2022年湖南省衡阳市耒阳市枫泉中学高三数学理摸底试卷含解析

2022年湖南省衡阳市耒阳市枫泉中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}的公差不为零，若a1、a2、a6成等比数列且和为21，则数列{an}的通项公式为（）A．an=3n+1 B．an=3n C．an=3n﹣2 D．an=3n﹣5参考答案：C考点： 等差数列的通项公式．专题： 等差数列与等比数列．分析： 等差数列{an}的公差不为零，设为d，根据a1、a2、a6成等比数列，且和为21，求出a1与d的值，即可确定出通项公式．解答： 解：∵等差数列{an}的公差不为零，设为d，∴a2=a1+d，a6=a1+5d，∵a1、a2、a6成等比数列，且和为21，∴a22=a1?a6，a1+a2+a6=21，即（a1+d）2=a1（a1+5d），3a1+d+5d=21，解得：a1=1，d=3，则数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，故选：C．点评： 此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．2.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是参考答案：A略3.，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

参考答案：B略4.已知三棱锥A-BCD中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（

）A. B.24π C. D.6π参考答案：C【分析】作出三棱锥A-BCD的外接长方体，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A-BCD的外接长方体，如下图所示：设，，，则，，，上述三个等式相加得，所以，该长方体的体对角线长为，则其外接球的半径为，因此，此球的体积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.5.将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱锥的体积是a2×a=，故选：A【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．6.已知，，则函数的大致图象是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．7.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A.60种 B.70种 C.75种 D.150种参考答案：C试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．8.参考答案：C9.若，则目标函数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.为了求函数f（x）=2x+3x﹣7的一个零点（精确度0.05），某同学已经利用计算器得f（1.5）=0.32843，f（1.25）=﹣0.8716，则还需用二分法等分区间的次数为（）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜0.05，即可得出结论．【解答】解：设须计算n次，则n满足＜0.05，即2n＞20．故计算5次就可满足要求，所以将区间（1，2）等分的次数为5次，第一次次为（1，1.5），第二次为（1.25，1.5）所以将区间（1.25，1.5）等分的次数为3次．故选：B．【点评】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）.则甲获得比赛胜利的概率为

；设比赛结束时的局数为，则随机变量数学期望

.参考答案：;.12.设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是

．（相交、相离、相切）参考答案：相离13.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为．已知数列满足，有以下结论：①若，则；②若，则可以取3个不同的值；③若，则是周期为3的数列；④存在且，数列是周期数列．其中正确结论的序号是（写出所有正确命题的序号）．参考答案：①②③14.如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为，则AD=

。参考答案：15.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即ab=,a,b是正实数，已知1=3,则函数的值域是

．参考答案：（1，+∞）16.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域（阴影部分）.向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则cosC﹣2sinB的最小值为

． 参考答案：﹣1【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】利用余弦定理化简已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，进而利用余弦定理可求cosA=，可得A=，C=﹣B，利用三角函数恒等变换的应用化简可得cosC﹣2sinB=﹣sin（B+），进而利用正弦函数的图象和性质可求最小值． 【解答】解：在△ABC中，∵=， ∴=，整理可得：b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA==， ∴A=，C=﹣B， ∴cosC﹣2sinB=cos（﹣B）﹣2sinB=﹣sinB﹣cosB=﹣sin（B+）≥﹣1，当B+=时等号成立， 即当B=，C=时，cosC﹣2sinB的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了学生的运算求解能力和转化思想，属于基础题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（几何证明选讲选做题）如图，的直径，P是延长线上的一点，过点P作的切线，切点为，连接，若，则_______.参考答案：【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1【答案解析】3

∵PC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥PC，得∠OCP=90°

∵△AOC中，AO=CO=3cm，∠A=30°

∴∠ACO=30°，∠AOC=120°

得∠ACP=120°，∠P=180°-（∠ACP+∠A）=30°

由此可得∠A=∠P=30°，得AC=CP

△AOC中，，即，得AC=3∴CP=AC=3，即PC=3故答案为：3【思路点拨】根据圆的切线的性质得到∠OCP=90°，由AO=CO且∠A=30°，算出∠ACO=30°，从而得出∠ACP=120°．利用△ACP的内角和算出∠P=30°，得到AC=CP．最后在△AOC中，利用正弦定理解出AC=3，即可得到PC之长．19.在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.参考答案：【知识点】数列的求和；等差数列的性质．D2D4【答案解析】（I）（II）解析：（I）由题意知，

...................

2分即，解得，

...................

4分所以数列的通项公式为.

...................

6分（II）由题意知.

...................

8分所以.

因为.

...................

10分可得，当n为偶数时，

当n为奇数时，所以.

...................14分【思路点拨】（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得bn=a=n（n+1），因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）nn?（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出．20.本小题满分10分）已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,bM时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.参考答案：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，.

………5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即.

………10分21.（12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II）求点到平面AED的距离

参考答案：解析：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（Ⅱ）解：

22.函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（1）写出f（x）的最小正周期及图中x0、y0的值；（2）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．参考答案：考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）直接