粒子碰撞物理学第二章讲课稿

粒子碰撞物理学第二章讲课稿第1页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势要合理方便地研究离子同原子间的弹性碰撞问题，首先要取一个简化的、合理的相互作用势V(r)，这是十分必要的。历史上不同的相互作用势函数模型：1.硬球模型（刚性球）V(r)=∞，r<2R0V(r)=0,r>2R0

硬球势函数虽然是一种不符合实际的作用势，然而这种近似却为理论计算带来极大的方便。2.库仑相互作用势：这适用于两个刚性的，没有结构（可看作点电荷）的带电粒子之间的相互作用，比如两个不带电子的原子核之间的碰撞，如质子。在某些特殊场合下，也用可来近似处理。

假如实际情况可以归结为以上两种情况，那问题解决起来就很简单了。但离子和原子的结构并不是那么简单，它们有复杂的结构，是多维度的，而且每种原子的结构还都不一样，这就使得精确讨论这个问题变得很复杂了，难以入手了。第2页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势3.Born-Mayer势：常数A和ρ可用弹性模量和晶格常数等物理量来确定。第3页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势4.玻恩（Born）屏蔽库仑势：考虑到原子结构，也就是考虑到核外电子结构对库仑势的屏蔽作用，所以引入屏蔽因子。使用范围介于原子K层半径和点阵间距之间。并不是一个很好的势函数。第4页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势5、托马斯—费米势（Thomas—Fermi）：加入了修正函数，比较适用于能量在104～105eV的各种注入离子。第5页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势6、林哈德势（Lindhard）：同样采用了修正函数，取不同的S值（S=1,2,3,4，……）可适用于不同的作用距离。也称作负幂势，其缺点是不能用一个单一的解析式表达所有范围内的势函数。第6页，课件共84页，创作于2023年2月§2.1原子间的相互作用势7、韦尔森（Welson）势：适用于高能和低能离子注入，属于比较精确的分析势。第7页，课件共84页，创作于2023年2月以上这些作用势都是一定程度的近似表达法。目前还未找到一个很确定的相互作用势来适合于所有离子原子对之间的通用相互作用势。也就是说，这些相互作用势中的任一种势都不可能在离子的全部能区，全部范围内都适用。由于固体中原子的间距是很小的，因此检验这些相互作用势的实验做起来相当困难。所以只能间接地用离子的散射实验，以及注入离子在固体中的统计分布和计算机模拟来修正这些作用势（加不同的修正系数）。因为一般来讲，仅对表达式中系数做一定的修正，这比建立一个新的表达式方便容易得多。§2.1原子间的相互作用势第8页，课件共84页，创作于2023年2月例如，以测得的入射离子在固体中的统计分布为实验根据，确定入射离子的初始条件（包括能量和位置参数），然后确定离子原子间相互作用势和原子结构即可计算出离子在固体中的最终分布（就像咱们下面几节课要做的一样）。将多次碰撞进行统计平均，然后与实验比较，根据二者的差别反述来修正相互作用势，比如对修正系数或修正函数进行修正，多次的反复修正直到理论与实际的相互作用势和统计分布参数符合到满意为止。第9页，课件共84页，创作于2023年2月§2.2弹性散射和微分散射截面

我们先从硬球模型入手来讨论弹性散射和微分散射截面。可以说采用相互作用势的硬球模型来讨论离子同固体的相互作用问题在一定程度上也是有它合理性的。在离子注入中，入射离子和靶原子之间发生碰撞的最远距离，不超过晶体靶中原子点阵间距的一半（大约是1～3Å之间）。而最小的碰撞间距不会小于0.1Å，整个间距很小。如果我把这个间距忽略掉，那么可以设想，有一个半径为R0的硬球来代替被碰撞的原子。即把每个原子当成一个半径为R0的理想弹性硬球。弹性碰撞只发生在r=2R0处，在r>2R0处则不发生相互作用，这种碰撞称为硬球碰撞。实验上在弹性相互作用时，硬球模型是一种相当合理的近似，且处理方法又很简便。我们在这里用这种模型来引入微分散射截面这个概念。当然在实际的离子注入过程中，入射离子跟靶原子之间的实际相互作用势比这要复杂的多，以此推出的结论自然也会有些不一样。第10页，课件共84页，创作于2023年2月φψE0,v0碰撞参数E1T=E2

在图上，考虑两个半径为R0的硬球碰撞，入射球的质量和能量分别为M1和E0，而开始处于静止状态，被碰撞原子的质量为M2，碰撞时两球心间距为2R0，碰撞前入射球前进线与被碰撞原子之间的距离为P，我们称之为碰撞参数（这是一个很重要的物理参量）。碰撞的结果，入射球由原来的运动方向被偏离了φ角，而将能量T=E2移交给被碰球，也就是靶原子，使其偏移ψ角。对于给定的子弹和靶原子核而言，决定传输能量T的因素，是入射离子的初始能量E0，碰撞参数P和碰撞中起作用的几种力学性质。对于弹性碰撞，利用经典力学理论就可以算出T与P，E的函数关系。第11页，课件共84页，创作于2023年2月根据动量守恒，平行于中心连线的动量分量为：垂直于中心线的动量：利用上式可得到：等式两边各乘以M1/2进而可得出：E1=kE0碰撞后两者的速度分别为V1和V2，从能量守恒出发，有其中（为入射离子弹性碰撞后与碰撞前能量之比，称为运动学因子，在离子束分析技术中，我们要经常用这个参数。）第12页，课件共84页，创作于2023年2月第13页，课件共84页，创作于2023年2月一束均匀而平行的离子束射向静止的原子，根据硬球模型，只有那些碰撞参数在P≤2R0的入射离子发生散射，因而面积4πR02决定了碰撞总截面。第14页，课件共84页，创作于2023年2月具有碰撞参数为P的所有离子都将会偏离φ角，进入一个以被碰撞原子为中心，半角为φ的锥体面上，同理，以被碰撞参数为P+dp入射的离子，将进入半角为φ+dφ的锥面上。dp取极限小时，可以认为处于p+dp面积元的所有入射离子有相同的碰撞参数P。这个环形的面积元我们就称之为碰撞参数为P，散射角为φ的微分散射截面dσ。它的物理意义是粒子碰撞的散射角为φ的几率。由于T取决于φ角，所以能量传递T+dT也由φ+dφ决定，因此上述微分截面也可称为T+dT范围内能量传递微分截面。第15页，课件共84页，创作于2023年2月§2.3散射角与散射截面

这一节我们来求两体碰撞过程中的散射角φ及一般的散射截面。讨论这类碰撞问题，比较方便的做法是同时应用两个坐标系：实验室系和质心系。在碰撞之前，在实验室系内，入射粒子以v0运动，靶原子M2可当作静止不动。碰撞以后，两个粒子分别以速度V1和V2向φ和ψ方向散射。（如图所示）

用质心系描写的碰撞情况画在右图。由于质心系是零动量系，两个粒子先是相对而来，速度分别为v0-vc和-vc。碰撞以后又相背而去。根据动量和能量守恒定律可知，两个粒子碰撞后的速度数值将分别保持不变。因此质心系内的计算相对简单。算出结果以后，再把各个速度转换到实验室系去就行了。第16页，课件共84页，创作于2023年2月转换时用到的速度矢量相加关系画在上图中，从中可推算出以下有用的结果：第17页，课件共84页，创作于2023年2月

把每个粒子相对于质心速度的速度矢量相加，不难导出碰撞后入射粒子和被碰原子的实验室系里的速度：由此可得出入射离子散射后保留能量E1

而被撞原子的能量E2则为：（也就是传递给被撞原子的能量）第18页，课件共84页，创作于2023年2月

从这式子可以看出，当质心系散射角从零增加到π时，入射离子能量从E0减少到E0[1-4M1M2/(M1+M2)2]，传递给被撞原子的能量则从0增加到（最大值）：这是对头碰撞的情况，散射角最大，能量传递最大。这样

可见，要求出碰撞后的能量损失，也就是能量传递，必须先求出散射角θ，下面我们将详细推导出它的表达式。第19页，课件共84页，创作于2023年2月在质心系中，入射离子和被撞原子相对于质心的速率分别为：

于是在质心系中，两粒子相互作用始点或终点处，相对于质心的动能之和还可以求出质心的动能：质心动能与Ec之和为系统总动能，该值恰好等于入射离子的初始动能，这就是能量守恒。第20页，课件共84页，创作于2023年2月我们再回到质心系中：下面是质心系中入射离子和被撞原子的轨迹

我们用极坐标来处理这个问题，坐标原点为质心，α角为角坐标，M1和M2与质心的距离分别为r1和r2，这里他们分别满足：r是两原子间距离，Rm是原子间接近的最小距离，此时连线垂直于极轴，M1的径向和横向速度分别为：ѓ1和r1à，M2的速度分别为ѓ2和r2à，在没有外力约束的情况下，，系统的总能量是守恒的，且在r=±∞时，V(r)=0第21页，课件共84页，创作于2023年2月根据能量守恒定律将r1和r2代入，可得再根据角动量守恒定律，有①②将②代入①，得第22页，课件共84页，创作于2023年2月③（利用了②和③式）对两边积分即可求出散射角：第23页，课件共84页，创作于2023年2月（积分起始点为什么这么取？）第24页，课件共84页，创作于2023年2月积分后，可得这就是我们最后得到的质心系中散射角的表达式，求出与P对应的θ值后，可以根据T(θ)～θ关系【T(θ)=Tmaxsin2θ/2】求出对应的T，而后可求出散射截面σ(E,T)来。但由这个式子可以看出，要算出θ进而算出能量损失，还需要知道两粒子间的相互作用势，下面我们选取一个非屏蔽的库仑势来求一下散射角θ。第25页，课件共84页，创作于2023年2月代入库仑势第26页，课件共84页，创作于2023年2月第27页，课件共84页，创作于2023年2月B称为碰撞直径，它是两个以速度v0作相对运动的同号荷电离子的最小逼近距离（取p=0可得）。第28页，课件共84页，创作于2023年2月利用上式，即可以求出因此，在入射粒子行进的过程中，p相同的靶原子从入射离子得到的能量T是相同的。第29页，课件共84页，创作于2023年2月将这个式子变形，求导，我们还可以得到散射截面与T的关系：第30页，课件共84页，创作于2023年2月我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量，这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，取决于入射粒子和靶的组合情况，还取决于粒子所带能量的高低。§2.4阻止本领

运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下几种类型：（1）原子核碰撞

（2）激发和电离（3）光子产生和发射

（4）核反应

第31页，课件共84页，创作于2023年2月运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（1）原子核碰撞入射离子通过弹性碰撞把能量传给靶原子核，使靶原子获得能量反冲。由于是同靶原子核碰撞的能量损失，所以也叫核能量损失或弹性能量损失。这一种机制主要是低速入射粒子的能量损失的主要方式。（2）激发和电离入射的离子通过与靶内电子的相互作用，而把能量传给靶电子，从而使一些靶原子达到激发态或者电离态。入射粒子用于激发或电离的这部分能量损失通常也叫电子能量损失，或者称为非弹性能量损失。这种损失能量的机制是高速入射粒子损失能量的主要方式。（3）光子产生和发射在入射离子的速度高到达到相对论速度的情况下，入射粒子会在穿过介质时减速而发射光子，从而把损失的能量变成光子能量。（4）核反应当入射粒子和靶的组合满足一定条件，而且碰撞能量达到一定的反应阈能时，会发生核反应，核反应也会用掉入射离子的部分能量。第32页，课件共84页，创作于2023年2月我们已经知道，一个入射粒子打进固态材料中，它在固体中穿行时在整个路径上都必将与固体中的原子发生一系列的碰撞和散射等相互作用，同时在这个过程中，通过一定的方式，逐渐损失掉自身的能量，这些能量或者传递给靶原子了，或者转换成其它形式的能量了。至于离子采取什么方式损失，或者说交换掉自己带的能量，取决于入射粒子和靶的组合情况，还取决于粒子所带能量的高低。§2.4阻止本领

运动的离子在固体靶物质中的能量损失机制（或者说方式），可以有以下几种类型：（1）原子核碰撞

（2）激发和电离（3）光子产生和发射

（4）核反应

后两种主要属于核物理范畴，不在我们的讨论范围。我们主要关心和讨论前两种能量损失机制。第33页，课件共84页，创作于2023年2月

根据入射粒子种类和能区不同，及对不同靶物质，各种相互作用的概率是不同的。因此，在一定情况下，常常只考虑起主要贡献的一种或几种作用，而忽略其他的。于是，带电粒子分为“轻”“重”及“快”“慢”。入射粒子运动方向入射粒子能量损失导致结果重要性与电子非弹性碰撞改变不大不大电子电离或激发是能量损失的主要方式与核非弹性碰撞改变较大不大电磁辐射或原子核激发对粒子是损失能量的重要方式与核弹性碰撞改变较大不大原子核反冲入射能量很低或低速重离子入射时，有重要贡献。与电子弹性碰撞改变很小只有在很低能量（100eV）的粒子入射时才需考虑第34页，课件共84页，创作于2023年2月能量损失问题的重要性

能量损失理论和实验的研究开始于上世纪初，这方面的研究在前一阶段提供了许多关于原子和原子核结构的重要信息。随着核能的利用和核技术的发展，粒子同各种物质的作用所产生和涉及的问题，例如辐射损伤、离子注入射程和射程分布、离子背散射和溅射、离子感生激发等等，都需要知道离子在固体物质中的能量损失情况。因此可以说，有关各种离子在物质中的能量损失是粒子同固体相互作用物理学研究的基础。第35页，课件共84页，创作于2023年2月一般而言，能量损失过程的特征可以用单位路径长度上的能量损失来描述阻止本领的概念可以用代数式表示，又被称为阻止本领（stoppingpower）

如果不考虑光子产生和核反应这两种情况，那么

靶原子的整体平移运动——弹性能量损失入射离子损失掉的能量

激发原子的内部自由度——非弹性能量损失

（即站在原子核上看到的那部分能量损失）第36页，课件共84页，创作于2023年2月由于原子的质量基本上集中在原子核上，弹性能量损失近似地等于粒子与原子核碰撞时的能量损失，通常就称之为核碰撞能量损失。另一方面，由于原子的质心在碰撞中得到的速度变量不是很大，非弹性能量损失近似地等于实验室系中离子与电子碰撞时的能量损失，通常就称之为电子碰撞能量损失。阻止本领的概念

核碰撞能量损失——核阻止本领单位路径长度上的（nuclearstopping）电子碰撞能量损失——电子阻止本领

（electronicstopping）第37页，课件共84页，创作于2023年2月经典的散射理论一般会有如下假设：仅考虑两个原子间的碰撞原子电离和激发仅仅作为能量损失的一种形式，并不影响碰撞的动力学过程，所以电子阻止和核阻止可以分开计算。两个碰撞原子中的一个起始处于静止状态。

这些假定都是经典散射理论的基础和出发点，忽略这些假定就很难用经典理论研究散射过程。那么究竟这些假设合理不合理呢？第38页，课件共84页，创作于2023年2月假设的合理性第一、keV或MeV级的离子同静止原子间的碰撞是激烈的碰撞，碰撞体之间可逼近到小于原子间距以内，所以对三个或更多原子同时碰撞的几率是很小的。第二、忽略电子激发在碰撞动力学中的影响是一种合理的近似，因为传递到电子上的动能比传递到原子上的动能要小得多，因而碰撞后原子的散射角不因电子碰撞而发生明显的偏移，所以散射角可以用弹性散射角来确定。例如KeV能量的重离子同固体原子碰撞时，仅有百分之几的能量消耗在同电子碰撞的能量损失上。第三、在实际的注入过程中，一束离子注进去之后，有可能会发生密集的级联碰撞，并不是所有的一对碰撞原子都会有一个处于静止状态，但如果不做这个假定，不确定因素就太多了。根本无法用理论来具体描述。所以必须做这个近似。在这个假设基础上得出的理论结果，跟实际情况的误差在可以接受的范围内，所以说这个假定也是合理的。第39页，课件共84页，创作于2023年2月

林哈德在1963年发表他们的LSS理论时，对碰撞问题也做了三个基本假定：1、入射离子与靶原子的相互作用，可以分成彼此独立的两个部分（这与前面的第二条假定是对应的）与靶内电子的相互作用与靶内原子核的相互作用那么，阻止本领也就可以写成2、离子与原子核的相互作用势，采用与托马斯—费米势相近的Lindhard屏蔽势

S=2时，其实就是常见的托马斯—费米势，当S取2～3之间时，理论与实际符合的更好些。3、忽略不计靶结构对射程分布的影响第40页，课件共84页，创作于2023年2月在LSS理论中，首先讨论了入射离子对非晶靶的情况。所谓非晶靶，也称为无定形靶，就是靶内原子排列杂乱无章，没有一定的规律，但其原子的密度是均匀的。忽略不计靶结构对射程分布的影响，就是把靶当作非晶靶处理。在目前半导体器件的制作中，为了精确地控制结深，避免沟道效应，往往让靶片的晶轴方向与入射离子束成一定的角度，这时的单晶靶也可以忽略靶结构，当作非晶靶处理。另外，用非晶靶来处理多晶靶中的问题也是比较好的近似。LSS理论——对在非晶靶中注入离子的射程分布的研究第41页，课件共84页，创作于2023年2月§

2.4.1核阻止本领的理论计算对于原子核之间的弹性碰撞，入射离子在dx路程上总共损失的能量(-dE)n可以由下式对不同的散射截面，也就是不同的P值积分得到：E：注入离子在其运动路程上任一点x处的能量N:靶原子密度～51022cm-3forSiSn(E)

：一些书上把Sn(E)也称为原子核的阻止本领，它表示能量为E的一个入射离子，在单位密度的靶内通过微分厚度dx传递给靶原子核的能量，也有把它称之为核阻止截面的。经常记为：第42页，课件共84页，创作于2023年2月粗略计算:一级近似公式与能量无关在粗略的估算中，这是一个非常有用的公式，尤其是在小角度占绝对优势时，用Sn估计出来的射程在一定程度上相当接近于实际值。第43页，课件共84页，创作于2023年2月一、库仑相互作用势下的核阻止本领对于库仑相互作用势，我们前面已经得出：把此式带入前式，并从0到Pmax对P积分，可得到第44页，课件共84页，创作于2023年2月如果库仑势存在屏蔽，在Pmax=a处被截止，上面的式子可写成利用前面得到的核碰撞的截面表达式核阻止本领还可以写成第45页，课件共84页，创作于2023年2月

可以看出，在库仑势作用下,核阻止本领：与Z1Z2

成正比；与M2（也就是靶原子质量）成反比与离子能量成反比（离子能量越高，核阻止本领越小）第46页，课件共84页，创作于2023年2月二、在Lindhard相互作用势下的核阻止本领

求Lindhard相互作用势下的核阻止本领是LSS理论里的一部分主要工作，涉及到的数学知识和数学推导非常多。林哈德等人引入了两个无量纲的参数ε和ρ来计算截面，一个量是路程参数ρ，另一个是能量参数ε，具体形式为：第47页，课件共84页，创作于2023年2月对于林哈德势而言，根据前面得到的散射角计算公式将林哈德势V（r）代入，可以计算出其中第48页，课件共84页，创作于2023年2月C为一个与能量无关，但跟入射离子和靶原子有关的常数。当θ不大时（小角散射近似），可以导出引入一个新中间量由以上式子出发可以得到核阻止本领表达式约化核阻止本领：第49页，课件共84页，创作于2023年2月

在实际计算中，齐格勒（Ziegler）给出了如下的约化核阻止计算公式：当ε>30，当ε≤30，第50页，课件共84页，创作于2023年2月低能量时，核阻止本领随能量的增加而线性增加，Sn(E)会在某一中等能量时达到最大值。较高能量时，由于高速粒子没有足够的时间和靶原子进行有效的能量交换，所以Sn(E)变小。更高能量时，随能量的增加，Sn(E)→0核阻止本领与能量的关系第51页，课件共84页，创作于2023年2月As,P,B在硅中核、电子阻止本领与能量关系计算值几种常用离子在硅中的核阻止本领与能量关系第52页，课件共84页，创作于2023年2月§2.4.2电子阻止本领的理论计算

电子阻止本领是指入射离子与靶内电子碰撞时的单位路径长度上的能量损失，也就是非弹性能量损失。一般可以将入射离子与靶内电子的碰撞分为四种情况讨论：（主要是依据离子是高能还是低能，电子是看作束缚还是自由电子来区分）1.高能粒子与靶内束缚电子的相互作用2.高能粒子与靶内自由电子的相互作用3.低能离子与靶内束缚电子的相互作用4.低能离子与靶内自由电子的相互作用第53页，课件共84页，创作于2023年2月经典还是量子方法？原则上处理这些情况最好都用量子力学方法，这会与实际情况符合的好一些，但在某些情况下量子力学求解起来非常繁杂，所以历史上针对这些不同的情况曾出现过不同的理论模型和方法，有经典的，有量子的。还有经典方法结合量子修正的。判断什么情况下可用经典的方法，玻尔曾提出一个著名的判据，叫玻尔判据，根据这个判据可以判定是否可以用经典的方法来处理问题。玻尔判据根据这个判据：低速离子可用经典力学的方法高速离子应该用量子力学方法其中v0为玻尔速度，v0=e2/h,v为离子速度第54页，课件共84页，创作于2023年2月

下面就这几种不同的情况来介绍一下几种求电子阻止本领的不同理论模型和方法。第55页，课件共84页，创作于2023年2月一、高能粒子与靶内束缚电子的相互作用

这种计算方法可以直接用动量近似来计算电子的阻止本领，即认为离子以高速v从电子旁掠过，离子因与电子作用而产生的散射角很小，入射离子几乎沿着z轴直线前进，两个粒子之间的动量转移可以这样计算出来：M1,vθrpeF┴z（水平分力无贡献）库仑力：（一）经典计算---动量近似第56页，课件共84页，创作于2023年2月（一）经典计算---动量近似M1,vθrpeF┴z第57页，课件共84页，创作于2023年2月电子所得到的能量：考虑到原子核对电子的束缚作用，可以得出：Pmin≠0,Pmax≠∞（绝热隔断）ω：电子在原子核周围的运动频率第58页，课件共84页，创作于2023年2月前面的课曾经得到：所以高速带电粒子的这两部分能量损失之比约为：

所以在高能区内，核阻止本领相对于电子阻止本领可以忽略不计，只需要考虑(-dE/dx)e即可。第59页，课件共84页，创作于2023年2月（二）高能粒子与靶内束缚电子的相互作用的量子力学计算

把入射离子与被碰撞的原子作为一个体系看待。那么体系的哈密顿量可以表示成：其中V是离子-原子间的相互作用势。Ho则可写成两项之和：t=0时，自由入射粒子的哈密顿,孤立靶原子的哈密顿第60页，课件共84页，创作于2023年2月假设离子-原子间相互作用微弱，即假设V相对于Ho来说是一个小量。这样即可以利用波恩近似（一级微扰理论）处理求解薛定谔方程。

再假定体系在t=to时处在未受扰动的哈密顿量Ho的一个本征态上，即设体系的波函数为：其中uno满足定态方程这就是薛定谔方程的初始条件。把ψ（t）按Ho的本征函数un展开：第61页，课件共84页，创作于2023年2月根据波函数的正交性及一级微扰假设，可得其中为跃迁矩阵元，而是时刻t时发现体系处在态uk的几率由此还可计算单位时间内跃迁到态uk的几率为在（t-to）→∞时，跃迁率趋向于一个与时间无关的表达式：第62页，课件共84页，创作于2023年2月然后，求出单位立体角的跃迁几率：它是单位时间内，把原子激发到φn态，而离子则往（θ，φ）方向的单位立体角散射的几率。

把这个几率除以单位时间内的入射粒子数Jo（入射离子的通量），就得到一个离子的非弹性散射的微分散射截面（也叫一个离子单位立体角的跃迁几率）。于是电子阻止本领可以表示为：第63页，课件共84页，创作于2023年2月对于离子-原子散射，势函数为：它是离子与核外Z2个电子和离子与原子核的相互作用势的叠加（有多少个电子，就有多少个ri）。hq是由离子转移给原子的动量，于是可得出：把它带入前面所得的式子，可得出：第64页，课件共84页，创作于2023年2月这个公式称为贝特—布洛赫公式，式中的I称为原子的平均电离势，这就是考虑高速离子与靶内束缚电子的相互作用的情况下得到的电子阻止本领的量子力学结果。这个公式中，别看形式比较简单，最难计算的是平均电离势I

，它牵涉到原子的性质，所以不等于有了算式就可以计算出来。目前只有对氢原子才能精确的计算出I的值。即使对于氢原子，I的计算也是非常繁杂的，这里给出氢原子的I值计算结果：对H,I=15eV第65页，课件共84页，创作于2023年2月二、高能粒子与靶内自由电子（气）的相互作用前面的讨论中，电子都是原子中的电子，实际上还存在另外一类电子，例如金属中的价电子，它们并不固定地从属于原子，而是在正离子晶格点阵中自由运动。假如不考虑电子间的相互作用，这类电子可以看成是在正的本底电场中的自由电子气。带电离子在自由电子气中的能量损失可以用完全不同于“碰撞”图像的另外一种图像，即“极化”图像来描述。这种描述称为介电描述，这部分我们简单介绍一下Lindhard的介电描述。介电描述并不是只能应用于金属，只要把原子中局部区域中的电子云近似看成是均匀的自由电子气，那么介电描述也可以应用于一般原子中。第66页，课件共84页，创作于2023年2月在Lindhrd的介电描述中，当一个带正电的运动离子在电子气中通过时，电子受到吸引，向着入射离子的路径靠拢。-e-e-e-e-e-e-e-eEpolEind这一极化效应在离子的近处比远处强，在离子的后面比前面强。结果，由于电子的堆积，在垂直于粒子路径的方向上感生出一个电场Epol，在与路径相反的方向上感生出另一个电场Eind。第67页，课件共84页，创作于2023年2月1、形成极化场Epol

使远处的电子截断使近处的电子在平衡位置振动2、形成感生场（与离子运动方向相反）Eind：使入射粒子慢化感生场Eind是入射离子慢化的原因，而极化场Epol的作用则是使得远处的电子不再像入射离子的路径靠拢，在足够远的地方，场强Epol可能与入射离子产生的场强Edir一样大小，那里的电子不再受到入射离子的作用，无从吸收能量，带电粒子的能量损失也就截断了。同时，近处电子在这两个电场的作用下，会在平衡位置上下振动，形成电子云的一种密度振荡。在感生场Eind的作用下，带电粒子受力F=Z1eEind

入射粒子一边运动，一边克服这个力做功，并逐渐损失能量。第68页，课件共84页，创作于2023年2月因此，能量损失可以写成：感生电场由感生电势决定：而感生电势满足根据高斯定理：电荷密度变化→介电常数变化，需要用到量子力学来处理。第69页，课件共84页，创作于2023年2月三、低速离子与靶内自由电子的相互作用在这种情况下，将靶内电子看作是自由电子气，主要是借用了托马斯和费米两人提出的原子模型，他们假设V（r）（电势分布）随r的变化不陡峭，以致在r→r+dr的一层球壳内可以认为V(r)→常数。这意味着电子在这个区域内运动时几乎不受力，这样就可以在该处视电子为自由电子气，借用自由电子气的费米统计模型可以得到该处的电子密度与费米动量的关系：第70页，课件共84页，创作于2023年2月

一个动量为q，质量为M1的离子在电子气中运动。它在dx路程上的能量损失可以写成：其中（-dq//）是离子沿速度v方向的动量减小，因此即单位路程上的能量损失等于单位时间内的动量减小，要计算（-dE/dx)e，关键的量是离子-电子碰撞时的动量变化。第71页，课件共84页，创作于2023年2月于是我们的问题就变成计算电子在固定不动的离子的屏蔽库仑势中的散射了。把一个电子和离子的单项碰撞的动量变化计算出来，乘