAD,∴DE=5sinA=4,∴AE=AD2-DE2=3,∴CE=6-3=3,∴sin∠ACD=5.解:当∠BAC>90°时,CD=10,sinC=22929.当∠BAC<90°时,CD=16,sinC=本节课的学习,学生可以类比上节课所学的正切的探究方法对正弦、余弦的知识进行探究.在探究的过程中要及时进行总结,得出直角三角形中的三个三角函数之间的关系,这也是本节课的难点,其突破方法就是在自主探究和合作交流的过程中寻求它们之间的联系,而熟练运用三角函数进行相关的计算是对所学知识的巩固提高.当然和上节课一样,在探究的过程中数形结合思想和转化思想的运用可以使问题得以简化.容易混淆sin和cos的概念.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,则cosA的值是.

【错解】2【错解分析】容易把sinA和cosA的概念颠倒而得出相反的结论.【正解】5【正解分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=2,∴AC=9-4=5,∴cosA=ACAB230°,45°,60°角的三角函数值1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理,进一步体会三角函数的意义.2.能够进行含有30°,45°,60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.通过交流探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现问题的能力,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】探索30°,45°,60°角的三角函数值,能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.【难点】进一步体会三角函数的意义.【教师准备】教学用三角板一副和多媒体课件.【学生准备】1.一副三角板.2.复习三角函数的概念.导入一:课件出示:同学们,老师用我们常用的三角板拼成一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?生很容易得出:30°角,45°角,60°角.【引入】前面我们已经学会了用锐角三角函数表示直角三角形的边角关系,这节课我们将利用我们常用的三角板的两个特殊的三角形探讨30°,45°,60°角的三角函数值.[设计意图]利用三角板组成的松树图形创设情境,引导学生发现三角板中的特殊锐角,使他们对本节课的学习目标和学习任务一目了然.导入二:课件出示:动手做一做:请测量出你们手中的三角板中30°角的对边和斜边的长度.【问题】1.你能利用你测量的边长求出sin30°的值吗?cos30°和tan30°呢?2.类比上面的做法,你们能得出45°角和60°角的三角函数值吗?[设计意图]通过动手操作,既引入了课题,又初步掌握了30°,45°,60°角的三角函数值的探究方法,一举两得.[过渡语]三角板我们经常用,但是你们知道这两个三角板的边和角之间存在什么样特殊的关系吗?探究活动(一)30°角的三角函数值课件出示:一副三角板图片有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?生回忆后得出结论:(1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半;(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.师出示:除了利用测量的方法外,你能利用上面的性质得出sin30°等于多少吗?你是怎样得到的?生很容易得出:sin30°=12【教师强调】sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.【师生活动】我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin30°=a2a=【思考】类似地,你能计算出cos30°等于多少吗?tan30°呢?学生思考后,独立解答,代表展示:根据勾股定理得较长的直角边长为3a,所以cos30°=3a2a=32,tan30°=a3[设计意图]因为三角板是学生非常熟悉的学习用具,所以学生在探究30°角的三角函数值时就会有一种亲切感,为60°角和45°角的三角函数值的探究做好准备.探究活动(二)45°,60°角的三角函数值[过渡语]类比30°角的三角函数值,我们同样可以得出45°,60°角的三角函数值.课件出示:【做一做】(1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?【学生活动】生先独立思考,然后小组交流.代表发言:求60°角的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.所以很容易求得:sin60°=3a2a=32,cos60°=a2a=(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?【学生活动】生稍加思考,代表板演:如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为2a.由此可求得:sin45°=a2a=12=22,cos45°=a2a=1(3)完成下表.【学生活动】学生独立完成上表,可能会有学生出现三角函数值混淆的情况.【教师强调】这个表格中的30°,45°,60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们来一起观察总结表格中三角函数值的特点.①先看第一列30°,45°,60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?生观察后发现:30°,45°,60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为1,2,3,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.②再来看第二列函数值,有什么特点呢?生观察后发现:第二列是30°,45°,60°角的余弦值,它们的分母也都是2,分子从大到小分别为3,2,1,余弦值随角度的增大而减小.③第三列呢?生观察后发现:第三列是30°,45°,60°角的正切值,函数值依次扩大3倍,并且随着角度的增大,正切值在逐渐增大.【教师点拨】第三列的函数值可以变为33,93,273.所以第三列的规律可以总结为它们的分母都是3,而分子从小到大分别为3,9由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.[设计意图]运用三角函数之间的关系,引导学生推导出了9个特殊值,并利用口诀记忆三个特殊角的三角函数值,帮助学生把枯燥无味的记忆变得生动有趣,节约了学生的时间.(三)例题解析[过渡语]通过探究我们已经掌握了特殊角的三角函数值,下面我们就利用这些特殊角的三角函数值解决一些相关的问题,以检验我们对新知的理解能力.课件出示:计算:(1)sin30°+cos45°;(2)sin260°+cos260°-tan45°.【教师提示】sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2。【学生活动】生独立解答,两名学生板演,展示解题步骤:解:(1)sin30°+cos45°=12+22=(2)sin260°+cos260°-tan45°=34+14[设计意图]通过不同类型题目的练习,帮助学生巩固特殊角的三角函数值,让学生能更加熟练地进行三角函数值的计算.[知识拓展]计算含三角函数值的代数式的步骤:(1)求出特殊角的三角函数值;(2)根据实数的运算顺序进行计算.如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).〔解析〕让学生探讨解决实际应用问题的关键,并结合图形说出题目的已知条件和未知条件.【学生活动】学生以抢答的形式回答:解决实际应用问题的关键是将实际问题转化为数学问题,如图(2)所示,已知OB=OA=OD=2.5,∠BOD=60°,OA⊥BD,求AC的长.而AC=OA-OC,所以求出OC是解此题的关键.【师生活动】要求学生先独立解答,有困难的和同伴交流或向老师求助.代表展示,师出示解题步骤:解:如图(2)所示,根据题意可知:∠AOD=12×60°=30°,OD=2.∴OC=OD·cos30°=2.5×32≈2.∴AC≈2.5-2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.[设计意图]通过对实际问题的解决,进一步帮助学生巩固特殊角的三角函数值,并培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.1.30°,45°,60°三个特殊锐角的三角函数值.2.运用30°,45°,60°角的三角函数值进行相关的计算.1.计算6tan45°-2cos60°的结果是 ()3 3 解析:原式=6×1-2×12=5.故选D2.式子2cos30°-tan45°-(1-tan60°)3-2 3 解析:原式=2×32-1-(3-1)=3-1-3+1=0.故选B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=32;②cosB=1③tanA=33;④tanB=3.其中正确的结论是.解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sinA=BCAB=12,故①错误;∵sinA=12,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∴cosB=12,故②正确;∵∠A=30°,∴tanA=tan30°=33,故③正确;∵∠B=60°,∴tanB=tan60°=4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于.

解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos60°=12.故填15.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5m,风筝飞到C处时的线长BC为30m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1m,3≈1.73)解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD=CDBC∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin60°=153≈25.95(m).∴CE=CD+AB≈25.95+1.5=27.45≈27.5(m).答:此时风筝离地面的高度约是27.5m.230°,45°,60°角的三角函数值30°,45°,60°角的三角函数值一、教材作业【必做题】1.教材第9页随堂练习第1,2题.2.教材第10页习题1.3第1~4题.【选做题】教材第10页习题1.3第5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.(中考)计算cos245°+sin245°等于 ()A.12 C.14 D.2.如果在△ABC中,sinA=cosB=22,那么下列最确切的结论是 (A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形3.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sinA=32,cosB=12,则∠C=4.已知α,β均为锐角,且满足sinα-12+(tanβ-1)2=0,则α+【能力提升】5.点(-sin60°,cos60°)关于y轴对称的点的坐标是 ()A.32,1C.32,-16.如图所示,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点,则cos∠BAC=.

7.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长.8.如图所示,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(3≈1.732,结果保留到小数点后一位)?【拓展探究】9.如图所示,等边三角形ABC中,D,E分别为边AB,BC上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,求AGAF的值【答案与解析】1.B(解析:∵cos45°=sin45°=22,∴cos245°+sin245°=222+222=12+2.C(解析:∵sinA=cosB=22,∴∠A=∠B=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选C.3.60°(解析:∵在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sinA=32,cosB=12,∴∠A=∠B=60°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°.故填60°4.75°(解析:∵sinα-12+(tanβ-1)2=0,∴sinα=12,tanβ=1,∴α=30°,β=45°,则α+β5.A(解析:∵sin60°=32,cos60°=12,∴(-sin60°,cos60°)=-32,12,易知点(-sin60°,cos60°)关于6.22(解析:由勾股定理得AB=BC=12+22=5,AC=12+32=10,易知AB2+BC2=5+5=10=AC2,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC7.解:∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,∴AD=12AB=4,BD=3AD=43.在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=43+48.解:过A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,AD=120m,∴BD=AD·tan30°=120×33=403(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,AD=120m,∴CD=AD·tan60°=120×3=1203(m),∴BC=403+1203≈277.12≈277.1(m).答:这栋楼高约为277.1m9.解:在△CAD与△ABE中,AC=AB,∠CAD=∠ABE=60°,AD=BE,∴△CAD≌△ABE.∴∠ACD=∠BAE.∵∠BAE+∠CAE=60°,∴∠ACD+∠CAE=60°.∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°.∴易知在直角三角形AFG中,sin∠AFG=sin60°=AGAF,∴AGAF=由于本节课的知识点比较单一,就是掌握并运用30°,45°,60°角的三角函数值解决相关问题,所以让学生通过自主探究基本上可以掌握所学的知识点.通过引导学生利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”“45°角所在的直角三角形的两直角边相等”的性质以及勾股定理探究三个特殊角的三角函数值,并利用口诀法帮助记忆,使学生感觉在轻松愉快的学习气氛中熟记了9个三角函数值.接下来的例1由于学生已经熟练掌握了三个特殊角的三角函数值,所以学生只要掌握运算顺序,圆满完成任务就是水到渠成的事情了.对于例2的教学,要让学生把握实际应用问题的关键:把实际问题转化成数学问题,让学生在图中找出对应的已知条件和所求条件,这是解决问题的前提条件.没有绝对从学生的角度去考虑设计,会有一点美中不足的感觉,有待改善.关于例2的教学想做以下尝试:题目出示之后,让学生独立完成画图,这样可以使学生的印象更加深刻.但是这样就加大了题目的难度,可能会让部分学生感觉很吃力,所以可以根据学生的程度进行选择.随堂练习(教材第9页)1.解:(1)3-22.(2)1+232.解:扶梯的长度为7sin30°=7习题1.3(教材第10页)1.解:(1)原式=1-12=12.(2)原式=12+22-33=3+32-236.(3)原式=6×332-2.解:在Rt△ABC中,∵∠BCA=60°,tan∠BCA=ABBC,∴BC=ABtan∠BCA=12tan60°=3.解:∵∠ASB=120°,∴∠ASO=12∠ASB=60°.∵AB=54,∴AO=27.在Rt△ASO中,tan60°=AOSO,∴SO=AOtan604.树高约4.6m.[提示:树高=5tan30°+1.75≈4.6(m).]5.最多蓄水2400m3.[提示:水渠蓄水量=12×[1.2+(0.8+1.2+0.8)]×0.8×1500=2400(m3).6.至少有13个台阶.[提示:BD=AD=1.5m,CE=12BC=12AB=324m,本节课的知识比较简单,学生通过自主学习完全可以领会,重点是对30°,45°,60°角的三角函数值的探究,学生可以利用学过的直角三角形的边和角之间的关系再结合勾股定理进行探究.而三个特殊角的9个三角函数值的记忆是本节课的难点,要突破这一难点,学生可以采用适合自己的方法进行记忆,如:口诀记忆法、形象记忆法等.而最好的记忆方法是通过大量的练习题进行巩固,这样的记忆更加深刻.在△ABC中,若cosA-12+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是 A.45° B.60°C.75° D.105°解析:由题意,得cosA=12,tanB=1,∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.故选C[解题策略]此题考查了特殊角的三角函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.混淆特殊角的三角函数值在△ABC中,若∠A,∠B满足cosA-12+sinB-【错解】90°【错解分析】往往会因为对特殊角的三角函数值记忆不牢固,而出现由cosA=12得到∠A=30°的错误结论【正解】60°【正解分析】根据绝对值及偶次方的非负性,可得cosA=12,sinB=32,∴∠A=60°,∠B=60°.∴∠C3三角函数的计算1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力.1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐.2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.【重点】1.用计算器由已知锐角求三角函数值.2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【难点】用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.科学计算器.2.复习三角函数的计算方法.导入一:同学们小的时候都玩过跷跷板吧?如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?【问题】要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sinB的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?可以使用计算器进行解决.[设计意图]用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题.导入二:如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13m,高度h为5m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗?【教师活动】要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数.【学生活动】通过观察发现sinθ=hl=513,由于513不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角[设计意图]通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法.[过渡语]日常生活中我们经常会遇到含有角度的运算,并且有些角度并非我们上节课所学的30°,45°,60°角等特殊角,对于非特殊角我们如何求出它们的三角函数值呢?一、用计算器计算非特殊角的三角函数值课件出示:如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?(结果精确到0.01m)教师引导学生回答:1.缆车垂直上升的距离是线段.

2.本题的已知条件是,需要求出的条件是.

3.这三个量之间的关系是.

学生思考并反馈:1.缆车垂直上升的距离是线段BC.2.已知条件是∠α=16°,AB=200m,需要求出的是线段BC的长.3.这三个量之间的关系为sinα=BCAB根据学生分析,师课件出示解题过程:解:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,根据正弦的定义,得sin16°=BCAB=BC∴BC=ABsin16°=200·sin16°.想一想:200·sin16°中的“sin16°”是多少呢?我们需借助于科学计算器求出这个锐角的三角函数值,怎样用科学计算器求三角函数值呢?用科学计算器求三角函数值时,需要用到sin,cos键和tan键.【教师活动】例如,求sin16°,cos72°38'25″,tan85°的按键顺序如下表所示.(课件演示操作步骤)【学生活动】同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°,cos72°38'25″,tan85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.【教师强调】1.不同的计算器按键方式可能不同,所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤,也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法.2.用计算器求三角函数值时,计算结果一般精确到万分位.【做一做】下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.生得出:BC=200sin16°≈55.12(m).[设计意图]引导学生利用计算器求三角函数值的具体步骤,并注意在使用计算器求值的过程中出现的问题.[知识拓展]用计算器求三角函数值的按键顺序:第一步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;第二步:按下角度;第三步:按“=”键得到相应的三角函数值.二、用计算器计算非特殊角的三角函数值的运用[过渡语]看来同学们已经能熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值了.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.课件出示:【议一议】在本节一开始的问题中,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?【教师活动】留出时间和空间让学生思考问题如何解决,不要代替学生思考,进而培养学生的思维能力.【学生活动】生独立思考后,小组交流,代表发言:思路一缆车从A→B→D上升的垂直高度:在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,所以缆车上升的垂直高度DE=BDsin42°=200sin42°≈133.83(m),所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95(m).思路二缆车从A→B→D移动的水平距离:在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,AC=ABcos16°≈192.25(m).在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,BE=BD·cos42°≈148.63(m).所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程.三、利用计算器根据三角函数值求锐角的度数[过渡语]同学们已经掌握了用计算器计算一个锐角的三角函数值.如果知道了一个角的三角函数值,那么我们如何运用计算器求出这个角度呢?【想一想】为了方便行人推自行车过天桥,市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道(如图所示).这条斜道的倾斜角是多少?【教师活动】由已知条件如何求出倾斜角∠A的度数?【学生活动】生思考后,展示:解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=10m,AC=40m,∴sinA=BCAC=1040=【议一议】我们知道,给定一个锐角的度数,这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值,这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?【教师总结】我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中,斜边AC和直角边BC是定值,根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的,当然∠A的大小也是唯一确定的.【教师点拨】和第一部分探究活动一样,如果已知三角函数值我们同样可以利用计算器求角度.【师生活动】探究学习用科学计算器根据已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的方法.已知三角函数值求角度,要用到sin,cos,tan键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和2ndf键.例如,已知sinA,cosB,tanC,求∠A,∠B,∠C的度数的按键顺序如下表所示.学生根据课本和说明书,自己探究计算器的操作方法:给学生充分交流的时间和空间,及时引导学生根据自己使用的计算器,探索具体操作步骤.学生按照教师展示的按键顺序,进行练习.【教师强调】1.显示结果是以“度”为单位的.再按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.2.以后在用计算器求角度时如果没有特别说明,计算结果精确到1″即可.【做一做】你能求出上图中∠A的大小吗?【学生展示】sinA=14=0.25.按键顺序为:2ndfsin0·25=,显示结果为sin-10.25=14.47751219,再按°'″键可显示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39[设计意图]相信学生完全可以通过自学、互助,求出锐角的度数,可由学生讲解调动其主动性,尤其让那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求角度的按键顺序,让学生学会及时总结规律,为进一步的学习与应用做好基础.[知识拓展]用计算器根据三角函数值求角度的按键顺序:第一步:按2ndf键;第二步:按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;第三步:按已知的三角函数值;第四步:按“=”键得到相应角度;第五步:按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.1.运用计算器求锐角的三角函数值及根据三角函数值求角度的方法.2.运用三角函数解决实际问题的方法.1.四位学生用计算器求sin62°20'的值正确的是(小数点后保留四位) ().8857 .8856.8852 .8851解析:根据科学计算器给出的结果进行判断,sin62°20'≈0.8857.故选A.2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24m,则旗杆的高度约为 ()A.24m B.20mC.16m D.12m解析:如图所示,∵AB⊥BC,BC=24m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan27°,把BC=24,tan27°≈0.51代入,得AB≈24×0.51≈12(m).故选D.3.利用计算器求下列各角(精确到1').(1)sinA=0.75,求∠A;(2)cosB=0.8889,求∠B;(3)tanC=45.43,求∠C;解:(1)∵sinA=0.75,∴∠A≈48°35'.(2)∵cosB=0.8889,∴∠B≈27°16'.(3)∵tanC=45.43,∴∠C≈88°44'.4.有人说,数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高,如图所示,她测得BC=10m,∠ACB=50°,请你帮助她算出树高AB约为多少米?(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)解:在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,则AB=BC×tan50°≈12,即树高约为12m.3三角函数的计算1.用计算器求锐角的三角函数值2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数一、教材作业【必做题】1.教材第14页随堂练习第1~4题.2.教材第15页习题1.4第1~3题.【选做题】教材第15页习题1.4第4,5,6题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是 ()2.用计算器求sin20°+tan54°33'的结果等于(结果精确到0.01) ().25 .55.73 .753.用科学计算器计算:31+3tan56°≈.(结果精确到0.01)

4.如图所示,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是m(结果保留整数).(参考数据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)

【能力提升】5.在Rt△ABC中,∠C=90°