二次根式的有关概念及性质

二次根式的有关概念及性质

二次根式的概念及性质一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子。2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例如，$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。二、二次根式的性质：1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）。2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq0$）。3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq0,b\geq0$）。5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq0,b>0$）。三、例题：例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义：(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2)$\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5)$\sqrt{4-x^2}$；(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。解：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为零，偶次根号下被开方数要大于或等于零。(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$有意义当且仅当$6-x>0$，即$x\leq6$。(2)$\sqrt{x^2+3}$对于任意实数$x$都有意义。(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$有意义当且仅当$x<3$且$x\neq-3$。(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$有意义当且仅当$2x-1\geq0$且$x-1\geq0$，即$x\geq\frac{1}{2}$。(5)$\sqrt{4-x^2}$有意义当且仅当$-2\leqx\leq2$。(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$有意义当且仅当$2\leqx\leq5$。例2.写出下列各等式成立的条件：(1)$\sqrt{3x}=-3x$；(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$；(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$；(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$；(5)$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。解：本题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。(1)$\sqrt{3x}=-3x$有意义当且仅当$3x\geq0$且$-3x\geq0$，即$x=0$。(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$对于任意实数$m,n$都成立。(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$有意义当且仅当$2a+1\geq0$且$1+2a\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{2}$。(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$对于任意实数$a,b$都成立。(5)$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$有意义当且仅当$a\geq0$且$b>0$。成立，隐含m≥0，因此有1+2a≥0，即a≥-1/2。（4）根据题意可得x=±1。（5）由等式两边同时乘以-1可得|2-x|-|x+5|=7-x。因此只有当|x+5|=x+5，|2-x|=x-2时才成立，即x≥2。例3.化简下列各式：（1）π-3（2）a2(m<0)=-a2（3）2-x(x>2)（4）|3x-1|（6）当x≥0时，原式为-2xy，当x<0时，原式为2xy。（7）根据|x+1|+|4-x|=|x-(-1)|+|x-4|的性质，将x的取值分成三段来讨论，当x≤-1时，原式为3-2x；当-1<x<4时，原式为5；当x≥4时，原式为2x-3。例4.把根号外的因式移至根号内：（1）2=√2×√1；（2）-5=-√5×√1；（3）m(m≥0)=√m×√m；（4）x(x