中国矿业大学《高等数学》课件-第五章

中国矿业大学（北京）高等数学第五章定积分积分学不定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质

第五章四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为可积的必要条件:定理3.注注注.当n较大时,此值可作为的近似值[注]

利用得两端分别相加,得即例2.

用定积分表示下列极限:解:四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有6.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则推论2.证:即7.

设则8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因思考与练习1.

用定积分表示下述极限:二、定积分的分部积分法第三节不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法

第五章一、定积分的换元法

定理1.

设函数单值函数满足:1)2)在上则说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限例1.

计算解:

令则∴原式=且例2.

计算解:

令则∴原式=且例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零例4.

设f(x)在[-a,a]上连续,

证明并计算证明:而是奇函数,是偶函数,1接例4利用公式(1)2接例4(2)证明并计算证明(2):利用公式(2)例5.

计算下列定积分解(1):接例5解(2):例6.

若f(x)在[0,1]上连续,证明证:于是所以例7.

设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：解:(1)记并由此计算则即(2)并由此计算周期的周期函数则有二、定积分的分部积分法

定理2.

则例8.

计算例9.

证明证:令n

为正偶数n

为大于1的正奇数则令则由此得递推公式于是而故所证结论成立.内容小结

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示:

令则2.

设解法1.解法2.对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得对上式两边在[1,e]求积分得：3.

设求解:(分部积分)作业P2531(4),(10),(16),(24);