知识点09分式方程及其应用2018-1

一、选择题1.（2018黑龙江省龙东地区，16，3分）已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D【解析】解得x＝m－3，∵方程的解是负数，∴m－3＜0，∴m＜3，∵当x＋1＝0即x＝－1时方程有增根，∴m－3≠－1，即m≠2．∴m＜3且m≠2．故选D．【知识点】分式方程的解法；分式方程的增根2.(2018甘肃省兰州市,10,4分)关于x的分式方程的解为负数,则a的取值范围为a>1B.a<1C.a<1且a-2D.a>1且a2【答案】D【解析】解分式方程得x=1-a,因为分式方程的解为负数,所以1-a<0,所以a>1,又x+1≠0,所以1-a≠-1,a≠2,故选D｡【知识点】分式方程的解法字母系数值的确定3.（2018黑龙江绥化，8，3分）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（）A． B．C.D．【答案】C.【解析】解：根据题意可得甲工人每小时搬运(x+30)件，根据甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同可列出方程.故选C.【知识点】分式方程的应用4.（2018湖南省怀化市，9，4分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为km/h，则可列方程为（）A．＝B．C．D．【答案】C【思路分析】设江水的流速为km/h,根据一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，可列方程求解．【解题过程】设江水的流速为km/h，故选C．【知识点】由实际问题题抽象出分式方程5.（2018贵州省毕节市，13，3分）某商厦进货员预测一种应季衬衫国畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为元，则所列方程正确的是()A．B．C．D．【答案】A．【思路分析】（1）根据公式“总价＝单价×数量”，“所购数量是第一批购进量的2倍，单价贵了4元”列出分式方程，也可以根据3行4列的表格列出分式方程．【解题过程】解：由题意可列如下的表格：购进单价数量总价第一批x10000第二批x＋422000则，故选A．【知识点】分式方程的应用6.（2018年黔三州，8,4）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需要停工2天，每天要比原计划多施工30米才能完成任务，设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A.1000x-1000x+30=2B.1000x+30-【答案】A【解析】设原计划每天施工x米，实际每天施工（x+30）米.以等量关系“时间差为2”建立方程得1000x【知识点】构建分式方程模型7.（2018青海，16，3分）x元，则下列方程正确的是A.400x=550x-6B.400【答案】B【解析】设每副乒乓球拍的价格为x元，则设每副羽毛球拍的价格为（x+6）元，根据“用400元购买球拍的数量与用550元购买发球拍的数量相同”可列方程【知识点】分式方程的应用8.（2018内蒙古通辽，6，3分）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为 A．EQ\F(1000,x)－\F(9000,x－5)＝100 B．EQ\F(9000,x－5)－\F(10000,x)＝100C．EQ\F(10000,x－5)－\F(9000,x)＝100 D．EQ\F(9000,x)－\F(10000,x－5)＝100【答案】B【解析】科普类图书平均每本的价格是x元，则文学类图书平均每本的价格为（x－5）元，由于购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，所以购买文学类图书的册数减去购买科普类图书的册数＝100，即EQ\F(9000,x－5)－\F(10000,x)＝100，故选B．9.（2018四川巴中，8，4分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是A.EQ\F(1000,x)－EQ\F(1000,x＋30)＝2B.EQ\F(1000,x＋30)－EQ\F(1000,x)＝2C.EQ\F(1000,x)－EQ\F(1000,x－30)＝2D.EQ\F(1000,x－3)－EQ\F(1000,x)＝2【答案】A.【解析】原计划每天施工x米，原计划完成任务的天数为EQ\F(1000,x)（天），实际每天施工（x＋30）米，实际完成任务的天数为EQ\F(1000,x＋30)（天）.根据题意，原计划完成任务的天数－实际完成任务的天数＝2，故选A.10.（2018云南省昆明市，13，4分）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行．甲船从A地顺流航行180km时与B地逆流航行的乙船相遇，谁留的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A.B.C.D.【答案】A．【思路分析】（1）根据公式“路程＝速度×时间”，“顺流航行的速度＝水流速度＋静水中航行的速度，逆流航行的速度＝静水中航行的速度－水流速度”，列出分式方程，也可以根据3行4列的表格列出分式方程．【解题过程】解：由题意可列如下的表格：速度时间路程顺流航行x＋6180逆流航行x－6300－180＝120则，故选A．【知识点】分式方程的应用11.（2018黑龙江哈尔滨，7，3）方程的解为()A．x＝－1B．x＝0C．x＝D．x＝l【答案】D，【解析】先去分母，再解答一元一次方程，解得x＝l，经检验x＝l是原分式方程的解，所以选择D12.（2018湖南省株洲市，5，3）关于x的分式方程＝0的解为x＝4，则常数a的值为（）A．a＝1B．a＝2C．a＝4D．a＝10【答案】D【思路分析】把x＝4代入方程＝0得＝0．解得a＝10．故选D．【知识点】分式方程二、填空题1.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号14，分值3）若关于x的方程无解，则m的值为_______.【答案】m=-1或m=5或m=-（答对一个得1分）【解析】整理分式方程，得，即，化简得（m+1）x=5m-1，当m=-1时，原方程无解，当x=±4时，原方程无解，即将x=±4代入（m+1）x=5m-1，解得m=5或-，∴当m=-1或m=5或m=-时原分式方程无解.故答案为-1,5，.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.2.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号15，分值3）如爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的_________倍.【答案】6【解析】设爸爸的速度为a，103路公交车的速度为b，∵每辆103路公交车行驶速度相同，∴车与车之间的距离一样设为s，由题意可列关系式为.将两式相除，可得，解得b=6a，即=6.故答案为6.【知识点】行程问题.3.（2018浙江嘉兴，15，4）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%．若设甲每小时检测个．则根据题意，可列出方程:．【答案】【解析】本题的等量关系是甲检测300个的时间＝乙检测200个所用的时间×（1－10%），甲检测300个零件所花时间为，乙检测200个零件所花时间为，故所列方程为．4.（2018贵州铜仁，11，4）分式方程的解是=.【答案】x＝1【解析】去分母，得3x-1＝4(x+2),去括号，得3x-1＝4x+8,移项并合并同类项，得-x＝9,系数化为1，得x＝-9．经检验x＝-9是分式方程的根．故填x＝-9．5.(2018黑龙江大庆，16，3)已知＝＋，则实数A＝________.【答案】1，【解析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．列二元一次方程组A＋B＝3，﹣2A﹣B＝﹣4，解得：A＝1，B＝2.6.(2018湖北黄石，13，3分)分式方程的解为__________.【答案】x＝【解析】去分母，得：8x＋2－5(x＋1)＝2x2－2，整式，得：2x2－3x＋1＝0，解得：x＝或x＝1，∴当x＝时，x2－1≠0，故x＝该方程的根；当x＝1时，x2－1＝0，故x＝1不是该方程的根.7.（2018四川眉山，15，3分）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为．【答案】k<6且k≠3，【解析】去分母得：x－2(x－3)＝k，解得：x＝6－k；由题意得：x>0且x≠3，∴6－k>0且6－k≠3，即：k<6且k≠3．8.（2018浙江舟山，15，4）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%．若设甲每小时检测个．则根据题意，可列出方程:．【答案】【解析】本题的等量关系是甲检测300个的时间＝乙检测200个所用的时间×（1－10%），甲检测300个零件所花时间为，乙检测200个零件所花时间为，故所列方程为．三、解答题1.（2018广东中考）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等。求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片?【思路分析】（1）总价已知，知道单价的关系，则设B型单价为x元，利用单价关系表示A型单价，进而表示A、B型芯片数量，利用A、B型芯片数量相等列出方程求解；（2）在上一题基础上已求得单价，则单价已知，条数之间有关系，故设A型x条，利用条数关系表示B型条数，利用总价列方程求解.【解题过程】解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x﹣9=26．答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，解得：a=80．答：购买了80条A型芯片．【知识点】分式方程应用；一元一次方程应用2.（2018广西省桂林市，24，8分）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进行施工，计划用40天时间完成整个工程；当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该校田径场进行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.(1)若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【思路分析】（1）根据公式“工作总量＝工作效率×工作时间”，“第二批饮料的数量是第一批的3倍”列出分式方程，也可以根据3行4列的表格列出分式方程；（2）设销售单价为m元，由公式“利润＝销售量×单件利润”，用含有m的代数式表示出销售利润，再由销售利润≥1200，列不等式计算即可．【解题过程】解：（1）由二号施工队单独施工，完成整个工程需要x天，可列如下的表格：工作效率工作时间工作总量二号施工队单独施工x1先由一号施工队工作5天，再由一号、二号施工队共同工作40－14－51－则，去分母得，解得x＝60，经检验，x＝60是分式方程的解，且符合题意.答：若由二号施工队单独施工，完成整个工程需要60天；(2)设此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要y天，则：，化简得：，解得：y＝24.答：若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.【知识点】分式方程的应用；工程问题3.（2018山东省东营市，21，8分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m,两人分别从家中同时出，已知小明和小刚的速度比是3:4，结果小明比小刚提前4min到达剧院。求两人的速度。【思路分析】先设出小明和小刚的速度为3xm/min,4xm/min,利用路程除以速度等于时间表示出小明与小刚所用时间，然后根据相等关系：小明比小刚提前4min到达剧院即小明所用时间比小明所用时间少4min列出方程并解出方程即可。【解题过程】解：设小明和小刚的速度为3xm/min,4xm/min，由题意，得：解这个方程，得：,经检验是所列方程的解。所以小明的速度为(m/min)，（m/min)答：小明的速度为75m/min,小刚的速度为100m/min。【知识点】列分式方程、解分式方程。4.（2018广西省柳州市，22，8分）解方程：＝.【思路分析】先将分式方程转化为整式方程，然后按步骤求解，最后检验所求的根是否有意义.【解题过程】去分母，得：2(x－2)＝x，………………3分去括号，移项，合并同类项，得：x＝4.………………6分检验：当x＝4时，x(x－2)＝4×2＝8≠0，故x＝4是原分式方程的根.………………8分【知识点】分式方程的解法5.（2018年江苏省南京市，19，8分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元.几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg.这种大米的原价是多少？【思路分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解，注意要对方程的解进行检验。【解题过程】解：设这种大米的原价为每千克元，根据题意，得.解这个方程，得.经检验，是所列方程的解.答：这种大米的原价为每千克元.【知识点】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可6.（2018吉林省，19,7分）如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x表示，庆庆同学所列方程中的y表示；（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．【思路分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间；（2）根据题意，可找出：（冰冰）甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；（庆庆）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米；（3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．【解题过程】解：（1）∵冰冰是根据时间相等列出的分式方程，∴x表示甲队每天修路的长度；∵庆庆是根据乙队每天比甲队多修20米列出的分式方程，∴y表示甲队修路400米所需时间．故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间．（2）冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度=20米（选择一个即可）．（3）选冰冰的方程：，去分母，得：400x+8000=600x，移项，x的系数化为1，得：x=40，检验：当x=40时，x、x+20均不为零，∴x=40．答：甲队每天修路的长度为40米．选庆庆的方程：，

去分母，得：600-400=20y，

将y的系数化为1，得：y=10，

经验：当y=10时，分母y不为0，

∴y=10，∴=40．

答：甲队每天修路的长度为40米。【知识点】分式方程的应用．7.（2018山西省，20题，7分）2018年1月20日，山西迎来了，“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车列车时速更快，安全性更好。已知“太原南—北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45【解题过程】解法一：设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时，由题意，得500解，得x经检验，x=答：乘坐“复兴号”C92次列车从太原南到北京西需要8解法二：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时由题意，得500解，得x经检验，x=即：52答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83【知识点】分式方程的应用8.（2018广西贵港，19②，5）（2）解分式方程：EQ\F(4,x\S(2)－4)＋1＝\F(1,x－2)【思路分析】化为整式方程求解，并注意验根．【解答过程】方程两边同乘以（x2－4），得4＋（x2－4）＝x＋2即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2将x＝－1或x＝2代入x2－4进行检验，发现x＝2是方程的增根，所以方程EQ\F(4,x\S(2)－4)＋1＝\F(1,x－2)的解为x＝－1．9.（2018•徐州，24，8分）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/n，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【解答过程】设B车行驶的时间为x小时间，则A车行驶的时间为（1＋40%）x小时，根据题意：，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．（1＋40%）x＝小时．答两车行驶时间分别为小时和小时．10.（2018江苏镇江，19（1），5分）（1）解方程：＝．【思路分析】去分母化为整式方程，检验后确定方程的解．【解答过程】＝．解得＝．检验：当＝时，≠0．∴＝是原分式方程的解．11.（2018内蒙古包头，23，10分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销售，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售额增加30件，销售额增加840元.（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？【思路分析】（1）根据题意列出方程解出即可；（2）设该商品的进价为a元，根据题意列出方程求解，再算出该商店4月份销售这种商品的利润即可.【解题过程】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元.根据题意得：解得x＝40经检验x＝40是原方程的解答：设该商店3月份这种商品的售价为40元.（2）设该商品的进价为a元.根据题意得：解得a＝25.4月份的售价：40×＝36（元）4月份的销售数量：4月份的利润：（36－25）×90＝990（元）答：4月份销售这种商品的利润是990元.【知识点】分式方程应用题12.（2018广西南宁，20，6）解分式方程EQ\F(x,x－1)－1=EQ\F(2x,3x－3)【思路分析】先找出最简公分母，方程左右两边乘以最简公分母，化为整式方程，再解整式方程，最后一定注意检验．【解答过程】解：方程左右两边同乘以3(x－1)，得3x－3(x－1)＝2x3x－3x＋3＝2x2x＝3x＝1.5检验：当x＝1.5时，3(x－1)≠0∴原分式方程的解为x＝1.5．13.（2018贵州贵阳，19，10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵.此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【思路分析】（1）设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗的价格(x＋10)元/棵，根据等量关系“用480元购买乙种树苗的棵数＝用360元购买甲种树苗的棵数”；（2）设最多可购买y棵乙种树苗，则甲种树苗最多（50－x）棵，根据不等关系“再次购买两种树苗的总费用不超过1500元”构建不等式即可解决.【解析】（1）设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗的价格(x＋10)元/棵，依题意 解此方程得x＝30.经检验x＝30是原方程的解，且符合实际.x＋10＝30＋10＝40.答：甲种树苗价格是每棵30元，乙种树苗价格是每棵40元；（2）设最多可购买y棵乙种树苗，则甲种树苗最多（50－y）棵，依题意30(1－10%)(50－y)＋40y≤1500解此不等式，得y≤，由于y取整数，所以y最多为11棵.答：他们最多可购买11棵乙种树苗.14.(2018黑龙江大庆，20，4)解方程＝1【思路分析】先去分母后合并同类项解出方程【解答过程】解：经检验时分母x(x＋3)不为0，所以为原分式方程的解.15.(2018湖南邵阳，23，8分)某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？【思路分析】本题考查分式方程和不等式的应用.(1)由题意可设A型机器人每小时搬运xkg材料，则B型机器人每小时搬运(x－30)kg材料，根据相等关系：A型机器人搬运1000kg材料用的时间＝B型机器人搬运800kg材料用的时间，列出分式方程，解出方程即可；(2)根据题意设购进A型机器人a台，则B新机器人购进(20－a)台，由不等关系：a台A型机器人每小时搬运的材料＋(20－a)台B型机器人每小时搬运的材料≥2800kg，解不等式即可.【解答过程】解：(1)设A型机器人每小时搬运xkg材料，则B型机器人每小时搬运(x－30)kg材料，根据题意，列方程：．解得x＝150．检验：当x＝150时，x(x－30)≠0，所以，x＝150是分式方程的解，且符合题意．因此，x－30＝120答：A，B两种型号的机器人每小时分别搬运150kg，120kg材料；(2)设购进A型机器人a台，则B新机器人购进(20－a)台，根据题意，列不等式：150a＋120(20－a)≥2800．解得a≥．因为a是正整数，所以a≥14．答：至少购进A型机器人14台.16.（2018辽宁省抚顺市，题号22，分值12）倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天.(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如果需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？.【思路分析】(1)设乙队的工作效率为x，则甲队的工作效率为x，根据题意可列出方程，解得x=40，即x=60;(2)设甲队至少工作a天，则乙队工作天，根据题意列出不等式，解得a≤10即可.【解题过程】解：(1)设乙队的工作效率为x，则甲队的工作效率为x，根据题意可列出方程，解得x=40，即x=60.答：甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别为60米，40米.（2）设甲队至少工作a天，则乙队工作天，根据题意列出不等式，解得a≤10.答：至少安排甲队工作10天.【知识点】分式方程的应用，一元一次不等式的应用.17.（2018·宁夏，22，6）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克