2021年辽宁省阜新市县第一中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年辽宁省阜新市县第一中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是(

) A．ab＜b2＜1 B． C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1参考答案：C考点：基本不等式．专题：分析法．分析：首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0＜b＜a＜1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．解答： 解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2．故C正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．所以答案选C．点评：此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．2.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是

(A)

(B)(C)

(D)

参考答案：B略3.扇形AOB的半径为1,圆心角为90°.点C,D,E将弧AB等分成四份.连接OC,OD,OE,从图中所有的扇形中随机取出一个,面积恰为的概率是()(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A4.已知定义域是的奇函数，当时，，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）参考答案：D略5.已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为()A. B. C. D.参考答案：A【详解】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质6.若复数z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则z为（）A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用虚数单位i的性质化简，再由复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由=i2016+i2017=1+i，得z=（1﹣i）（1+i）=1﹣i2=2．故选：B．7.的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【详解】函数当x＞1时，函数化为f（x）=2﹣xlog2x﹣1令2﹣xlog2x﹣1=0可得：2x=log2x，方程没有解，当0＜x＜1时，函数化为f（x）=2﹣xlog0.5x﹣1令2﹣xlog0.5x﹣1=0可得：2x=log0.5x，方程有一个解，所以函数的零点个数有1个．故选A．

8.阅读如图所示的程序框图，输出的S值为参考答案：9.设函数，若，则取值范围是 (

）A． B．C． D．参考答案：B略10.记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M落在区域内的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，经过点作圆的切线，则切线的极坐标方程为________________.参考答案：略12.已知函数则=_______.参考答案：因函数所有13.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，又知f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示：x﹣1045f（x）1221则下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为2；

②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2，函数y=f（x）﹣a有4个零点．其中正确命题的序号是．参考答案：②【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得最终结果．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①错误；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是2，则2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确．故答案为：②．14.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为

。参考答案：的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将所得图象向左平移个单位得到，即。15.从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.假设这项指标值在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为

．参考答案：0.79（或79%）这种指标值在内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为，所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．

16.向量=（k，﹣2），=（2，2），+为非零向量，若⊥（+），则k=

．参考答案：0【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵向量=（k，﹣2），=（2，2），∴+=（k+2，0）．∵⊥（+），∴=k（k+2）=0，解得k=0或﹣2．∵+为非零向量，∴k≠﹣2．∴k=0．故答案为：0．17.若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋（a－2）x－2>0成立，则实数x的取值范围是______．参考答案：x<－1或x>三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?陕西一模）已知，正项数列{an}是首项为2的等比数列，且a2+a3=24．（1）求{an}的通项公式．（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）把{an}的通项公式代入bn=，利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a1=2，a2+a3=24，得2（q+q2）=24，解得：q=﹣4（舍）或q=2．则；（2）bn==．则．令．则．两式作差得：==．∴．故．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．19.已知函数有两个极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：.参考答案：(1);(2)见解析。【分析】(1)对函数求导,取导数等于0,转换为二次函数,再利用韦达定理和关系得到答案.(2)利用(1)中韦达定理关系,将变量转化变量,变成恒成立问题,再求导利用单调性求函数最大值,得证【详解】解:(1)的定义域为，在上有两个不等实根，则.(2)由题意，，则，，设恒成立，则单调递减，则则成立。【点睛】本题考查了导数的极值点问题,函数的恒成立问题,解题的关键是利用韦达定理把双变量转化为单变量,再求函数最值,难度比较大.20.已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间(e,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中.证明：g(x)的图象在f(x)图象的下方.参考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).(Ⅲ)证明见解析.分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明.即的图象在图象的下方.详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）设函数，求导，得，因为函数在区间上为单调函数，所以在区间上，恒成立，或者恒成立，又因为，且，所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.又因为函数在在区间上单调递减，，所以.(Ⅲ）证明：设.求导，得.设，则（其中）.所以当时，（即）为增函数.又因为，所以，存在唯一的，使得且与在区间上的情况如下：-0+↘↗

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，，所以，所以，即的图象在图象的下方.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法.将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键.21.已知E（1，0），K（﹣1，0），P是平面上一动点，且满足．（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）过点K的直线l与C相交于A、B两点（A点在x轴上方），点A关于x轴的对称点为D，且，求△ABD的外接圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设P（x，y），则，，，．由P是平面上一动点，且满足．能求出点P的轨迹C对应的方程．（2）设l的方程为x=my﹣1（m＞0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式，结合题意能求出△ABD的外接圆M的方程．【解答】解：（1）设P（x，y），，，，．∵，∴，整理，得点P的轨迹C对应的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），l的方程为x=my﹣1（m＞0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，由△＞0，解得m＞1，从而y1+y2=4m，y1y2=4．x1+x2=（my1﹣1）+，．∵，，∴=．∴8﹣4m2=﹣8，解得m=2，∴l的方程为x﹣2y+1=0．设AB中点为（x0，y0），则，，AB中垂线方程y﹣4=﹣2（x﹣7）．令y=0得x=9，圆心坐标（9，0），到AB的距离为．．圆的半径