高等数学课件-D12-4函数展开成幂级数

第四节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数

二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十二章7/23/2023同济版高等数学课件一、泰勒(Taylor)级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项

.则在复习:

f(x)的n

阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:7/23/2023同济版高等数学课件为f(x)

的泰勒级数.则称当x0=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数

.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,7/23/2023同济版高等数学课件定理1

.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是

f(x)的泰勒公式余项满足:证明:令设函数f(x)在点x0的某一邻域

内具有7/23/2023同济版高等数学课件定理2.若f(x)能展成x

的幂级数,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.则这种展开式是7/23/2023同济版高等数学课件二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开7/23/2023同济版高等数学课件例1.

将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数7/23/2023同济版高等数学课件例2.

将展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足7/23/2023同济版高等数学课件对上式两边求导可推出:7/23/2023同济版高等数学课件例3.

将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,7/23/2023同济版高等数学课件推导推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为7/23/2023同济版高等数学课件称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得7/23/2023同济版高等数学课件对应的二项展开式分别为7/23/2023同济版高等数学课件例3附注7/23/2023同济版高等数学课件2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.

将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.7/23/2023同济版高等数学课件例5.

将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,域为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛7/23/2023同济版高等数学课件例6.

将展成解:

的幂级数.7/23/2023同济版高等数学课件例7.

将展成x－1的幂级数.解:

7/23/2023同济版高等数学课件内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.7/23/2023同济版高等数学课件当m=–1时7/23/2023同济版高等数学课件思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:

后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:7/23/2023同济版高等数学课件作业

P2832(2),(3),(5),(6);

3

(2);4;6

第五节7/23/2023同济版高等数学课件备用题1.将下列