第3章-非稳态导热教材课件

1已知有一根内直径为200mm、壁厚为36mm的长圆筒壁，两侧表面温度分别为50℃和20℃。已知圆筒壁材料的导热系数为λ=0.56（1+0.0018t）W/(mK)(其中t的单位为℃)，试计算通过单位长度圆筒壁的导热量。这是圆管壁的一维稳态导热问题圆筒壁的平均温度为

平均导热系数为

单位管长的热流量为d1d2W/m解d1=200mmd2=d1+2=200+236=272mmtw1=50ºCtw2=20ºCm=0.56（1+0.0018t）=0.56×(1+0.0018×35)=0.5953W/(mK)

2水20oC铁块300oC第3章非稳态热传导3.1非稳态导热的基本概念3.2零维问题的分析法-集中参数法3.3典型一维问题非稳态导热的分析解3.4半无限大物体的非稳态导热3.5简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解3.1非稳态导热的基本概念3.1.1非稳态导热过程的类型及特点3.1.2导热微分方程解的唯一性定律3.1.3第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响返回53.1.1非稳态导热过程的特点正规状况阶段非正规状况阶段看出非稳态导热过程的温度分布可分为两种类型：在边界温度刚开始影响金属壁时的温度分布。这时，温度分布受导热体中初始温度影响比较明显，称为非稳态导热的非正规状况阶段；当过程进行一定时间后，导热体中温度分布主要受热边界条件影响，该阶段称为非稳态导热的正规状况阶段导热体内温度变化过程：首先，靠近壁面附近的区域温度很快升高，其余部分仍保持原来温度不变随时间推移，中心区域的温度也开始发生变化当时间足够长时，导热物体温度分布达到稳态时分布，并不再随时间变化。温度场变为t=f()，导热变成零维问题。处理0维非稳态导热问题时，由于内部温度均匀，可以认为固体的质量和热容量均集中到一点上，因此整个固体的所有参数可由固体中某一点的温度来代表，这种处理问题的简化方法称为集中参数法（也称集总参数法）。3.2零维问题的分析法-集中参数法1.问题描述一任意形状固体，初始温度为t0，突然置于温度为t∞的流体中。已知物体的体积V、表面积A、导热系数λ、密度ρ及比热容c且均为常数，物体表面与流体间的表面传热系数h也已知且为常数。假设该物体的非稳态导热满足看作0维非稳态导热的条件，要求确定导热体温度随时间τ变化的规律该问题物理特点：

0维、非稳态、常物性、无内热源、第三类边界条件导热问题3.2.1集中参数法温度场的分析解9dτ时间段内，满足能量守恒分离变量得2.数学模型初始条件控制方程10令θ=t-t，θ称过余温度，则有

积分3.求解温度随时间变化规律114有关热量的计算瞬时换热量物体内的导热量=0导热体表面在0~时间段内的总换热量当τ为无穷大时，导热体与周围流体总换热量为36.8%5%一般认为当时间为4倍时间常数后，导热体的过余温度接近0，可以认为导热体已经与周围流体达成了热平衡。时间常数大，则热平衡时间越长，因此时间常数是反映非稳态导热时导热体温度变化快慢的一个重要参数。注意：时间常数不是导热体本身的一个固有属性，它和导热体与所处环境的换热条件有关。因此，时间常数对热电偶测温的反应速度有重要影响，但不是热电偶本身能够决定的指标3.2.2时间常数3.2.3集中参数法的适用范围半径为R的球体，取半径为R的圆柱，取厚度为2δ的平板，取时，物体中最大与最小温度之差小于5%此时，可以认为导热为0维导热问题，能够应用集中参数法进行求解如果采用取lc=V/A

作为特征长度，则平板BiV=Bi

M=1

圆柱

BiV=Bi/2M=1/2

球

BiV=Bi/3

M=1/3M是与物体几何形状有关的无量纲常数1415例题用水银温度计测量管道中原油的温度，原油温度为70℃

。温度计的水银泡呈圆柱形，长20mm，直径为7mm，初始温度为10℃

，设水银泡同原油间对流传热系数为42W/(m2K)，试计算此条件下温度计的时间常数，计算插入2分钟后温度计的读数？水银的物性参数为c=0.138kJ/(kgK)，ρ=13110kg/m3，λ=10.4W/(mK)。解（1）以水银泡为研究对象，首先检验是否可用集总参数分析法。

可以采用集总参数分析法计算（2）时间常数为

（3）2分钟后温度计的读数st=62℃16初始温度为20℃的热电偶突然放入300℃的空气中，30秒钟后热电偶的指示温度为160℃。试求：（1）该热电偶的时间常数；（2）热电偶的指示温度上升到290℃时所需的时间可认为满足Bi<0.1

解(1)求时间常数(2)求时间s

3.3典型一维问题非稳态导热的分析解本节简要介绍大平板、圆柱与球三种形状固体在第三类边界条件时的一维非稳态导热温度场的分析解法，重点是问题的物理和数学描述及解的应用方法，求解过程不要求掌握。一维假定对于平板来说指温度仅沿厚度方向变化；对圆柱和球温度则仅沿半径方向发生变化3.3.1三种几何形状物体温度场的分析解3.3.2非稳态导热正规状况分析解的简化3.3.3非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法3.3.4分析解应用范围的推广及Fo数和Bi数对非稳态导热过程影响的讨论返回数学描述3.3.1三种几何形状物体温度场的分析解物理描述（以大平板为例） 直角坐标系下一维、非稳态、常物性、无内热源、两侧第三类边界条件导热问题。根据对称性，取平板一半进行研究返回1﹑无限大平板瞬态加热（或冷却）的分析解傅立叶准则数采用分离变量法进行求解，可得采用无穷级数形式表示的分析解结果

有关热量的计算

1)任一位置处的导热量3)0～时间段内换热量2)瞬时换热量4)0～时间段内换热量3.3.2非稳态导热正规状况分析解的简化研究表明，当Fo数大于0.2以后，非稳态导热进入正规状况阶段，初始条件的影响基本消失。此时，一维非稳态导热问题无穷级数分析解中第二项及以后各项可以忽略不计，这时分析解的形式可以得到简化。即使在正规状况阶段，分析解的结果比较简单时，其计算过程由于涉及Bessel函数的计算，也不太方便。工程上为了方便，曾经广泛采用Heisler等人提出的诺模图(nomogram)法。下面以无限大平板的一维非稳态导热为例简要介绍该方法。3.3.3非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法平板中任意一点的值为

1、平板中心（x=0）的过余温度2、平板中任一点的过余温度与同时刻平板中心过余温度之比

思考讨论一侧绝热、另一侧为第三类边界条件时，应如何求解？固体的表面温度发生一突然变化后保持不变，即第一类边界条件，如何求解？说明、的物理意义。各代表什么样的换热条件？3.3.4分析解应用范围的推广及Fo数和Bi数对非稳态导热过程影响的讨论分析解的应用范围前面有关分析解结果对于物体被加热和被冷却情况均适用。除平板两侧均为第三类边界条件外，以下两种情况也均适用： （1）平板一侧绝热，另一侧为第三类边界条件； （2）平板两侧面均为第一类边界条件且维持在相同的温度。Fo数对一维非稳态导热过程的影响物体中各点过余温度随τ增加而减小。由于Fo数与τ正比，所以物体中各点的过余温度亦随Fo数的增加而减小。Bi数对一维非稳态导热过程的影响Bi数越小，内部导热热阻也相对越小，内部温度也越均匀；当Bi数趋于0时，可以忽略内部导热热阻，认为固体内部是均匀的。Bi数越大，表面换热强度越高；当Bi数趋于无穷大时，表面对流传热条件相当于第一类边界条件。返回(1)Bi时，内部导热热阻起决定作用，外部表面对流热阻可忽略，故twt，实际成为第一类边界条件问题(2)Bi0时，内部导热热阻可忽略，内部温度趋于一致，随时间进展温度同时变化。温度随时间变化关系主要受对流过程影响(3)Bi数为有限大小时，内外热阻共同起作用，两者都不能忽略3.4半无限大物体的非稳态导热半无限大物体是指从x=0的界面开始可以向正向以及上下方向上无限延伸，而在每一个与x坐标垂直的截面上温度均相等的物体。半无限大物体相当于是一个一侧方向厚度为无穷大的大平板。尽管自然界实际上不存在真正的半无限大物体，但也有不少导热问题可近似看作半无限大物体的导热问题。如一块有限厚度的平板，当一侧表面突然被加热，在短时间内当边界条件的影响尚未深入到平板内部中去时，可以近似作为半无限大物体的导热问题处理。3.4.1三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解3.4.2半无限大物体导热量的计算式3.4.3半无限大物体分析解的讨论

例题返回3.4.1三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解有一半无限大物体，常物性且无内热源，初始温度均匀为t0。在某一时刻，x=0的侧面突然收到热扰动，试确定物体内温度分布随时间变化规律。本节分析的热扰动可以包括三种情况：（1）表面温度突然变化到tw，并保持恒定不变；（2）表面受到恒定的热流加热；（3）表面与温度为t∞的流体进行对流传热。下面主要介绍第一类边界条件时的分析解结果。第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热的数学描述温度场的分析解为：称为误差函数，其数值可在书末附录中给出返回3.4.2半无限大物体导热量的计算式根据前面温度分布的求解结果，在第一类边界条件下，从初始时刻到某一指定时刻半无限大物体表面与外界的换热量为：从公式中可以看出，半无限大物体在0-时间内的总导热量与成正比。称为吸热系数，其大小代表了物体向与其接触的高温物体吸热的能力思考题：冬天为何手接触木制门和金属制的把手冷热感觉不同？返回3.4.3半无限大物体分析解的讨论误差函数随自变量的变化趋势如图所示，可知，自变量越大，误差函数值也越大。这表明，当时，可以认为该x处的温度仍然保持初始温度不变。（1）从几何位置上说，在τ时刻，对于区域，可以认为这些区域的温度保持初始温度不变，即该区域尚未受到边界条件的影响（2）从时间上说，在x位置处，当时，可以认为x处位置的温度仍保持初始温度不变，即此时该位置尚未受到边界条件的影响也叫惰性时间返回3.5简单几何形状物体多维非稳态导热的乘积解法在多维非稳态导热问题中，几种简单几何形状物体的分析解，可以用几个相应的一维非稳态导热的分析解相乘得到，这种求解多维非稳态导热问题的方法称为乘积解法。这几种简单几何形状的物体包括矩形截面的二维长柱体、短圆柱体以及立方体。如图所示。假定物体的初始温度是均匀的，记为t0，然后在某一时刻与温度为t∞的流体发生对流传热，表面传热系数为h。下面介绍如何采用乘积解法求导热体内温度分布矩形截面的长柱体可以看作为两块不同厚度的大平板相贯得到的，从而可根据两块大平板的分析解结果得到长柱体内的温度分布规律对于长柱体内某点(x,y)，其温度与时间关系为：短圆柱体可以看作为由一块大平板和一个长圆柱相贯得到的，从而可根据大平板和长圆柱的分析解结果得到短圆柱体内的温度分布规律对于短圆柱体内某点(x,r)，其温度与时间关系为：立方体在三个坐标方向温度均变化，可以看作为由三块厚度不同的大平板相贯得到的，从而可根据三块大平板的分析解结果得到立方体内的温度分布规律对于立方体内某点(x,y,z)，其温度与时间关系为：乘积解法只适用于下列情况：物体初始温度均匀；周围介质温度均匀；表面传热系数均匀；常物性；没有内热源。对于第一类边界条件情形，可以看成是表面传热系数为无穷大时的一个特例，因此也是适用的。上述三种多维非稳态导热过程从初始时刻到任意时刻的导热量也可以采用类似求解温度分布的乘积解法的模式得出，书中有介绍，了解一下即可。返回