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文档简介
§4原函数与不定积分
1.
原函数与不定积分的概念
2.
积分计算公式1.
原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,
积分+c
f(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,
终点z在B内变动,+c
f
(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作zz0F
(z)
=f
(V)dV
(1)定理
设f
(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且F
'(z)
=
f
(z)定义若函数j
(z)在区域B内的导数等于f
(z)，即j
'(z)=f
(z),称j
(z)为f
(z)在B内的原函数.zz0f
(V)dV
是f
(z)的一个上面定理表明F
(z)=原函数。设H
(z)与G(z)是f
(z)的任何两个原函数，[G(z)
-
H
(z)]'
=
G'(z)
-
H
'(z)
=
f
(z)
-
f
(z)
=
0\G(z)-H
(z)=c, (c为任意常数)(见第二章§2例3)这表明：f
(z)的任何两个原函数相差一个常数。
f
(
z
)dz
=
F
(
z
)
+
c定义
设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f
(z)的不定积分，记作2.
积分计算公式定理
设f
(z)在单连通区域B内解析，
F(z)是f
(z)的一个原函数，则1zz0f
(z)dz
=
F
(z1
)
-
F
(z0
) ("
z0
,
z1
˛
B)
此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式。例1
计算下列积分：1)21
dzzC其中C为半圆周：z
=
3,
Re
z
‡
0,起点为-3i
,终点为3i;解1)2zz
2C1
=
2i-
2
+
1
31
dz
=-3i3iz
-2+1故
1
在Re
z
‡0，z
„0上解析,其中C为单连通区域zCD：-p
<arg
z
<p内2)
1dzC
z故
1dz
=
ln
z
-
ln1
=
ln
z
(z
˛
D).起点为1,
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