湖南省邵阳市湘第四中学高二数学理下学期摸底试题含解析

湖南省邵阳市湘第四中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为?=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．2.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：A略3.在△ABC中，若，，BC=4，则BC边上的高AD的长是A.

B.

C.或

D.或参考答案：C由正弦定理得，，所以，∠B=60°，由BC>AC，所以∠A可能为钝角又可能为锐角，过C作AB的垂线CE，∠B=60°，则BE=2，因为，则，，所以AE=1，若A为锐角则AB=3，；若A为钝角则AB=1；综上可知，BC边上的高AD的长是或，故选择C.4.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C5.设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．5

B．3

C．7

D．3或7参考答案：D6.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为

(

)

A．24种

B．48种

C．72种

D．96种参考答案：C7.已知数列与则它们所有公共项的个数为（

）

参考答案：B8.已知数列,3,,…,,那么9是数列的（

）A.第12项

B.第14项

C.第15项

D.第13项参考答案：B9.设a，b为正实数，则“a＜b”是“a－＜b－”成立的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件

D．充要条件参考答案：D10.（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间[0，π]上的最小值为______________．参考答案：略12.设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：2【点评】本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确求出双曲线的渐近线，属于基础题．13.观察下列等式照此规律，第n个等式为________．参考答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2略14.若直线被两平行线所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角可以是：

①

②

③

④

⑤

其中正确答案的序号是

.（写出所有正确答案的序号）参考答案：①⑤15.设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为2，则p的值为

．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】如图所示，F（，0）．|由于AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．利用抛物线的定义可得xA，代入可取yA，再利用S△ACE=，即可得出．【解答】解：如图所示，F（，0）．|CF|=3p．∵AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，∴|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．∴xA+=，解得xA=p，代入可取yA=p，∴S△ACE==2，解得p=2．故答案为：2．16.已知向量，若，则______；若则______。参考答案：解析：若，则；若，则17.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD-A1B1C1D1上的截面为等边三角形；③四面体MBCN的体积的最大值为；④直线D1M与直线A1N的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）参考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．③设，则＝dM﹣BCN=，故③成立；④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故④不正确；【详解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．③设，则＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，当且仅当时取得最大值，故③成立；④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）若二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：(1)由得，.∴.又，∴，即，∴，∴.∴.(2)等价于，即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在的最小值大于即可．∵在上单调递减，∴，由，得.19.如图，设点P从原点沿曲线向点A（2，4）移动，记直线OP、曲线及直线所围成的面积分别记为，若，求点P的坐标．参考答案：略20.设函数，曲线过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：．参考答案：（I）

由已知条件得，解得

…………….6分

（II），由（I）知设则

…….12分略21.已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．参考答案：(1)的递增区间为，递减区间为．(2)最大值，最小值．分析：（1）求导数后，由可得增区间，由可得减区间．（2）根据单调性求出函数的极值和区间的端点值，比较后可得最大值和最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，