立体几何的2018高考的

2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷一．选择题（共11小题）1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）TOC\o"1-5"\h\z0],02,过直线0]02的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A.12伍 B.12C.8迈 D.1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CJ的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A.返B.逅C.逅D.近2222在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA石.3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A.丄B.• C. D.‘5 6 5 2某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC】与平面BBff所成的角为30°,则该长方体的体积为（）A.8B.6.2C.8.2D.8方7.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且面积为9.3，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（ ）A．12.弓B.18.EC.24.弓D.54A．8．8．9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,9．面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A.2.击B.2.gC.3D.2已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.， B. C. D.4 3 4 2已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为亡SE与平面ABCD所成的角为2，二面角S-AB-C的平面角为3，贝）A.“W -B. 4C.“W_D. .1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1二.解答题（共8小题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.（1） 设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2） 设PO=4,OA、OB是底面半径，且ZAOB=90°，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与0B所成的角的大小.13.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.（1） 证明：平面PEF丄平面ABFD；（2） 求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

14.如图，在三棱锥P-ABC中，AB二BC=2.2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明：PO丄平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.15.如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC丄平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2.3，ZBAD=90°.求证：AD丄BC；求异面直线BC与MD所成角的余弦值；求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.16.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.证明：平面AMD丄平面BMC；在线段AM上是否存在点P，使得MC〃平面PBD?说明理由.

17.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD丄平面BMC；(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.18•在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA^AB,AB】丄B&.求证：(1)AB〃平面A1B1C；19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD丄平面ABCD，PA丄PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：PE丄BC；求证：平面PAB丄平面PCD；求证：EF〃平面PCD.2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为0],02，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A.12^2B.12C.8施 D.1【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为0],02，过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R2=8，解得R=月,则该圆柱的表面积为：兀・（隈）2+2；2兀X2/2=10n故选：D.3•在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC】的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A.‘ B. C. D.2222【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），AE=（-2，2，1），五=（0，-2，0），设异面直线AE与CD所成角为，则隔迥=亠丄，|AEH|CD| 3・••异面直线AE与CD所成角的正切值为卡故选：C.

4•在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1,AA广.3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）B．B．C..D..6 5 2【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，•・•在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AAi=.3,・・・A（1，0，0），D1（0，0，貞），D（0，0，0）,B1（1，1，.©，AD；=（-1，0，换），DB；=（1，1，换），设异面直线AD1与DB1所成角为，・••异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为故选：C.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）DD.8解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.故该几何体的体积为：V=*（i+2）吃叮二故选：C.6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AC1与平面BBff所成的角为30°,则该长方体的体积为（ ）A.8B.6.2C.8.2D.8/3【解答】解:长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,即ZAC1B=30°,可得BC1= =2・方.tan30°可得BBi=•（2护边宀2"-所以该长方体的体积为：2X2^2.2=8.2-7.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且面积为9.3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（ ）A.12.弓B.18.弓C.24.弓D.54.：弓【解答解:△ABC为等边三角形且面积为9.弓，可得#乂AB-93,解得AB=6,球心为0,三角形ABC的外心为0,显然D在0的延长线与球的交点如图：°知爭音朋，00彳梓-（2近产2,则三棱锥D-ABC高的最大值为：6,则三棱锥D-ABC体积的最大值为：寺況冷^x6‘=18.3-故选：B.8．8．A．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA丄底面ABCD,AC=角,CD二.号，PC=3,PD=2.弓，可得三角形PCD不是直角三角形.所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB,△PBC,△PAD．9•某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A.2.击B.2.gC.3D.2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：：耳p=2•.污.故选：B.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A. B. C. D.4 3 4 2【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长#明明就的最大值为：6X故选：A.

已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为亡SE与平面ABCD所成的角为2，二面角S-AB-C的平面角为3，贝）A吞2<3B3^夢1C- 3^2D.2^3W1【解答】解：•・•由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.过E作EF〃BC，交CD于F，过底面ABCD的中心0作ON丄EF交EF于N，连接SN，取CD中点M，连接SM，OM，0E，则EN=OM，则1=ZSEN， 2=ZSEO， 3=ZSMO.显然，1， 2， 3均为锐角.=_SN=_SN1ME0M•I占3，又 3喑，2=f，S"SM，3三二.解答题（共8小题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设P0=4,OA、OB是底面半径，且ZAOB=90°,M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与0B所成的角的大小.•・•圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长2-22・圆锥的体积V=寺沈兀XFXh=yX兀X22x2-22（2）TPO=4,OA,0B是底面半径，且ZAOB=90°,M为线段AB的中点，・••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴,建立空间直角坐标系,P（0,0,4）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,M（1，1，0），O（0，0，0），丽（1丽（1,1,-4）,OB=（0,2,0）,设异面直线PM与OB所成的角为，IpmIHobI6=arcco^-.6・••异面直线PM与OB所成的角的为arccos^L

13.如图，四边形13.如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点,把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.（1） 证明：平面PEF丄平面ABFD；（2） 求DP与平面ABFD所成角的正弦值．以DF为折痕【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点,则怔岭机，EF^fEC，由于四边形ABCD为正方形，所以EF丄BC.由于PF丄BF，EFGPF=F，则BF丄平面PEF.又因为BFu平面ABFD，所以：平面PEF丄平面ABFD.（2）在平面DEF中，过P作PH丄EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH丄EF，贝UPH丄面ABFD，故PH丄DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE〃BF且PF丄BF，所以PF丄DE，又因为APDF竺ACDF,所以ZFPD=ZFCD=90°,所以PF丄PD,由于DEGPD=D，贝UPF丄平面PDE,因为BF〃DA且BF丄面PEF,所以DA丄面PEF,所以DE丄EP.设正方形边长为2a,则PD=2a,DE=a在APDE中，PE二方；3,故Vf_pde=又因为iF=ya"2a=a2?所以PH= =J-a,所以在厶卩日。中，sinZPDH==LPD4即ZPDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：#14.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2.2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明：PO丄平面ABC；若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

【解答】（1）证明：TAB=BC=2血,AC=4,・・・AB2BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，.・OA=OB=OC,・.・PA=PB=PC,.•.△POA竺APOB竺△POC,.・・ZPOA=ZPOB=ZPOC=90°,・・.PO丄AC,PO丄OB,OBAAC=0,・・PO丄平面ABC；（2）解：由（1）得PO丄平面ABC,PO=p*_A护二2.3,S^COM= =&设点C到平面POM的距离为d•由VP_OMC=VC_POMn,解得d吕严,・••点C到平面POM的距离为罟L15.如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC丄平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2.3，ZBAD=90°.求证：AD丄BC；求异面直线BC与MD所成角的余弦值；求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【解答】(I)证明：由平面ABC丄平面ABD,平面ABCQ平面ABD二AB,AD丄AB，得AD丄平面ABC，故AD丄BC；(II)解：取棱AC的中点N,连接MN,ND,VM为棱AB的中点，故MN〃BC,AZDMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角，在Rt^DAM中，AM=1，故DM= 二13，TAD丄平面ABC，故AD丄AC,在Rt^DAN中，AN=1，故DN=.•adJa护二在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cosZDMN^DM26・••异面直线BC与MD所成角的余弦值为 ；26(III)解：连接CM,V^ABC为等边三角形，M为边AB的中点,故CM丄AB,CM=•弓,又•・•平面ABC丄平面ABD,而CMu平面ABC,故CM丄平面ABD，则ZCDM为直线CD与平面ABD所成角.在Rt^CAD中，CD=飞严+勰2=4，在Rt^CMD中，sinZCDM=CD~4・•・直线CD与平面ABD所成角的正弦值为手.16.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点．（1）证明：平面AMD丄平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC〃平面PBD?说明理由.【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，所以AD丄半圆弦CD所在平面，CMu半圆弦CD所在平面，.•.CM丄AD,M是CD上异于C,D的点.・•《M丄DM,DMAAD=D,・.CD丄平面AMD,CDu平面CMB，・•・平面AMD丄平面BMC；（2）解：存在P是AM的中点,理由：连接BD交AC于0,取AM的中点P,连接0P,可得MC〃OP,MCG平面BDP,OPu平面BDP,所以MC〃平面PBD.17.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.（1） 证明：平面AMD丄平面BMC；（2） 当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解答】解：(1)证明：在半圆中，DM丄MC,•・•正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，・・.AD丄平面BCM，贝UAD丄MC,VADADM=D,・・.MC丄平面ADM,TMCu平面MBC,・•・平面AMD丄平面BMC.(2)V^ABC的面积为定值，・•・要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大，此时M为圆弧的中点，建立以0为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图•・•正方形ABCD的边长为2,・・・A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面MCD的法向量恳(1，0,0),设平面MAB的法向量为&(x,y,z)则忑=(0,2,0),矗(-2,1,1),由•=2y=0, •=-2xyz=0,令x=1,则y=0,z=2,即鼻(1,0,2),则COSVIT,n>=ipf= 1则COSVIT,n>=||n|1XJ1+4忑'则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值s18•在平行六面体ABCD-A1B1